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分片實驗與有限元法
摘要：本文提出分片試驗在有限元法中有著重要的作用，它是近代有限元發展的一個主要特色。得出分片試驗對位移函數和應變函數的要求，這些要求便是一個好的有限元法所應保證的；分析了幾何方程弱形式與分片試驗的關系，借此分析了雜交元、擬協調元如何滿足這些要求，以及在滿足這些要求的同時產生的對其他條件的影響；分析了精化直接剛度法、廣義協調元和雙參數法如何保證分片試驗的滿足；最后作為位移條件的應用例子，改進了BCIZ元。關鍵詞：分片試驗，弱形式，網線函數，有限元法
1引言
連續問題極大地推動了有限元的發展，目前，成熟的構造單元的方法有傳統的位移法有限元[1]、應力雜交元[4]、雜交混合元[5]、擬協調元[2][3]、廣義協調元[6]、雙參數法[7]、精化直接剛度法[8]等多種。有些方法在數學上已有證明，但這些方法的更為完善的證明仍是一個課題，而且其數學證明還很難被研究力學的人們所理解。人們仍比較普遍以事后的分片試驗來驗證單元的收斂性。盡管當前仍有對分片試驗的討論，但以往的大量實踐說明：通過分片試驗的單元使用起來是令人放心的。通過分片試驗是絕大多數有限元分析方法的共同點，近期有限元的發展可以說是以分片試驗為一個主要內涵的發展。
眾所周知，分片試驗是與單元間的位移協調性密切相關的。人們在進行有限元分析時，不可避免的涉及了單元間的協調關系，這種協調關系與兩個單元有關，文[4][5]采用了單元邊界上的公共的位移插值函數，文[9]把這種位移插值函數成為“網線函數”。正式這種所謂的“網線函數”的采用，單元間的協調問題可以在單元內獨立考慮。目前成功解決連續問題的有限元法均有意或無意地使用了這種網線函數。本文通過網線函數給出了分片試驗對應變和位移的要求。
目前對各種有限元法分析的方法均是在單元一級上采用變分原理，從而得到單元的應變（或應力）的，由結點位移為參數表達的表達式，再把它們代入最小勢能原理得到剛度陣。各種有限元法在得到應變（或應力）的做法上不同，好的有限元法得到的應變表達式已滿足了通過分片實驗所應滿足的條件。
2分片檢驗的要求
因有限元法最終列出的是勢能的方程，因此分片試驗可以看作：在常應變情況下，位移的不協調部分對勢能無貢獻，在薄板彎曲問題中，可如下表達：
(1)
其中,A：單元域，為位移的不協調部分,有：
(2)
為位移，為位移的協調部分。
方程(1)可以理解為：在常內力情況下，不協調位移對應變能無貢獻。把(2)式代入方程(1)
(3)
對(3)式中的項應用格林公式，并應用坐標變換公式：
(4)
其中、分別為位移協調部分在單元邊界的法向和切向的導數，即為文中的網線函數，、
為單元邊界外法線的方向余弦。對含的項再分步積分得：
（>r時）(5)
r表示單元的邊數，表示結點的位移參數。對(3)中的含項也進行分步積分并整理有：
(6)
同樣，對項再分步積分得：
(7)
ai、bi、ci為由各邊的nx與ny組成的參數，表示位移函數在結點處的值。
(4)、(5)、(6)、(7)便是通過分片檢驗所需滿足的方程。
(4)、(5)是從應變的角度反映了分片試驗對單元的要求，這里稱之為應變約束條件；(6)、(7)是從位移的角度反映了分片試驗對單元的要求，這里稱之為位移約束條件。成熟的有限元法都自覺或不自覺地應用了這些條件。
傳統的位移法構造的協調元自動滿足了上述各式，下面對其它有限元分析方法進行分類分析。
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