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正確區分正比例和反比例的關系

時間：2022-08-13 04:50:12 數學論文我要投稿

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正確區分正比例和反比例的關系

正確區分正比例和反比例的關系
　　
　　貴州省水城縣紅巖鄉波浪小學徐大艷貴州省水城縣紅巖鄉紅巖小學徐大權
　　
　　【摘要】正比例和反比例這部分內容學生在學習過程中，尤其是在練習時，往往容易弄錯，混淆兩者之間的關系。因此，正確區分正比例和反比例之間的關系，是非常必要的。
　　
　　【關鍵詞】正比例反比例關系
　　
　　小學六年級的學生在學習正比例和反比例這部分內容時，尤其是在練習過程中容易混淆不清，經常弄錯。下面，本文從不同的角度幫助他們正確區分這兩者的關系，希望對他們的學習會有所幫助。
　　
　　一、正確認識兩者的意義
　　
　　正比例和反比例的意義教材中是安排在從Ｐ39到Ｐ47來進行敘述講解的，且都是通過對實驗中的數據進行分析之后概括得出的結論，這樣學生相對易于接受。
　　
　　1.正比例的意義：教材中的表述是“兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比值一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系。”
　　
　　2.反比例的意義：教材中的表述是“兩種相關聯的量，一種量變化，另種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系叫做反比例關系。”
　　
　　二、正比例和反比例的表達式
　　
　　（一）正比例關系的表達式
　　
　　如果用字母x和y表示兩種相關聯的量，用k表示它們的比值（一定），正比例關系可以用下面的關系式來表示：
　　
　　y/x=k（一定）或y =kx（k一定）
　　
　　（二）反比例關系的表達式
　　
　　如果用字母x和y表示兩種相關聯的量，用k表示它們的乘積（一定），反比例關系可以用下面的關系式來表示：
　　
　　X×y=k（k一定）或y=kx（k一定）
　　
　　三、正比例和反比例的規律及實質
　　
　　1.正比例關系中兩種相關聯的量的變化規律。正比例關系中兩種相關聯的量的變化規律是：同時擴大，同時縮小，比值（或商）不變。
　　
　　例如：汽車每小時行駛的速度一定，所行的路程和所用的時間是否成正比例？
　　
　　完成該題練習時，可以先寫出路程、速度和時間三者之間的關系式：速度=路程/時間，已知條件中速度為一定（即常量），根據“速度=路程/時間”這一關系式，結合正比例的意義，即可知道所行的路程和所用的時間是成正比例關系的。也就是說，當速度一定時，走的路程越多，所花費的時間也越多，反之，亦然。換句話說，路程和時間是成倍增長或縮小的。
　　
　　2.反比例關系的兩種相關聯的量的變化規律
　　
　　反比例關系的兩種相關聯的量的變化規律是：一種量擴大，另一種量縮小，一種量縮而另一種量則擴大，積不變。
　　
　　例如：當圖上距離一定時，實際距離和比例尺是否成反比例？因為實際距離×比例尺=圖上距離（一定），所以，實際距離和比例尺是成反比例的。
　　
　　四、正比例和反比例的異同點
　　
　　（一）正比例和反比例的相同點
　　
　　1.在事物關系中都包含有三個量， (范文先生網　 www.baimashangsha.com) 即有兩個變量和一個常量（即定值）。
　　
　　2.在相關聯的兩個變量中，當一個變量發生變化時（擴大或縮小），則另一個變量也隨之發生變化。
　　
　　3.它們相對應的兩個變量的積或商都是一定的（即常量）。
　　
　　也就是說，在正比例和反比例的兩個相關聯的變量中，均是一個量變化，另一個量也隨之變化。并且變化方式均屬于擴大（乘以一個數）或縮小（除以一個數）若干倍的變化。
　　
　　（二）正比例和反比例的不同點
　　
　　1.正比例的定量（或定值）是兩個變量中相對應的兩個數（即變量）的比值（或商）。反比例的定量是兩個變量中相對應的兩個數的積。
　　
　　2.當用圖象來表示正比例或反比例中兩個變量之間的關系時，所畫出來的圖象是不一樣的。正比例的圖象是一條傾斜的直線（又叫斜線）。反比例的圖象是一條曲線，且兩端永遠不會與兩條軸線（即橫軸和縱軸或函數中所稱的x軸和y軸）相交。
　　
　　（三）正比例、反比例之間可以相互轉化
　　
　　當正比例中的x值（自變量的值）轉化為它的倒數時，由正比例轉化為反比例；當反比例中的x值（自變量的值）也轉化為它的倒數時，則由反比例轉化為正比例。
　　
　　需要說明的是，教科書中在“正比例和反比例的意義”的講解中，并沒有指出正比例和反比例關系表達式中常量和變量的取值范圍。根據正比例的關系式y/x=k（一定）和反比例的關系X×y=k（k一定）可以知道，無論是正比例還是反比例，兩個變量x、y和常量k均不能為零。試想，在正比例y/x=k（一定）中，如果x為0，式子無意義；如果y為0，x不為0，則x的值是不確定的（這時候k的值為0），此時x和y就不存在正比例的說法了。同樣，在反比例X×y=k（k一定）中，如果x和y兩個變量中，只要其中一個為0或兩個都同時為0，則k的值都為0，x和y也無所謂反比例關系了。再說，如果x和y同時為0的話，那么x和y也不叫變量了，都不符合反比例的意義。所以，無論是正比例關系，還是反比例關系中，兩個變量x和y以及常量k都不能為0。
　　
　　因此，當正比例或反比例關系中其中一個變量用字母表示時，要求我們通過討論確定另一個變量的取值范圍的時候，我們就要注意正比例或反比例關系中兩個變量的取值絕對不能為零，否則，就失去意義了。
　　
　　【參考文獻】
　　
　　1.盧江、楊剛主編，義務教育課程標準實驗教科書小學六年級《數學》下冊[S]，人民教育出版社出版。
　　
　　2.謝鼓平主編，小學六年級數學《教案與設計》[S]，新疆青少年出版社出版。
　　
　　3.《貴州教育》[J]2012年第3-4期合訂本第65頁中《小學數學畢業復習建議》（王艷）。

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