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以具體內容為支點積累數學活動經驗
以具體內容為支點積累數學活動經驗
浙江省瑞安市瑞祥實驗學校王國和
【摘要】數學基本活動經驗作為課程總目標中的“四基”之一，眾多研究表明“經驗”這個詞是數學基本活動經驗的核心。文章以具體內容為載體，以有效數學活動為途徑，讓學生在各種數學活動中積累數學活動經驗，并圍繞這些目標，以解決“怎樣拼周長最短”的問題為例，通過五個方面進行了研究。
【關鍵詞】具體內容；支點；積累；數學活動經驗
數學基本活動經驗作為《全日制義務教育數學課程標準》（2011年版）中新增的一項內容，作為課程總目標中的“四基”之一進入大家眼球，與傳統的雙基并駕齊驅，什么是數學基本活動經驗，如何在教學中進行落實？這些問題都是擺在一線教師面前的難題。史寧中認為，基本活動經驗包括思維經驗和實踐經驗；劉加霞教授認為，“數學活動經驗就是學生在經歷數學活動過程中獲得的對于數學的體驗和認知”；特級教師朱國榮老師將概念定義為：“學習主體通過親身數學活動過程所獲得的具有個性特征的學習策略與方法”；還有人將數學基本活動經驗分得更細、更具體，包括基本的數學操作經驗，基本的數學思維活動經驗（歸納的經驗、數據分析、統計推理的經驗、幾何推理的經驗等），發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的經驗。
從以上的觀點和定義來看，經驗這個詞是核心，筆者認為，學生經驗的積累不是憑空而來的，必須以具體的內容為載體，以具體多樣的數學活動為途徑，從而逐漸形成的。在2014年下半年瑞安市小學數學“學為主”基地學校成果交流會上，筆者有幸向全市兄弟學校老師展示了一節解決問題的課——“怎樣拼周長最短問題”，本文正是在這節課的基礎上展開研究的。下面以三年級上冊解決“怎樣拼周長最短問題”的問題為例，這是一節人教版新修訂教材新增的內容，一節解決問題的課，同時也是一節研究規律的課，因此，本課教學主要是引導學生經歷兩個過程：一是經歷解決問題的一般過程，二是經歷猜想、驗證、發現規律的過程，并引導學生運用規律解決實際問題的過程。學生的學習活動就是要分別圍繞“閱讀與理解、分析與解答、回顧與反思”活動；“猜想、驗證、發現規律的活動過程”，那么，本課的教學就是引導學生經歷各種各樣的數學學習活動過程。下面將從幾個方面研究如何引導學生積累數學活動經驗：
一、在預習單的運用中，形成自主學習經驗
以上是三個學生的預習單，展示了各自的預習情況，學生自主學習能力不同，且有一定的層次性，但這是他們經歷的真實、自主的學習過程，這就是學生積累自主學習經驗的過程，學生有自己的思考和方法。那么，為什么要展示三種不同層次的自學成果呢？這是為了在匯報自主學習成果的過程中，讓不同學生說出自己是怎樣分析問題、畫圖、計算，最后解決問題的。學生思考過程的分享，也是他們自主學習經驗分享、交流的過程，這個過程是學生們進一步形成和發展自主學習策略、自主學習的經驗歷程。其次是給學生設置一個問題，創設一個發現規律的情境，引導學生自主解決問題，從而積累自主學習經驗。
二、在猜想、驗證、發現規律的活動中，形成數學思維活動經驗
正如史寧中教授所言，“基本活動經驗包括思維經驗和實踐經驗。”在教學《怎樣拼周長最短問題》的過程中，筆者積極引導學生經歷提出猜想—驗證猜想—發現規律的過程。
案例1：筆者是這樣設計問題引導學生提出猜想的，首先展示不同學生的預習單，請看以下兩種方案：①幾號長方形的周長是最短的？②長和寬怎么變，長方形的周長會變短？學生獨立思考，同桌交流，在教師問題的引導下，多數學生得出結論：“當長方形的長變短和寬變長，周長就變得越短。”也有學生接過去說：“當長方形的長和寬的長度越接近，周長就變得越短。”然后教師再引導：“同學們，剛才說的僅僅是你們的猜想，是不是你們發現的這樣呢？我們這節課就去探究、驗證一下。”
分析：至此，學生的猜想自然出來了，學生是對自己的預學成果進行對比，討論、交流提出的猜想，經歷了這樣的過程就能很好地發展學生提出猜想的經驗。
案例2：第一個活動是課中探究單自主研究，交流、匯報驗證猜想。(www.baimashangsha.com)用１２張邊長為１厘米的正方形紙拼成長方形，怎樣拼圖形的周長最短？（每個格子邊長表示１厘米）
通過小組合作進行研究，合作要求：①畫：畫出拼成的圖形；②算：算出長方形的周長；③說：在小組內說一說你的發現，然后進行匯報。筆者通過兩個追問：“請你認真觀察這張表格，什么沒變？什么變了？長和寬到底怎樣變，周長會變短？”學生先獨立思考，再小組討論，初步發現當長和寬相差越小，周長越短，從而初步驗證猜想。
其次，回到課前探究單的內容，剛才發現12張邊長是1厘米的正方形拼成的圖形，那么，課前研究的18張正方形拼成的圖形里是否有這樣規律呢？馬上來驗證（板書長和寬的相差數進行驗證），筆者通過這樣的追問引導學生自主發現有這樣的規律，進一步驗證猜想。
最后，通過研究16張邊長是1厘米的正方形拼成的圖形是否有這樣規律？學生這時候的研究是通過直接填表格，當然，有困難的學生還是可以借助直觀圖，進行觀察、計算、比較等方法進一步完善規律。請你寫出所有可能的拼法。
分析：教師追問：“你能想象出每個長方形的樣子嗎？”給學生一些時間想象，隨后用多媒體呈現不同的長方形，形成數形結合找規律。教師再問：“長和寬相差是幾？你有什么新的發現？”學生自然發現：拼得圖形的長和寬相差越小，這個長方形的周長就越短，正方形的周長最短。通過以上活動，學生積累了驗證規律的經驗。
三、在經歷分析問題、解決問題的過程中，形成探究、解決問題的一般經驗
2014版小學數學教材中，解決問題的一般過程包括閱讀與理解、分析與解答、回顧與反思。這樣的過程實際上就是首先引導學生收集有用的信息并進行恰當的處理；其次是分析問題與條件的關系，選擇相關的解答方法，數學模型；最后對解答結果或者運算結果進行反思，形成反思的習慣，掌握反思的方法。
案例3：筆者教學《怎樣拼周長最短問題》的過程中，是這樣引導學生去分析問題、解決問題的，首先，出示問題：用12張邊長為1厘米的正方形紙拼成長方形，怎樣拼圖形的周長最短？（每個格子邊長表示1厘米），學生默讀題目1次。從題目中你能獲得什么有用的信息？我們已經知道了這些條件和問題，那么，“怎樣拼圖形的周長最短”這個問題如何解決呢，你有什么辦法？在此基礎上提出合作要求：①畫：畫出拼成的圖形；②算：算出長方形的周長；③說：小組內說一說你的發現。
分析：通過這樣的提問，學生就能自主獲取信息，學生提出可以運用畫圖、計算、比較等方法解決問題。在學生自主獲取信息，根據條件和問題分析解決問題的方法，最后通過小組合作，以課中探究單為載體解決問題。通過合作學習初步發現了規律，追問學生是不是這樣呢？由此引導學生去進一步驗證規律。
值得注意的是，積累探究解決問題經驗，不是通過簡單的活動和思考就可以實現的，更需要創設真實的問題情境，才能更有效地對數學思想方法進行學習和體驗。因此，筆者認為，教師要精心創設問題情境，組織適度、開放的探究性活動，啟發學生拓寬思路，多方位、多角度地獲取多樣的信息，積累探究解決問題的經驗。
四、在小組交流中，培養學生合作、交流數學思考的經驗
案例4：筆者在導入展示、預學環節，是這樣安排的：請看這三種方案，①幾號長方形的周長是最短的？②長和寬怎么變，長方形的周長會變短？教師通過兩個追問，先給學生提供獨立思考、同桌交流的空間，學生將自己獨立思考的經驗進行交流。③匯報。在規律探究環節，學生通過表格進行自主探究，教師引導學生進行匯報，匯報要求：①說畫出了幾種；②第一種的長、寬、周長分別是多少，第二種、第三種呢？③我發現了長4厘米、寬3厘米的長方形周長最短。（學生給予評價：你們覺得她講得怎樣？）
分析：通過這樣的獨立思考，小組交流，代表匯報，不同組將自己的思考成果展示給大家，不僅學生匯報非常有序，還有一定的邏輯順序。然后對這三種情況進行對比，看哪種情況下周長最短，這樣的安排不僅讓學生積累了有序表達經驗，發展了學生的數學思維，而且更有利于學生積累合作交流的數學經驗。
五、在“舊知”對接“新知”中，不斷積累解決問題的策略
1.用轉化策略解決問題。
案例5：在本課運用規律解決問題的環節中，筆者設計了這樣一道實際問題：把15盒保鮮膜（如下圖）捆在一起，怎樣捆最節省膠帶紙？
師：在解決問題之前，我們先回顧一下前面兩位數加減兩位數是怎樣學習的？
生：轉化為兩位數加減一位數和一位數加減一位數的計算。
師：是的，這里運用了什么方法？（新知識轉化舊知識），轉化對我們解決這道題目又有什么啟發呢？
師：這樣捆實際上就是求什么的長度？（讓學生用繩子先捆一捆，感受一下，然后說一說怎樣捆最節省，學生通過對比就可以發現怎樣捆最省膠帶紙）
師：我們現在都認為這樣捆最節省膠帶紙，求這樣捆所用膠帶紙實際上就是求什么？
生：小正方形的周長。（多媒體出示一個小正方形）
如果要求捆2個盒子的膠帶紙，實際上是求什么？學生先說，課件再出示2個小正方形。
師：現在要求捆15個盒子，怎樣捆最節省膠帶紙，就是求什么？
生：15個邊長是5厘米正方形拼成長方形，怎樣拼周長最短？
實際上剛才我們解決問題的過程就是將這樣復雜的問題轉化成簡單問題，將立體圖形轉化為我們熟悉的平面圖形，就能運用今天學過的知識去解決它。
分析：這樣，學生實際上已經擁有的數學經驗可以用來解決新的問題，只是學生原有的數學經驗需要教師時常激發、點撥，使學生的數學經驗更豐富。在實際生活中，很多經驗也能為學生積累基本的數學活動經驗提供基礎，學生經驗包括生活經驗和知識經驗，數學基本活動經驗是人們的“數學現實”最貼近生活現實的部分，學生學習數學就是要不斷積累數學活動經驗，包括解決問題的策略經驗，這是進一步學習抽象數學前提和基礎。
2.用數形結合方法解決問題。學生用表格探究好，匯報完之后，引導學生認真觀察這張表格，什么沒變，什么變了？學生看表格中的數據，個別學生是可以發現長和寬相差約接近時，周長就變得越短。萬一沒有發現可以引導學生觀察圖形的變化，過渡到數形結合驗證規律，讓我們去圖形中去找一找（出示圖形變化過程）長和寬到底怎樣變，周長會變短？先獨立思考，再小組討論，最后發現規律。
在進一步驗證規律的過程中，16張邊長是1厘米的正方形拼成長方形或正方形是否有這樣規律？請你寫出所有可能的拼法。
師：你能想象出每個長方形的樣子嗎？想象一下，教師隨后用多媒體呈現不同的長方形，通過數形結合找規律。
現在讓我們結合圖形來看看是否有這樣的規律。
師：長和寬相差是幾？你有什么新的發現？
生：拼得圖形的長和寬越接近，這個長方形的周長就越短，正方形的周長最短。
由此，通過數形結合進一步驗證、完善規律。
以上只是以人教版三上解決問題“怎樣拼周長最短”一課為例，以這樣具體的課為載體，學生如何有效形成數學基本活動經驗做了探索，數學基本活動經驗雖然反映在個體學習過程中時，具有很強的個性化特征，但是基本活動的積累是基于相關具體內容學習經歷和感受還是很明顯的。正如著名教育家陶行知所言，“我們要有自己的經驗做‘根’，以這經驗所發生的知識做‘枝’，然后別人的知識才能接得上去，別人的知識方才成為我們知識有機體的一部分。”因此，教師要創設更多的活動情境，讓學生更多親歷、更多體驗、更多積累，讓經驗的“根”扎得更深、更廣。
筆者回顧對數學基本活動經驗的關注和思考，還是有一些困惑，比如，基本活動經驗內涵和特征還待進一步認識。本文主要探討基本活動經驗積累一些途徑，當然還有更多途徑，這里只是拋磚引玉，期待大家批評指正，與大家一起探討、研究。
參考文獻：
[1]教育部。全日制義務教育課程標準（2011版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.
[2]張奠宙等。小學數學研究[M].北京：高等教育出版社，2011.
[3]朱國榮。數學基本活動經驗的內涵、教學及其評價[J].教學月刊，2014,（1）。
（編輯：朱澤玲）
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