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《圓錐曲線》定義的“條件”教學
《圓錐曲線》定義的“條件”教學新疆石河子高級中學 尤乃奎
【摘 要】數學定義、定理、公式或問題中都或多或少涉及到條件的限制，做好數學知識的“條件”教學，對于學生透徹地理解數學理論、全面地解決數學問題大有幫助。
【關鍵詞】數學；定義；定理；公式 問題；條件；教學
2013年4月，在高中數學選修2-1第二章《圓錐曲線與方程》（人教版）的教學中，當我講橢圓、雙曲線、拋物線的定義時，我都會遇到同樣的一個問題，而且是學生每每質詢的一個問題，那就是：“老師，定義中括號里的條件該怎么解釋？”
數學定義、定理、公式或問題中都或多或少涉及到條件的限制，做好數學知識的“條件”教學，對于學生透徹地理解數學理論、全面地解決數學問題都非常有幫助，現在已經完成了高中數學選修2-1第二章《圓錐曲線與方程》的教學，我覺得有必要把我在《圓錐曲線》定義教學中，關于定義中條件的教學片段梳理一下。
《圓錐曲線》“條件”教學片段一：橢圓定義中的條件限制
講到2.2.1節《橢圓及其標準方程》時，橢圓的定義（課本第38頁）是：平面內與兩個定點F1,F2的距離之和等于常數（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓。
學生問：老師，為什么定義中括號里要加一個條件“大于|F1F2|”）呢？
教師答：因為如果去掉這個條件，則定義所表示的圖形將不一定是橢圓。
學生問：為什么？
教師答：這個問題可以從三個角度理解：
①如果條件是“大于|F1F2|”，則定義敘述的內容表示橢圓，這毫無疑問，正如我們用小繩子按住兩頭所演示的一樣。
②如果條件是“等于|F1F2|”，則定義敘述的內容表示線段F1F2。（我在黑板上劃線段F1F2，并取其上一點P,并演示|PF1|+|PF2|=|F1F2|,學生點頭表示理解）。
③如果條件是“小于|F1F2|”，則定義敘述的內容不表示任何圖形，即動點軌跡不存在。（我在黑板上演示，顯然|PF1|+|PF2|﹤|F1F2|不能產生任何圖形）。
進一步，我用三個小問題進行鞏固：
問題：試判斷以下情況動點的軌跡：
（1）到兩定點F1（-7,0），F2（7,0）的距離之和大于14的點的軌跡是什么？
（2）到兩定點F1（-7,0），F2（7,0）的距離之和等于14的點的軌跡是什么？
（3）到兩定點F1（-7,0），F2（7,0）的距離之和小于14的點的軌跡是什么？
學生很快就可以得出結論。
《圓錐曲線》“條件”教學片段二：雙曲線定義中的條件限制
很有戲劇性，講到2.3.1節《雙曲線及其標準方程》時，其境遇竟然和講橢圓的定義時，驚人的相似。
雙曲線的定義（課本第52頁）是：平面內與兩個定點F1,F2的距離的差的絕對值等于常數（小于|F1F2|）的點的軌跡叫做雙曲線。
學生問：老師，為什么定義中括號里要加一個條件“小于|F1F2|”呢？
教師答：因為如果去掉這個條件，則定義所表示的圖形將不一定是雙曲線。
學生問：為什么？
教師答：這個問題可以從三個角度理解：
①如果條件是“小于|F1F2|”，則定義敘述的內容表示雙曲線，這毫無疑問，正如我們用拉鏈按住兩頭所演示的一樣。
②如果條件是“等于|F1F2|”，則定義敘述的內容表示以F1、F2為端點的兩條射線（包含端點）。（我在黑板上劃出直線F1F2，并在點F1、F2兩側各取兩點P、Q,并演示|PF1|-|PF2|=|F1F2|,指出動點的軌跡是射線F1P、F2Q，學生點頭表示贊同）。
③如果條件是“大于|F1F2|”，則定義敘述的內容不表示任何圖形，即動點軌跡不存在。（我在黑板上演示，顯然|PF1|-|PF2|﹥|F1F2|不能產生任何圖形）。
同樣，我給出三個小問題加以辨別：
問題：試判斷以下情況動點的軌跡：
（1）動點P到兩定點F1（-7,0），F2（7,0）的距離之差的絕對值小于14的點的軌跡是什么？
（2）動點P到兩定點F1（-7,0），F2（7,0）的距離之差的絕對值等于14的點的軌跡是什么？
（3）動點P到兩定點F1（-7,0），F2（7,0）的距離之差的絕對值大于14的點的軌跡是什么？
學生也可以很快得出結論。
然后，我又給出兩個問題：
條件改為“|PF1|-|PF2|﹤14”，動點的軌跡又會怎樣呢？
若條件改為“|PF2|-|PF1||﹤14”，動點的軌跡又會怎樣呢？
學生結合雙曲線的圖形，很容易判斷是：雙曲線的左支和右支。
《圓錐曲線》“條件”教學片段三：拋物線定義中的條件限制
講到2.4.1節《拋物線及其標準方程》一課時，同樣遇到了“條件”問題。
拋物線的定義（課本第65頁）是：平面內與一個定點F和一條定直線（不經過點F）距離相等的點的軌跡叫拋物線。
在用直尺、三角板、細繩等演示了拋物線形成過程之后，學生又不禁要對“條件”發問了。
學生問：老師，為什么定義中括號里要加一個條件“（不經過點F）”呢？
教師答：如果去掉“（不經過點F）”這個條件，則定義所表示的圖形將不一定是拋物線。
學生問：為什么？
教師答：這個問題可以從兩個角度理解：
①如果條件是“（不經過點F）”，則定義敘述的內容表示拋物線，這正如我們直尺、三角板、細繩等所演示的一樣。
②如果沒有“（不經過點F）”條件限制，則當經過點F時，點的軌跡是過定點F，且垂直于直線的一條直線，定義敘述的內容表示的圖形是一條直線而非拋物線。（然后我在黑板上畫圖演示，學生恍然大悟，看來學習知識必須要細致！）
然后，我又出了兩道題加以鞏固。
（1）平面內到定點F的距離等于到定直線的距離的點的軌跡是（ ）
A.拋物線 B.直線
C.拋物線或直線 D.不存在
（2）求過點F（1,0）且與直線：x+y-1=0的距離相等的點的軌跡。
很顯然（1）選C,（2）答案是：x-y-1=0（即：過定點F，且垂直于直線的一條直線）。
通過對《圓錐曲線》中橢圓、雙曲線、拋物線的定義教學，使我體會到“條件”教學的重要性，對于每一個數學知識點，必須清楚、完整地點撥，不留知識盲區，不留認識死角，真理越辨越明，只有讓學生全面、透徹的掌握知識，才能做到一通百通、游刃有余。
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