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學齡前兒童數概念的發展
近年來，無論在國內或國外，由于社會生產和科學技術的迅速發展，需要加速培養人才，人們都越來越重視兒童的早期數學教育。目前對學齡前兒童進行數學教育有各種做法，究竟哪種比較好，是個值得深入研究的問題。其中很重要的一點是必須先了解幼兒數學初步概念形成和發展的特點，否則盲目地進行教育，不但收不到良好的效果，反而會妨礙幼兒身心的發展。本文根據一些調查研究材料就幼兒數概念發展的特點作一概述，并對如何發展幼兒的數概念提幾點看法。數（這里指自然數，下同）概念是數學中最基礎的知識，也是幼兒開始積累數學的感性經驗首先遇到的問題之一。掌握數概念是一個比較復雜的過程，不僅要會數數，還要理解數的含義，知道數的順序和大小，理解數的組成和數的守恒，掌握數的讀寫法。因為幼兒年齡小，身心都在發育中，要在不斷積累感性經驗的基礎上逐步形成數概念，所以要經歷一個較長期的過程。下面著重從四個方面進行一些分析研究。
一 計 數
計數活動的實質是在所數的物體集合的元素與自然數列中從1起各數之間建立一一對應，而把最后一個元素所對應的那個數作為計數的結果。有些幼兒雖然很早就能按順序說出數詞一、二、三……，但不能同所數的物體一一對應，或者不能確定數得的結果，這樣不能認為具有計數的能力。幼兒的計數能力是逐步發展起來的。研究表明，一般遵循以下的發展順序：先口頭數，然后點物數，再到說出計數的結果。
最初，幼兒沒有數量的觀念，對物體集合的感知模糊不清。以后逐漸能區別數量的多少。例如，給一歲多的幼兒每只手里放一塊餅干，如果拿走一塊，他會不滿意。兩歲左右，在成人的教育影響下，逐步學會個別的數詞，如“一”、“二”，但往往不能正確地用以表示物體的數量。例如，當問到物體“有多少”時，有些幼兒往往都用“兩個”來回答。兩歲至三歲的城市幼兒，有一些開始能數幾個數，有少數能數到10以上，但也有些（約1/3）完全不會數。三歲多的幼兒，多數能數到10。四歲多的幼兒，多數能數20以內的數，其中少數能數到100。五歲多的幼兒，多數能數30以上的數，其中約半數能數到100。六歲多的幼兒，大多數能數到100。農村的幼兒，由于環境和教育條件差一些，口頭數數的能力發展遲緩一些，但是到六歲以后大多數也能數20以內的數，即使是沒有入過學前班的，也有25％的幼兒能數到100。
幼兒在口頭數數的發展過程中有以下幾個特點：1.四歲以下的幼兒掌握一些數詞，但是往往分不清它們的先后順序，因而常出現跳數、亂數的現象，返回重數的情況也較多。2.四、五歲的幼兒，數到幾十九再接下去數困難較多，出現停頓、跳數、返回重數等現象。3.年齡較小的幼兒只會從1數起，五歲以上的幼兒開始有些能從中間任意一個數起接著數。這表明幼兒隨著年齡的增長，逐漸地在數詞之間建立起較牢固的聯系，并且對計數規律有了一定的理解。
幼兒雖然很早能口頭數一些數，但是大部分屬于“順口溜”的性質，很多幼兒不能把數詞同所數的物體一一對應起來。幼兒從口頭數一些數發展到初步能夠點物數是一個很大的進步。因為點物數需要多種分析器參加，并且協同動作。不僅語言運動分析器參加活動，運動分析器和視覺分析器也參加活動，正確地說出數詞的同時，手依次指點著一個個物體，眼同時注視著一個個物體，并且監視手指的運動。幼兒（特別是五歲以下）的大腦皮質抑制機能的發展還比較差，口手眼協調動作還不靈活，再加上口頭數數還不熟悉，在點物數時常常顧此失彼，因而出現漏數、重復數等不對應的情況。據調查，五歲以下的幼兒，點物數的能力大都落后于口頭數的能力。兩歲多的幼兒，有少一半能點物數三五個數，有25％只能點數到2，其余的完全不會點數。三歲多的幼兒，大都能點物數5以內的數，其中有些能點數到10。四歲多的幼兒點數時不對應的情況明顯減少，大都能點數10以內的數，有些幼兒點數的數目已接近口頭數的數目。五歲多的幼兒，大多數能點物數，點數的數目與口頭數的數目范圍基本趨于一致。六歲多的幼兒（包括農村的），基本上都具有點物數20以內數的能力。
幼兒說出計數的結果比點物數的能力的發展更遲緩一些。因為這需要在掌握點物數的基礎上理解數到最后一個物體，它所對應的數詞就表示這一組物體的總數，也就是說在數詞與物體的數量之間建立起聯系。由于幼兒的理解和概括能力較差，需要一個較長時間的反復實踐才能逐步掌握。據調查，兩歲多的幼兒，有些雖能點物數幾個數，但其中有40％左右不能說出計數的結果，能說出計數結果的幼兒也大都小于點物數的數目范圍，最多不超過3。但是也有25％的幼兒，完全不會點物數，卻能說出兩個或三個物體的總數，這是他們長期直接感知的結果。三歲多的幼兒，仍有20％左右會點物數幾個數但不會說出計數的結果；1/3的幼兒只能說出兩個或三個物體的總數；有些幼兒能說出五、六個物體的總數，但是也明顯落后于他們的點物數的能力。三歲多的幼兒，大多還不能按指定的數（5以內）取物，有些幼兒所取物體的數量是對的，但是當問到所取的總數是多少時，又說錯了。四歲多的幼兒，大多數能說出數量在10以內的物體的總數，而且能按指定的數（10以內）取物；約半數的幼兒說出計數結果的數目范圍與點物數的數目范圍大體趨于一致。這表明幼兒初步理解了數的基數含義。五六歲的幼兒，不僅計數的范圍逐步擴大，計數的準確性也不斷提高，基本上都能按指定的數正確地取出物體。計數的技巧也在發展著，表現在從逐一計數發展到按群計數。五歲多的幼兒有極少數已能兩個兩個地數，六歲多的幼兒能兩個兩個地數的達40%左右，極少數還能五個五個地數。計數時也逐步擺脫了手觸摸物體。六歲多的幼兒中，有1/3能直接用眼看著數，以眼的活動代替了手的活動。
二 數的序列
掌握數的序列結構，是掌握數概念的一個重要組成部分。其中包括知道自然數的順序，每個數在自然數列中的位置，數與數間的順序關系和大小比較，以及序數的含義。
幼兒在學習計數的過程中，已經接觸到數的序列，也逐漸認識一些自然數的順序。但是從掌握數的序列結構來說，還是很初步的。特別是在開始學習計數時，往往是把一個數詞與另一個數詞機械地建立起聯系，并不明白數的順序關系。隨著比較實物的數量的多少、給實物或數目排序等活動，逐漸掌握數的順序關系。
幼兒比較數的大小能力比計數能力發展要晚一些。三歲多的幼兒，多數能從1數到10，但是若問7和9哪個多，大都不知道；四歲多的幼兒能答對的也不到一半，五歲至五歲半的幼兒也只有50% 能答對。有的幼兒提出要求說，“你得拿出（東西）來讓我數”。由此可見，較小的幼兒，只能看著實物依靠數數來比較數的大小，還沒有建立起抽象數的順序與數的大小的明確關系。五歲半以后，一般幼兒都能較順利地比較10以內數的大小。
給三個以上的實物或數字卡片排序的能力，也反映幼兒掌握自然數的順序和大小的水平。幼兒在這方面的能力發展得更晚一些。因為在排序時不僅要熟悉數的順序，還要能比較每兩個數的大小，而且能協調幾個數目間的關系，每次選擇的一個數要比前面的一個數大而比后面的一個數小，這對幼兒來說是比較難的。調查表明，四歲以下的幼兒大都沒有排序的能力。四五歲的幼兒，排序的能力明顯提高，但是也有少一半不會做。例如，能給畫著l—5只小貓的畫片排序的達58.3% ，能給三張10以內的點子圖排序的約75% 。給數字卡片排序的成績稍好一些。這階段的幼兒在排序時大多采取嘗試錯誤的方法。到六歲以后，一般都能按照數的順序比較順利地排出20以內的數的順序，顯示大多數幼兒掌握了20以內數的順序關系。
掌握數的序列的另一重要方面是理解數的序數含義。前面所講的計數還都是從數的基數含義方面來理解的，就是懂得用數可以表示物體集合中元素的個數。而理解數的序數含義，卻是要懂得用數可以表示集合中某一元素在序列中的位置。幼兒理解和掌握數的序數含義，一般比較晚。因為這需要幼兒先掌握開頭幾個數的順序，能夠一一對應地點數物體，還要有給物體或數目排序的經驗。據研究，幼兒最初分不清基數與序數，兩者常發生混淆。例如，當問到“這是第幾個”時，兩三歲的幼兒常不會回答，或者用基數回答“三個”“五個”。要求他們按指定的序數取物更困難些，大多數拿第一個或最后一個，有的還隨便拿一個或兩個。四歲多的幼兒，序數觀念有了較快的發展，多數能指出5個以內的物體的排列順序；五六歲的幼兒，大都能理解10個以內的物體的排列順序，但仍有少數對基數與序數發生混淆。
三 數的組成
掌握數的組成，從本質上說是從整體與部分的關系上來掌握數的結構。前面講到計數，只是把物體集合看作一個整體，并不涉及它能劃分成幾個部分，以及幾個部分間的關系。數的組成揭示了一個數可以分成幾個數，反過來幾個數可以組成一個數。這樣使幼兒從整體與部分的關系上理解數與數之間的關系，不僅加深對數概念的理解，思維能力也得到發展。
幼兒對數的組成的理解比較晚，也經歷了一個較長的過程。據研究，最初給幼兒幾個物體，幼兒看到的只是一個個單個的物體，還不能把它們看作一個整體。在成人的教育影響下，幼兒逐漸能把它們看作一個整體，數出它們的個數。在點數物體的過程中，由開始知道一個數是由若干個一組成的，逐漸發展到知道一個數可以由幾個相同的或不相同的數組成。五歲以下的幼兒對數的組成理解的很少。如給幼兒3個木塊，讓他擺成兩堆，看幾個和幾個合起來是3個，能答對的不到10% ；五歲多的幼兒能答對的也不過25% ，另有1/3的幼兒能答對一部分。他們往往看不出部分與整體的關系，如答“3和3合起來”，“2合起來3”，“3個合在一起是3個”等。六歲多的幼兒，由于成人和教學的影響，答對的可達75%，其余的幼兒能答對一部分。但若給幼兒10以內的一個抽象數，要求說出它的組成，六歲以下的幼兒大都要依靠扳手指才能答對一部分，六歲多的幼兒能答對也只有1/3，另有一些能答對一部分，其中有些仍需要扳手指。這些情況表明，由于幼兒的抽象思維水平較低，分析、綜合的能力也較差，要完全理解和掌握10以內數的組成還有一些困難。
四 數的守恒
數的守恒指的是一組物體的數目不因其排列方式的改變而改變。瑞士心理學家皮亞杰認為，數量的守恒本身并不是數的概念，而是一個邏輯的概念，但是兒童必須掌握了數量的守恒原理，才能發展數的概念。因此理解和掌握數的守恒是發展兒童數概念的必不可少的一個組成部分。
幼兒開始理解數的守恒也比較晚。據皮亞杰研究，若把一行木片排得密一些或稀一些，幼兒一般要到六歲半到七歲才知道總數不變。對我國幼兒的測試，結果相似。六歲以下的幼兒絕大多數不理解數的守恒。例如，把數目相同的兩組物體一一對應地排成兩行，然后把第二行物體的間隔拉大，六歲以下絕大多數幼兒根據物體排列的長短來判定第二行的數目多，六歲多的幼兒能理解的有明顯的增長，可達75%。把數目不同的兩組物體一一對應地排成兩行，然后把第二行物體（數目較少）的間隔拉大，使兩行的兩端分別對齊，測試結果與前面基本相同。雖然六歲多的幼兒能正確回答的增多了，但還有不少幼兒說不清理由。七歲以后，大多數兒童才既能正確回答又能說明理由，達到完全理解數的守恒。
五 對發展幼兒數概念的幾點看法
從上面的研究可以看出，幼兒數概念的發展具有一定的順序性和階段性。兩三歲幼兒大都處在數量感知階段，對數僅有模糊觀念，有些幼兒雖認識幾個數，大多是靠直接感知的。四五歲幼兒大都進入數概念開始形成階段，能點數數量不多的物體，并說出計數的結果，初步掌握一些數的順序和大小，初步理解數的基數和序數含義。六七歲幼兒大都進入數概念基本形成階段，能較順利地一個一個點數較多的物體，有些還能按群計數，開始理解數的組成和數的守恒。但另一方面，也要看到幼兒數概念的發展是不平衡的，個別差異很大。其原因是多方面的，同先天的遺傳素質有關，但是環境和教育的影響更大。國內外有很多試驗和調查可以說明這一點。當前我國城鄉幼兒數概念的發展同解放初比較，已有了較大的提高，也說明我國社會主義制度和教育起了重要的作用。我國城鄉幼兒數概念的發展還存在一些差別，隨著農村生產的發展，物質、文化和教育條件的改善，城鄉的差別逐步縮小，城鄉幼兒數概念的發展的差別也正在逐漸縮小。
如果把上面的調查研究結果同一些外國的材料比較，可以看出，我國幼兒數概念的發展并不比外國的幼兒低。例如，日本的幼兒，三歲左右能正確地從1數到5；五歲時能口頭數到30和40左右，而作為數概念能理解到10左右；六歲時能口頭數到100左右，點實物能數到20左右。美國幼兒的認數能力比日本幼兒低一些。蘇聯的五歲多幼兒一般會10以內計數，有些能數到12—15。這可能與各國語言中數詞的難易有關。
下面就如何根據幼兒的年齡特點，有計劃有步驟地發展幼兒的數概念，簡單地談談個人的幾點看法。
（一）發展幼兒數概念，必須在保證完成幼兒教育的總目標、總任務的前提下來進行。有的家長或幼兒園教師希望孩子早日成才，往往不適當地提早或提高要求幼兒能數較多的數，成套地說數的組成，甚至計算一些進位加法和退位減法，結果使幼兒對數學產生了畏懼，妨礙了身心的發展。為此，確定幼兒的認數范圍和要求，應注意是幼兒一般不需要費力就能達到的。如日本，在幼兒園大綱中明確規定，不應當讓幼兒記過多的數詞和數過多的數。
（二）教學的重點，不是教會幼兒數很多的數，而是通過不大的數目使幼兒初步理解數的意義，形成正確的數概念。例如，要能夠一一對應地點數10以內（最多不超過20）的物體，知道數到最后一個數既可以表示所數物體的總數，也可以表示最后一個物體的排列次序，知道數的順序和大小，結合直觀初步知道數與數間的關系，認數字等。另外，要著重把教幼兒認數同發展幼兒的智力結合起來，通過認數活動發展幼兒的操作能力、觀察力、注意力和思維能力。這樣既可以給小學數學的學習做較好的準備，又避免同小學的過多重復。
（三）教學的順序應注意與幼兒數概念發展的先后順序大體相適應。例如，幼兒對數的守恒的理解比較晚，就不宜過早提出這方面的要求；對數的組成的教學也不宜過早，應重在理解。安排教學還要適當考慮如何便于幼兒掌握數概念。例如，家長教兩三歲幼兒往往從口頭數數開始，但是目前國外的早期數學教育趨向于從物體集合的分類、一一對應和給物體排序等實際操作開始，而不是先教幼兒順口溜地數數，這是掌握數概念的重要基礎。
（四）教學方法要適合幼兒的年齡特點。教學時要充分利用游戲和有趣的活動引導幼兒認數，使幼兒對認數發生興趣，在有趣的活動中接受數學教育。教學時要按照實物操作→表象→抽象概念的順序逐步使幼兒形成正確的數概念。還要根據各年齡幼兒的生理、心理發展水平恰當地提出要求。
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