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在高等數學教學中使用矢量動畫技術的思考與實踐
在高等數學教學中使用矢量動畫技術的思考與實踐
王彥輝
�。ü鹆趾教旃I學院理學部，廣西桂林541004）
摘要：分析了在高等數學教學中使用多媒體技術手段的現況，研究了高等數學的學科體系和矢量動畫的優勢，結合作者的教學實踐，論證了在高等數學的教學中使用矢量動畫的可能性和必要性，并給出了制作和使用多媒體的具體建議。
關鍵詞：高等數學；矢量動畫；教學
基金項目：桂林航天工業學院2013年度教學改革研究項目基金資助（2013JB26）
作者簡介：王彥輝（1973-），男，河南內鄉人，副教授，碩士，桂林航天工業學院理學部教師，主要研究方向為組合數學和組合網絡理論。
一、研究現狀
從目前CNKI數據庫來看，研究多媒體技術在教學中應用的文獻已是俯拾皆是，把多媒體技術應用于高等數學方面的文獻也是隨處可見[1，2，3]。但是，卻鮮有以極限理論為基礎，結合復雜研究的算法程序設計，能真正實現把高深的數學理論用精確的坐標計算具體呈現出來的可用于教學和理論研究的多媒體作品。為了說明定積分中微元法的應用，一般的多媒體作品只是連續展現幾幅靜態的圖片，其實無法說明問題。很明顯，這樣做也是在使用多媒體技術，但很難讓學生真正理解極限的過程。在2013年12月第十三屆廣西高校教育教學軟件應用大賽中，我們的參賽作品《定積分的概念》使用矢量動畫技術，把微元法的切割過程完整地展現出來，并且切實比較了損失的面積和盈余的面積都會隨著分割的加細不斷減少。觀察減少的過程中，學生們很容易發現這種減少的變化是與取點無關的，從而理解得出微元法的基本思想（該作品是矢量動畫在《高等數學》教學中應用的一次嘗試，并榮獲本年度廣西賽區理科組二等獎）。
二、學科知識體系和動畫技術分析
在大學生所開設的課程體系中，《高等數學》無疑是一門極為重要的基礎課，其覆蓋面之廣、影響力之大是其他學科無法比擬的。因此，《高等數學》的教學效率與教學質量備受關注。近年來《高等數學》教學處于一個兩難的境地：既要面臨壓縮學時的壓力，又要增加新的教學內容（如數學實驗、數學建模等）。要解決這一矛盾，“黑板+粉筆”的傳統教學方法已經滿足不了需求。多媒體教學是利用多媒體計算機將符號、文字、圖形、圖像、影像等媒體綜合為一體，同其他傳輸信息的媒體進行控制組合，相互補充，實現人機交互。隨著多媒體技術引入《高等數學》的課堂教學，為我們尋找更為有效的教學方式提供了新的途徑。從學科的知識體系上來分析，《高等數學》的一切問題，說到底就是個“極限”問題。整個微積分部分（也就是絕大多數本科院校開設的《高等數學》的內容）的知識框架如圖1所示。
由上圖可以看出，如果沒有了“極限”的概念，整個《高等數學》就不復存在。但是，對于學生們而言，“極限”卻是個很難理解的概念。《高等數學》中關于“極限”的定義有“數列的極限”和“函數的極限”共2個，“函數的極限”又分為x→+∞，x→-∞和x邛x0共3種情況，最后一種情況x邛x0又被細分為x→x0-和x→x0+兩個方向。之所以如此層層鋪墊、循循善誘才給出“極限”的定義，就是因為“極限”這個概念與以往任何一個數學概念都不同，能否精確把握這一概念又關乎整個學科學習的成敗。現代數學教材中，一般采用“ε-δ”語言來定義“極限”。仔細分析這個定義就會發現，這是一個動態的事物，不是靜止不動的。ε要多小就有多小！感覺就是個“不便說，只能悟”的話題。如何才能把這個概念說“動”？這是對教師教學技能的最大挑戰。傳統的方法，使用靜態的黑板和粉筆，教師要想解釋清楚這個動態的概念，主要靠自己教學經驗和學生們積極主動地配合和感悟。怎樣才能讓學科基礎不是很好的學生也能比較充分地理解“極限”的概念？
如何才能更好地解釋清楚這個動態的概念？最好就是使用動畫技術！動畫技術的優勢就是“動”，把一個動態的事物用動態的形式表現出來，無疑是最適宜的。眾所周知，闡明一個事物可以采取的多種方法，這些方法按照達到的效果可以排列為：說不如文（口頭說話不如文字表達），文不如表（文字表達不如建立表格），表不如圖（表格數據不如畫圖），圖不如動（靜態的圖表不如動畫）。動畫技術，本就是闡述復雜事物的有效手段，對《高等數學》中的抽象概念尤為適用。目前，制作矢量動畫最常用的軟件就是Flash CS系列，該軟件具有以下4個特點：
1. 課件較小。Flash采用的是現在流行的矢量技術，用它創作的課件作品，不但交互功能強大，動畫效果豐富多彩，無級放大的矢量圖永遠不會產生鋸齒和馬賽克，而且擁有共享圖庫的功能，因此Flash課件體積小巧，便于網上傳播和攜帶。
2.交互性較強。Flash課件有很強的交互性適合用于各科教學。它擁有自己的語言編輯功能（Action-Script語言，簡稱AS），AS語言功能比較強大，可以編輯各種特效，隨意控制動畫的播放、跳轉與停止，并且簡單易學。
3.圖文并茂。Flash本身具有極其靈巧的圖形繪制功能，更重要的是它不但能導入常見格式的圖像，而且能導入專業級繪圖工具繪制的圖形，并能使其產生翻轉、拉伸、擦除、歪斜等效果，還能將圖像打散分成許多單一的元素進行編輯，設置圖形的屬性。
4.動畫優美。用Flash表現物體的運動和形狀漸變非常容易，其發生過程完全自動生成，無須人為地在兩個對象間插入關鍵幀。運用引導層可以制作各種不同的運動方向及路徑，可產生極好的自然動態效果，甚至可以繪制逐幀動畫，讓創意無限發揮。
三、在高等數學的教學中使用矢量動畫
為什么要把矢量動畫技術引入《高等數學》的教學中？原因之一，《高等數學》本身具有嚴謹而復雜的邏輯體系，其與中學數學最大的不同之處，就在于中學數學研究的問題是靜態的，如三角、比例、數，而《高等數學》以極限理論為基礎，其研究的主要內容如導數、微分、級數等都是動態的。以靜態的觀點去學習《高等數學》無異于南轅北轍，這就是很多在中學還對數學頗有興趣的學生到了大學卻對數學畏如途虎的原因[4]。原因之二，矢量動畫的無損放縮技術可以把極限理論的動態過程具體地顯示出來，將有助于學生理解《高等數學》的重要理論和提高對《高等數學》的興趣。如函數y=f（x）是一段光滑的曲線，幾乎曲線上所有的點，如果逐級放大，就會發現，在這些點的附近，越是靠近這些點的地方，幾乎都是一段直線，唯一不同的只是直線的傾斜程度不一樣。這個不一樣的傾斜程度，就是《高等數學》中極為重要的基礎概念：導數。
但是，也存在這樣的一些點，無論怎樣放大，在這些點的附近，總是有明顯的折彎，并不會呈現為一條直線。在《高等數學》中，稱前者為“可導”，后者為“不可導”。靜態的顯示缺乏說服力，只有學生們預先承認圖片的來源才能接受對應的知識。這種先入為主的教學形式顯然有違科學的精神。學生們真正想看到的不是這些靜態的圖片，而是要親眼看到曲線的局部放大、放大、再放大……這樣的一個過程，使用矢量動畫技術，就可以把這個逐級放大的過程完整地呈現給學生，加深理解。就像是學生們自己拿著一個高倍的放大鏡去審查曲線上的點一樣，層層遞進，不斷加大倍數進行放大，深入曲線的細節，切實區分清楚“可導”與“不可導”之間的區別和聯系。
傳統的“黑板+粉筆”根本無法把這一趨近過程準確表達出來，學生們也就無法真正理解為什么這個極限不存在，也無從得知當自變量x很靠近0時究竟發生了什么，理論上的推導和實際能看到的圖形總是有很多偏差。如果借助數學軟件，如Mathematica等，選擇不同的定義域分別繪圖，也可以輔助理解函數的變化情況。但是還需要學生憑借抽象的理性思維，把這幾幅離散的圖片關聯成一個連續的動態過程，這當然不是所有人都做得到的。如果使用多媒體動畫中的矢量動畫技術，再輔以精巧的程序設計，我們就可以把這個不斷深入曲線局部的過程連續地、溫和地展示出來，不容置疑地把整個變化過程演示出來，學生們也可以在不斷深入、抽絲剝繭的過程中真正把握實數的稠密性和連續性，從而獲得對數學的更感性的認知。
總之，使用多媒體手段，借助信息化技術程序設計，不僅可以刺激學生學習的積極性，還可以更生動形象地表現出運動和變化的整個過程，有利于教師的教和學生的學。
參考文獻：
[1]唐榮榮。多媒體技術在高等數學教學中適用性的分析[J].中國大學教學，2013，（07）：65-67.
[2]曾慶茂，郭正光，周裕中，徐妤，郭軍。在高等數學教學中運用數學史知識的實踐與認識[J].教育教學論壇，2015，（06）：115-116.
[3]唐剛。淺議信息技術與高等數學教育的整合[J].漯河職業技術學院學報，2013，（05）：132-133.
[4]史艷華，王芬玲。高等數學與高中數學的銜接問題探討[J].教育與職業，2013，（20）：127-128.
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