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例析一次不等式（組）的解題陷阱
例析一次不等式（組）的解題陷阱云南省紅河縣第一中學 楊萬春
在實際生活中，不僅存在量的相等關系，量的不等關系更普遍，因而學習數學不但要研究等式也要研究不等式。不等式是中學數學的重要概念，以后學習方程、函數、微積分等課程時經常要用到不等式，因而學習一次不等式（組）我們必須給與足夠的重視。我在教學中精選中考題為作業，發現了不少錯誤，現分析如下：
一、不等式方向理解不到位致錯
例1（2012廣安）不等式2x+9≥3（x+2）的正整數解是（
）。
不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變，但不少學生沒改變方向出現錯解。
二、去分母時漏乘不含分母的項致錯
例2（2010保山，文山，昭通）不等式1/2 x-3≤0的解為（ ）。
簡析：本題錯得最多的是去分母時漏乘不含分母的項。
三、多項式漏寫括號致錯
例3（2010昆明）解不等式組
x-3≤0 ①
x-1/2-2x-1/3＞1 ②
簡析：解第②個不等式時，由于分子為多項式，應對其加上括號，是保證正確答案的手段。
四、考慮不周全致錯
例4（2012襄陽）若不等式組 1+x＞a ①
2x-4≤0 ②
有解，則的取值范圍是（ ）
A a≤3 B a<3 C a<2 D a≤2
錯解：由①得x>a-1，由②得x≤2， ∴a-1<x≤2，∴a≤3，故選A。
剖析：當a=3時，3-1<x≤2，即2<x≤2，這時出現了矛盾不等式。
正解：以上同，原不等式組的解為a-1<x≤2，∴a<3，故選B。
例5（2011威海）如果不等式組
2x-1>3（x-1） ①
x< m ②
的解集為x<2，那么的取值范圍是（ ）
A m=2 B >m2 C -m<2 D m≥2
錯解：由①得x<2，因為不等式組的解為x<2，則m>2，故選B。
剖析：當m=2時，也符合題意；
正解：同上，則m≥2，故選D。
例6（2010荊門市）試確定實數a的取值范圍，使不等式組 x/2+ x+1/3＞0 ①
x+ 5a+4/3＞4/3（x+1）+a ② 恰有兩個整數解。
錯解：由①得x>-2/5，由②得x<2a
原不等式的解為-2/5<x<2a，由題意得1/2≤a≤1或1/2≤a<1。
剖析：利用數形結合法，畫數軸是正確解答的有效途徑。
正解：以上同，又由于原不等式組恰有兩個整數解0，1，由此可知1<2a≤2，1/2<a≤1。
五、不理解特殊符號或關鍵詞語的含義致錯
例7（2012福州）某次知識競賽共有20道題，每答對一題得5分，答錯或不答都扣3分，小亮獲得二等獎（70——90分），請你計算小亮答對了幾道題？
簡析：符號“——”表示70至90分，即用不等號表示應為≥70，≤90，但不少同學理解為>70，<90而錯解。
例8（2012南充）學校6教師和234學生集體外出活動，準備租用45座大車或30座小車，若租用1輛大車2輛小車共需租車費1000元，若租用2輛大車1輛小車共需租車費1100元。
（1） 求大小車每輛的租車費用各是多少？
（2）若每輛車上至少要有一名教師，且總租車費用不超過2300元，求最省錢的租車方案？
簡析：因為不理解關鍵詞的含義而錯用符號，“不超過”是不大于的意思，要注意關鍵詞的應用，“不超過”、“最多”、“不大于”等用“≤”連接；“不少于”、“至少”、“不低于”等用“≥”連接；“高于”、“大于”、“超過”用“>”連接；“小于”、“低于”用“<”連接。
六、不理解不等式組的解集含義致錯
例9（2012山西）不等數組
3-2x<5 ①
x-2≤0 ②
的解集是（ ） 。
錯解：①+②得-x+1<6，解得x>-5。
剖析：解不等式組與解方程組混淆。
正解：由①得-2x<2，x<-1， 由②得x≤3
不等式組的解集是-1<x≤3。
七、忽視零的特殊作用致錯
例10 解不等式x-3/2 - x+2/3<x+5/6
錯解 去分母得3（x-3）-2（x+2）<x+5
即3x-9-2x-4<x+5
0x<18
因0不能作除數故不等式兩邊不能同除以0，所以不等式無解。
剖析：得到0x<18后，可以判斷0x=0肯定小于18，即對一切實數都可使不等式成立。
正解：以上同0x<18
因為0x=0<18，故對一切實數x都可使原不等式成立。所以不等式的解是一切實數。
例11 ①若a>b，那么ac>bc；②若a>b，那么ac2>bc2；③若ac2>bc2，那么a>b。這三個命題中正確的是（ ）。
A ①②③ B ① C ② D ③
簡析 ①當以c=0或c<0時都是錯誤的。
雖然c2≥0，但當c=0時，有ac2=bc2，于是②也是錯誤的。
③是正確的，于是選D，但不少學生錯選A。
學生在解題過程中，出現了這樣那樣的問題，因而指導學生整理錯題集，分析錯因，對改掉各種癥結是很有益的。