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淺談在數(shù)學教學過程中培養(yǎng)學生的合情推理能力
淺談在數(shù)學教學過程中培養(yǎng)學生的合情推理能力
池屏雁
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摘 要：合情推理已走進了高中數(shù)學新課程，作為一個專題內(nèi)容“推理與證明”納入高中數(shù)學新課程教材中。合情推理在數(shù)學教學中的重要性日益凸顯，談了如何在數(shù)學過程中培養(yǎng)學生的合情推理能力。
關鍵詞：合情推理；數(shù)學過程；數(shù)學教學
一、什么是合情推理
合情推理是根據(jù)已有的事實和正確的結論（包括經(jīng)驗和實踐的結果）以及個人的經(jīng)驗和直覺等推測某些結果的推理過程。這種推理的途徑是從觀察、實驗入手，憑數(shù)學直覺，通過類比而產(chǎn)生聯(lián)想、歸納而提出猜想。高中階段合情推理常用的思維方法為：歸納推理、類比推理。《普通高中數(shù)學課程標準》指出：“讓學生結合已學過的數(shù)學實例和生活中的實例，了解合情推理的含義、步驟和方法，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，體會并認識合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用。”
二、什么是數(shù)學過程
數(shù)學過程是指“數(shù)學概念、公式、定理、法則的提出過程，數(shù)學結論的形成過程，數(shù)學思想方法的探索及概括總結過程以及用數(shù)學的過程”。
三、在數(shù)學過程中培養(yǎng)合情推理能力
�。ㄒ唬┰跀�(shù)學概念、公式、定理、法則的提出過程中培養(yǎng)學生的合情推理能力
數(shù)學概念、公式、定理、法則的提出過程妙趣橫生，充滿了合情推理的精彩案例。數(shù)學教學中可以將數(shù)學家們的發(fā)現(xiàn)過程經(jīng)過精心加工，讓學生重走數(shù)學家的“發(fā)現(xiàn)之路”，通過精心設計的問題串，引導學生扮演“數(shù)學家”，在一個簡化的理想模式下直面數(shù)學家的困惑，親歷數(shù)學家當年的探索與發(fā)現(xiàn)過程，給學生創(chuàng)造“發(fā)現(xiàn)”概念、公式、定理、法則的機會，學生通過不斷的思維沖突、歸納、類比、細心觀察、提出猜想，逐步掌握合情推理的方法。
例如，在《頻率與概率》的概念教學中，可以這樣設計：
1.全體學生4人一組，每組投一枚硬幣80次，一人負責記錄。
（1）統(tǒng)計正面朝上的頻率，問各小組結果是否相同，均為0.5嗎？
（2）對全班結果進行累計，正面朝上的頻率有何規(guī)律，如何描述？
讓學生重回概念原始發(fā)現(xiàn)、提出過程，在做試驗中親歷發(fā)現(xiàn)過程，親自感受概率概念的提出。
2.用程序?qū)崿F(xiàn)擲硬幣模擬實驗。
3.回顧當年數(shù)學家的試驗。
層層推進，學生很快就能猜想正面朝上的頻率接近某個值，進而得到概率的概念以及概率和頻率的關系。整個過程學生利用合情推理，動手試驗，大膽猜想，歸納總結，揭示概念的產(chǎn)生過程，發(fā)展了學生的合情推理能力。
�。ǘ┰跀�(shù)學結論的形成過程中培養(yǎng)學生的合情推理能力
認真對待定理、公式等結論的形成過程，在探索定理、公式等結論的形成過程中學生通過自己的努力，觀察、試驗、歸納、類比、猜測和反思，培養(yǎng)了他們的合情推理能力。
如，在《橢圓的簡單幾何性質(zhì)》一課中，橢圓用離心率來刻畫其扁平程度，橢圓的離心率e→0，橢圓越接近圓；e→1，橢圓越扁。這個結論使很多學生難以透徹理解，筆者在處理時極力展現(xiàn)該結論的形成過程。
1.問題：用多媒體展示各種不同橢圓后，學生發(fā)現(xiàn)橢圓有圓有扁。引導他們思考：橢圓的扁平程度怎么表示，用什么樣的數(shù)學表達式表示，用什么量來表示？
學生大膽猜想，其中有些提到用a、b、c這3個量來刻畫，其直覺已經(jīng)逼近結論。
2.動手實驗。
準備好細繩，兩人一組把繩子的兩端點固定在兩釘子（焦點）處，用鉛筆尖繃緊繩子畫一個橢圓，然后變換繩子的長度，畫橢圓，觀察橢圓“扁平”的程度，描述其變化規(guī)律；再讓繩子的長度固定不變，將兩釘子距離（焦距）變化，繼續(xù)畫橢圓，觀察橢圓的“扁平”的程度，描述其變化規(guī)律。
3.變化規(guī)律。
學生熱烈討論，發(fā)現(xiàn)c/a→0時，橢圓變得越“圓”，當c/a→1時，橢圓變得越“扁”。
學生找到規(guī)律的同時，有學生運用類比思想猜想：a、b或者b、c兩個量可以不可以也能來刻畫橢圓的扁平程度呢？如果可以，選哪兩個量來刻畫呢？讓他們帶著猜想設計驗證方法。教師見機引導，得出結論。
4.展示“橢圓的離心率”Flash動畫。
5.給出橢圓離心率定義。
用離心率來刻畫橢圓的扁平程度
規(guī)律：e→0，橢圓越圓；e→1，橢圓越扁。
此時上面關于離心率結論的形成已經(jīng)水到渠成，期間學生經(jīng)歷了憑數(shù)學直覺大膽猜想、動手試驗、親自體驗的數(shù)學過程，得到初步結論，進而類比猜想，產(chǎn)生新困惑，繼續(xù)驗證，得出最終結論，在此過程中，他們的合情推理能力得到培養(yǎng)。
�。ㄈ┰跀�(shù)學思想方法的探索及概括總結過程中培養(yǎng)學生的合情推理能力
數(shù)學思想方法——數(shù)學的精髓，它鋪設了知識到能力的大道，在數(shù)學思想方法的探索及概括總結過程中，學生的合情推理能力得到潛移默化的提升。
比如，在使用數(shù)形結合的探索過程中，以現(xiàn)有的知識為基礎，運用數(shù)學直覺，從整體上把握數(shù)學對象并對其結構快速識別，做出判斷，大膽猜測，合理假設，并給出試探性的結論。它具有頓悟、飛躍的特征。
例1.n個半圓的圓心共線，圓心在直線l上，這n個半圓每兩個都相交，且都在直線l的同側，問這些半圓被所有的交點最多分成多少段圓��？
分析：設這些半圓最多互相分成f（n）段圓弧，畫出圖形，觀察（此時應用了數(shù)形結合的思想方法），采用由特殊到一般的方法，進行猜想和論證。
由此猜想滿足條件的n個半圓互相分成圓弧段有f（n）=n2。
（四）在“用數(shù)學”的過程中培養(yǎng)學生的合情推理能力
1.在日常解題訓練中運用所學數(shù)學知識，合情推理。
“用數(shù)學”是數(shù)學價值的真正所在，數(shù)學的生命力也源自于此，“用數(shù)學”推動了數(shù)學的發(fā)展。在日常解題訓練中，注重解題思路產(chǎn)生過程那一剎那的靈感，在探究問題的結論和尋找解決問題的途徑中培養(yǎng)學生的合情推理能力。
2.關注生活中的數(shù)學，用數(shù)學知識解決生活實際問題，培養(yǎng)學生的合情推理能力。
數(shù)學與生活息息相關，密不可分，數(shù)學巧妙地融入在生活中，基于應用和問題的數(shù)學過程教學，教師必須關注生活中熱點問題，挖掘生活素材，設法引起學生的認知沖突，激發(fā)學生的求知欲望，讓學生思想的火花四濺，猜想連連，熱烈討論，在問題的解決過程中，培養(yǎng)學生的合情推理能力。
參考文獻：
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作者簡介：池屏雁，出生于1977年，女，福建閩清人，中學數(shù)學一級教師，研究方向為高中數(shù)學教學。
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