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負數的本質與有理數乘法法則——從數學的角度解析“負負得正”

時間：2023-02-19 22:36:07 數學論文我要投稿

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負數的本質與有理數乘法法則——從數學的角度解析“負負得正”
　　
　　曾小平　石冶郝
　　
　　(首都師范大學初等教育學院，北京100048)
　　
　　一、有理數乘法法則需要數學證明
　　
　　有理數乘法法則是初中數學的重要內容，“負負得正”是其中的難點，研究表明，雖然學生都能準確記憶有理數乘法法則，并能依據法則進行計算，然而絕大多數學生都不能舉出實例來驗證法則，更沒有學生能夠解釋法則背后的數學道理，這也就是說，學生僅僅掌握了有理數乘法的算法，且只能遵循算法進行機械計算，并沒有真正理解其中的算理，
　　
　　導致這種現狀的原因可能是多方面的，然而本文只探索有理數乘法的算理是什么，即法則怎么來的，筆者帶著這一問題查閱了現行各版本的初中數學教材，發現各版本教材只給出了有理數的乘法法則，而沒有給出其中的理由．但教材為了讓學生發現有理數乘法法則，創設了一個生活化的數學情境，作為腳手架來幫助學生學習法則，
　　
　　比如，人教版教材創設的是“蝸牛爬行”的情境，一只蝸牛沿著直線Z爬行，它現在的位置恰好在f上的點O．讓學生根據生活經驗推斷：如果蝸牛一直以每分鐘2厘米的速度向右／左爬行，3分鐘后／前它在什么位置，在此情境中，“被乘數”、“乘數”和“積”涉及3個物理量（速度、時間和位移），每個量有3個基準（基準點O、約定正方向和負方向），三者關系比較復雜，弄得學生昏頭轉向，蘇教版、浙教版教材也是采用類似的情境來引入有理數乘法的．由于這類情境中的關系極為復雜，學生并不感興趣，更不可能從中歸納概括出有理數乘法法則．
　　
　　再如，北師大版教材采用了歸納模型，即讓學生在計算（-3）×3=-9、（-3）×2=-6、（-3）×1=-3、（-3）x0=0的基礎上，讓學生猜想（-3）×（-1）=?、（-3）×（-2）=?、（-3）×（-3）=?等算式的結果，進而歸納出有理數乘法法則．而華東師大版教材采用的是相反數模型，即從算式3x2=6和（-3）x2=-6出發，得到結論“兩個數相乘，把一個因數換成它的相反數，所得的積是原來積的相反數”，并用此結論計算3×（-2）=?和(-3)×（-2）=?，進而概括出有理數乘法法則．然而，學生很難接受這兩種模型，因為“兩個因數變小了，而乘積卻變大了”，這與學生已有經驗相矛盾。
　　
　　其實，有理數乘法法則并非人為規定，也不是根據生活實例和計算結果歸納出來的，而是由正負數的數學本質和運算的定義決定的．也就是說，有理數乘法法則是依賴于數學的特征和數學和諧運轉的需要，它的正確性可以用數學邏輯來證明．遺憾的是，現有證明都用到抽象代數中集、群、環的相關理論，非專業人士很難理解，不可能用于初中數學教學。
　　
　　然而，只要我們從負數的數學本質人手，根據整數四則運算的常用結論，可以證明有理數乘法法則．該證明難度不大，比較輕松地突破了“負負得正”，初中學生容易理解．同時，從數學出發用推理的方式證明有理數乘法法則，可以彌補上述教材所采用的歸納方法的邏輯缺陷。
　　
　　二、負數的數學本質與有理數乘法法則
　　
　　在非負數范圍內，加法可以暢通無阻地進行，即任何兩個非負數相加，其結果是非負數，可是，在非負數范圍內，減法卻不能暢通無阻地進行，當減數大于被減數時差不是非負數．然而，減法和加法互為逆運算，應當具備同樣的性質，其地位才是對等的，因此，要適當延伸非負數，即增加一些新的數，得到一個更廣闊的范圍，在這個范圍內，減法可以暢通無阻地進行，而原來能在非負數范圍內進行的四則運算仍然保持原來的結果和運算律（加法和乘法的交換律、結合律以及乘法對加法的分配律）。
　　
　　1．負數的數學本質
　　
　　負數最早出現在中國古代數學名著《九章算術》的“方程術”中，在用加減消元法解多元一次方程組時，為了表示小數減大數的運算結果，便引入了負數．后來，魏晉時期的數學家劉徽在《九章算術注》中對負數的出現作了解釋，“兩算得失相反．要令正負以名之”，著名數學家柯朗在《什么是數學》中進一步解釋道：“引進了符號-1，-2，-3，…以及對b<a的情況，定義b-a=-(a-b)．這保證了減法能在正整數和負整數范圍內無限制的進行。”
　　
　　由此可見，負數的產生，是源于減法的需要，負數的本質是小數減去大數所得的差，即負數c=-(a-b)=b-a（此時b<a）．舉個例子來說，在非負數范圍內，我們沒辦法計算5-8，但可以盡量將它化簡，即根據差不變的性質，得到5-8=0-3．把0-3看做一個新的數，簡單記作-3.而原來在非負數范圍內可以進行的減法還按原來的方法進行，比如8-5=3-0=0+3=3.更一般的，數學上規定形如3(=0+3)、5(=0+5)這樣的數叫做正數，形如-3(=0—3)、-5(=0-5)這樣的數叫做負數，把正數、零和負數統稱為有理數。
　　
　　2．有理數乘法法則的推導
　　
　　在有理數范圍內，借助負數的本質，可將有理數乘法轉化為非負數乘法來討論，而且該過程并不復雜（但要事先規定：零乘任何數都等于零）．為了論述方便，我們用a，6表示任意兩個正有理數，而用-a，-b表示任意兩個負有理數，對任意兩個非零有理數相乘的四種情況分別介紹如下：
　　
　　(1)正數×正數，仍然按照非負數的方式進行，即axb=ab：
　　
　　(2)正數×負數，a×(-b=ax(O-b)=a×O-a×b=0-ab=-(ab-O)=-ab（其中第二個等號成立的依據是乘法分配律，第四個等號成立的依據是負數的定義）；
　　
　　(3)負數×正數，(-a)xb=(O-a)xb=Oxb-axb=0-ab=-(ab-O)=-ab；
　　
　　(4)負數×負數，（-a）×(-b)=(0-a×(-b)=0×(-b)-a×（-b）=O-a（-b）=-a（一6）=-（-ab）=-（O-ab）=ab-O=ab(其中，第五個等號成立的依據(2)中的結果，第六個和第七個等號成立的依據是負數的定義）．
　　
　　可見，“負負得正”并非想象的那么復雜，也并非不可證明．還可以驗證，在有理數范圍內，乘法交換律、結合律和分配律成立．此外，我們可以用類似方法證明有理數的加減法法則和除法法則，難度也不大，感興趣的讀者可自行證明．
　　
　　三、有理數乘法法則的教學
　　
　　筆者設想：只要學生能夠理解負數的數學本質和運用負數的數學意義，并善于將與負數有關的問題轉化為與正數有關的問題，那么學生就可能以推理的方式推導出有理數乘法法則，從數學邏輯上理解“負負得正”的含義．為了驗證這一設想，筆者隨機選擇了初一年級一個班的學生，按照設想方式進行教學實驗，一個月后檢查發現這些學生大都能正確推導出有理數的乘法法則．現將教學過程簡要介紹如下，僅供老師們教學時作參考．
　　
　　1．復習舊知．引入課題
　　
　　師：請問負數的本質是什么？
　　
　　生：負數是小數減大數的差，也就是說，當b<a時，定義-(a-b)=b-a，比如，-3=0-3=2—5=…
　　
　　師：進入初中后，我們學習了有理數的加減運算．請你想想，有理數的加減運算和小學中非負數的加減運算有何異同？
　　
　　生：相同點是，非負數里加減的結果仍然等于現在有理數里加減的結果，加法交換律和結合律都成立；不同點是，有理數里參與運算的數可正可負也可為零。
　　
　　生：從非負數到有理數，數的范圍擴大了，參與運算的數更多了，但運算結果和運算律并沒有改變，
　　
　　師：我們今天學習有理數的乘法，你覺得有理數的乘法應當滿足哪些特征呢？
　　
　　生：最好也滿足交換律、結合律和分配律．
　　
　　生：非負數中乘法的結果要等于有理數中乘法的結果．因為非負數是有理數的一部分，兩個乘法的結果應當一樣，否則，出現多個結果，就不知道誰對誰錯，數學計算的結果應當是確定的！
　　
　　師：乘法從小學的非負數范圍拓展到我們現在的有理數范圍，(教學論文　www.baimashangsha.com)確實要考慮兩點，即同原來的運算結果相等和滿足原來的運算律，大家想一想，有理數的乘法到底有哪些情形呢？請舉例說明。
　　
　　生：按正數、負數和零來劃分，有理數的乘法有九種情形：零乘零，O×0；零乘正數，O×3；零乘負數，Ox（-3）；正數乘零，4x0；負數乘零，（-3）×0；正數乘正數，(+4)×(+3)；負數乘正數，(-4)×(+3)；正數乘負數，(+4)×（-3）；負數乘負數，(-4)×（-3）．
　　
　　2．巧妙轉化，解決問題
　　
　　師：根據目前的知識，你能算出哪些結果？
　　
　　生：因為零表示沒有，零與任何數相乘都應該等于零，這樣就有：O×0=0，0×3=0，0×（-3）=0，4×0=0，（-3）×0=0.
　　
　　生：正數乘正數，這和小學一樣，所以(+4)x(+3)=12。
　　
　　師：一般的，兩個正數相乘(+a)×(+b)=ab．其余三個怎么辦呢？怎么轉化成已經學習過的問題來解決呢？
　　
　　生：我解決負數乘正數的問題，根據負數的定義(-4)=0-4，那么（-4）x(+3)=(0-4)x3=Ox3-4x3=0-12=-12．
　　
　　師：對于任意負數乘正數問題，比如（-a）×(+b)，你能解決嗎？
　　
　　生：能，（具體過程略）
　　
　　生：我解決正數乘負數的問題。（過程略）
　　
　　師：對于任意負數乘正數問題，比如（+a）×(-b)，你能解決嗎？
　　
　　生：能。（過程略）
　　
　　生：我解決負數乘負數問題，(-4)×（一3）=(0-4)×（-3）=0×(-3)一4×（-3）=-（-12）=-(0-12)，根據負數的定義，等于12-0=12。
　　
　　師：對于任意負數乘負數問題，比如（-a）×（-b），你能解決嗎？
　　
　　生：能。（過程略）
　　
　　師：可見，兩個負數相乘，結果是正數，這就是所謂的“負負得正”。
　　
　　3．總結歸納，形成法則
　　
　　師：下面，我們把兩個非零有理數相乘的結論總結一下。
　　
　　生：同號的兩個數相乘，結果等于它們的絕對值相乘；異號的兩個數相乘，結果等于它們絕對值乘積的相反數。
　　
　　生：兩個數相乘，同號為正，異號為負，并把絕對值相乘。
　　
　　評析：通過負數的數學本質，巧妙的將有理數的乘法問題轉化成非負數的問題來解決．溝通了前后知識的聯系；同時，從特定算式到一般情況的推理，讓學生明白了，判斷數學結論正確性的依據是推理論證，而不僅僅是觀察歸納。
　　
　　四、關注數學知識的本質理解
　　
　　重視數學的生活化，將數學同實際生活聯系起來進行教學，讓學生體會到數學的有趣有用，是值得提倡的．然而，過度追求數學的生活化，可能會造成數學與生活生搬硬套的聯系，導致牽強附會的理解．況且數學在現實生活中的應用僅僅是數學極小的一個部分，數學更多的思想精華體現在數學進行抽象、概括、推理的過程中．如果僅僅以直觀的實例和虛構的模型來代替數學推理與論證，其結果只能是犧牲數學的科學性，讓學生不能真正理解數學核心內容和主要意義。
　　
　　因此，學習數學，更重要的是學習數學的內在實質，即學習數學化的思考與推理，學習數學提出問題、分析問題、解決問題的方法，為此，教師要精通數學學科的知識內容、把握數學的本質與特征、領悟數學思想方法的精髓、理解數學教學的價值，將它們滲透到數學教學當中，也就是說，數學教學，要展示數學核心概念的發生發展過程和基本結論的發現、證明和運用過程，展示數學提出和解決問題的思維過程，這樣，學生才能以“再創造”的方式獲得數學的基礎知識，領悟數學的思想方法和分析與解決問題的策略，進而發展思維、提高能力。
　　
　　參考文獻：
　　
　　[1]曾小平，涂榮豹．基于數學規定的“有理數乘法”教學[J].中學數學教學參考（初中版），2009(1-2)，48-51.
　　
　　[2]鞏子坤，“負負得正”教學的有效模型[J].教學月刊·中學版（教學參考），2010(1)，6-11.
　　
　　[3]陳綺云，何小亞．擺脫法則的枷鎖[J].數學教學通訊（教師版），2010(10)，24-25.
　　
　　[4]周超．三談“負負得正”[J].中學數學教學參考（初中版），2008(11)，56-58.
　　
　　[5]杜瑞芝，劉琳．中國、印度和阿拉伯國家使用負數的歷史的比較[J].遼寧師范大學學報（自然科學版），2004(3)，274-278.
　　
　　[6]R．柯朗，H．羅賓．什么是數學[M].左平，張飴慈，譯．上海：復旦大學出版社，2005:67.

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