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往復曲線運動中自然坐標系的應用
往復曲線運動中自然坐標系的應用
嚴非男，陳俊，皇甫泉生
（上海理工大學理學院，上海200093）
摘要：本文分析了往復曲線運動（以單擺為例）中自然坐標系單位矢量正方向的選取，給出了弧坐標的定義，使單擺小球的切向動力學方程得到了統一的表示，并使角位移θ與弧坐標s的正負規定相一致，解決了學生學習中的困惑。
關鍵詞：自然坐標系；單位矢量；單擺
多年來，對于自然坐標系中單位矢量的規定，人們不斷探討，提出了各種規則[1-3]，在不同場合的應用中各有利弊[4-6]。往復曲線運動，是理工科高校大學物理教學中常見的一種質點運動的方式，因為其軌跡已知，此時采用自然坐標系分析質點的運動比較方便。按照普通物理教材[2]中自然坐標系切向單位矢量的規定（與質點速度方向同向），分析單向的曲線運動時，圖像非常清晰，學生易于理解和接受。但是，筆者在教學實踐中發現，分析往復曲線運動（例如，單擺運動）時，不少學生往往對切向合力的正負心存疑惑，不甚理解。本文認為，在這種情況下，根據文獻[1]中的規則，并進一步明確弧坐標的定義以及速度和加速度的表達式，可以使切向動力學方程得到統一的表示，較好地解決學生的困惑，同時加深學生對自然坐標系的認識。
一、問題的提出
以單擺為例。如圖1所示，設l為擺線的長度，m為小球的質量。小球在重力和繩子拉力的作用下，做小角度往復圓弧運動。擺線豎直位置為系統的平衡位置，由此起算，規定逆時針方向的角位移θ為正，反之為負[7]。在自然坐標系中，重力的切向分量與θ反向，根據牛頓運動定律得：
當θ很小時，sinθ≈θ，所以
這是一個典型的簡諧振動方程，其振動表達式為
式中θm為角振幅，為初相位，它們由初始條件決定；
為振動的圓頻率。因此，單擺在擺角很小時，做角諧振動。
在上述推算中，方程（1）中切向力前面的負號是關鍵所在，但是學生也往往就對這個負號感到困惑。按照教材
上的規定[2]，自然
二、自然坐標系中單位矢量的取向，弧坐標的定義、速度和加速度的表達式
本文認為，根據文獻[1]中的規則，并進一步明確弧坐標的定義以及速度和加速度的表達式，可以使得方程（1）普遍成立，并使方程（1）中θ的正負與弧坐標s的正負規定相一致，從而較好地解決學生的困惑。
依據文獻[1]，自然坐標系的法向單位矢量
指向曲線的凹側，切向單位矢量
逆時針轉動π/2與重合，如圖3所示。也就是說， 的方向不必隨著小球的運動不斷地變換。
以軌跡上的平衡位置O點作為參考點，小球在軌跡上的位置用O點至小球所在點的弧長s來確定，s稱為弧坐標，為代數量，規定為與同方向一側為正值，與反方向一側為負值。顯然，s=lθ （4）
因此，s和θ的正負值的規定是相一致的，不會產生矛盾。由平衡位置起算，逆時針方向的角位移θ為正，此時，s也為正；反之，兩者都為負值。
三、單擺切向動力學方程的普遍性
按照上述的取向規定和弧坐標的定義，再來分段討論單擺的切向動力學方程，將發現方程（1）是普遍成立的。
四、結論
本文分析了往復曲線運動（以單擺為例）中自然坐標系單位矢量正方向的選取，并進一步給出了弧坐標的定義，使單擺小球的切向動力學方程得到了統一的表示，并使角位移θ的正負與弧坐標s的正負規定相一致，較好地解決了學生的困惑，加深了學生對自然坐標系的認識和理解。
參考文獻：
[1]馬長占。對《自然坐標系中的符號規則》一文的異議[J].大學物理，1988，（5）：9-11.
[2]程守洙，江之永。普通物理學上冊[M].第六版。北京：高等教育出版社，2006：14-16.
[3]周衍柏。理論力學教程[M].第3版。北京：高等教育出版社，2009：80.
[4]陳洛恩，陳時錦，楊紅，李梅。自然坐標系淺析[J].云南師范大學學報（自然科學版），1999，19（5）：73-76.
[5]馬淑紅，王天興，焦照勇。坐標軸正方向選取對力學問題求解的影響[J].高師理科學刊，2014，34（3）：62-65.
[6]尹海峰，曾春花，岳莉，陳廣萍。自然坐標系單位矢量的新認識[J].銅仁學院學報，2014，16（4）：138-140.
[7]程守洙，江之永。普通物理學下冊[M].第六版。北京：高等教育出版社，2006：10-11.
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