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引導反思會解問題,提高數學練習效率
引導反思會解問題,提高數學練習效率文/劉 玉
對于會解的問題,很多學生往往做完后就撂在一邊。這樣的練習,只能是簡單的機械重復。反之,對于已經解決的問題,尤其是需要付出一定思考才能解決的問題,通過反思,想一想:解決問題的過程中,應用了哪些基礎知識、運用了什么數學思想或者特殊方法、有何啟發或收獲等,可以使學生體會解題過程中蘊含的數學思想,感悟解決一類問題的基本方法,加深對相關知識的理解。這些對于夯實“四基”以及提高實踐能力、發展創新意識都有著非常積極的意義。如何引導學生通過反思已經會解的問題,達到提高學習效率的目的呢?
一、反思1:解題過程中,運用了哪些基礎知識、基本方法
這是最基本、最簡單的反思,也是練習所要達到的最基本的目的。
例1.填空:-(m-n)+(k-1)=-m-(),在正確填出答案(-n-k+1)后,學生通過反思所用知識,可以再一次主動地復習整理去括號、添括號法則,進一步理解:去括號、添括號法則,其實是一致的,都是依據乘法分配律,都須關注符號是否改變。而符號是否改變的前提,也是相同的。這樣的思考,有利于學生理清知識的來龍去脈,提高對知識的駕馭能力,可以有效地避免死記硬背。
二、反思2:解題思路中,蘊含了哪些基本的數學思想
例2.(1)函數y=(2x+1)2+1,當x>-1/2時,函數值y隨x值的增大而增大;(2)函數y=-2x2+x-4,當x>1/4時,函數值y隨x值的增大而減小。顯然,通過觀察函數的圖象,便可順利求解。這時,通過反思,學生會更加明確:探究二次函數值的增減變化情況,應該結合函數的圖象,聯系其開口方向、對稱軸,作具體分析。通常情況下,應先畫出函數圖象,在觀察圖象的基礎上,數形結合,很容易得出結論。
三、反思3:能否延伸思考?延伸思考,可以從下面兩個方面入手
1.題中的條件、結論等,能否變一變?
例3.寫出兩個值在3到4之間的無理數。在正確求解的基礎上,可進一步思考:除了寫出的兩個數以外,還有沒有別的數符合題意?符合要求的無理數有多少?這些滿足題意的數有什么共同點?是否可以寫出值在任意兩個自然數間的無理數?等。這樣的練習,已不再是量的疊加,而是質的飛躍。(www.baimashangsha.com)因為,這樣的延伸思考,有利于訓練學生抓住本質條件的能力,有利于培養學生綜合運用知識的能力,有利于培養發展學生的問題意識、探究意識。總之,有助于學生實踐能力和創新意識的發展。
2.為什么這樣思考?解題思路的指向性、合理性,對我們有何啟發?
探究性問題是考查學生學習能力的良好載體,學生通過對其解題思路指向性、合理性的反思,有助于培養自主學習的能力。
例4.如圖1、2、3,在△ABC中,點P為BC邊中點,直線a繞頂點A旋轉,BM⊥直線a于點M,CN⊥直線a于點N,連接PM、PN.
(1)如圖2,若點B、P在直線a的兩側,延長MP交直線NC于點E,圖中一定與△BMP全等的三角形是,PM與PN長度關系是;(2)若直線a繞點A旋轉到圖3的位置時,點B、P在直線a的同側,其他條件不變。此時,(1)中PM與PN的長度關系還成立嗎?請給出證明。就問題(2)來說,解法顯然不唯一,但仿照(1)的作法,不失為一種很好的方法。即,延長MP,交NC的延長線于點E.(如圖4)由(1)得,△BPM≌△CPE,則MP=EP,再由CN⊥直線a得PN為Rt△MEN斜邊上的中線。因此,PM=PN,可見,仿照(1)的作法,借鑒(1)的思路、經驗和結論,可以很輕松地解決問題(2)。
“以上的解題思路,其合理性在哪?為什么要這樣想?”如果學生能夠這樣反思,必然受益匪淺。因為,在這樣的反思過程中,學生會領悟到:將需要解決的問題轉化成自己已經會解的問題,可以使得復雜問題變得簡單。領悟到:如何將問題進行轉化,如何使得已有的結論、經驗“有用武之地”.而“轉化思想”是極其重要的數學思想,它將使學生終生受益,因而是學生必須切實領會和把握的。
當然,我們不能只是追求形式上的一題多解,也不能為變而變。不僅要看“熱鬧”,更要引導學生看“門道”.要引導學生通過反思不同的解法以及知識的不同呈現形式,把握知識的本質聯系和發展,以期達到融會貫通的目的。
(作者單位 安徽省舒城縣柏林中心校)
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