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談小學數學教學中培養學生解答應用題的能力

時間：2023-02-27 11:52:17 數學論文我要投稿

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一培養學生解答應用題能力的重要性

談小學數學教學中培養學生解答應用題的能力

　　關于培養學生解答應用題能力，《九年義務教育全日制小學數學教學大綱（試用）》中沒有明確提出，但是在教學目的中講到了使學生“能夠運用所學的知識解決簡單的實際問題”，這實質上包含了培養學生解答應用題的能力，當然在小學還是初步的。可以說，培養學生解答應用題的能力是使學生能夠運用所學數學知識解決簡單的實際問題的基本內容和重要途徑。因為應用題反映了周圍環境中常見的數量關系和各種各樣的實際問題，需要用到不同的數學知識來解決。通過解答應用題，促使學生把所學的數學知識同實際生活和一些簡單的科學技術知識聯系起來，從而使學生既了解數學的實際應用，又初步培養了運用所學的數學知識解決實際問題的能力。另外數學作為一門工具學科，也應該把它用于解決實際問題作為教學的一個重點。這一點越來越多地被各國數學教育工作者所認識。例如，美國在80年代初就提出“解問題是80年代學校數學的重點；”在為90年代擬訂的中小學數學課程標準中，再一次強調數學教育的目標之一是使學生成為“具有解數學問題能力的人”，“有效地應用數學方法解問題的人”。當然，培養學生解應用題能力的重要意義遠不止于此，還可以發展學生的邏輯思維能力，培養學生良好的思維品質（如思維的靈活性、創造性）和道德品質等。而這些都是作為現代社會中具有較高的文化素養的公民所必須具備的能力和品質。

　　長期以來，我國的小學數學，無論從教材或從教學來說，對應用題教學是重視的，但是也存在不少問題，主要是偏重內容的教學，輕視能力的培養，加之教材的選擇和編排不盡合理，教學的方法不盡適當，以致花的力量很大，收的效果較小。因此，如何提高學生解應用題能力，又使學生負擔較輕，是一個值得認真研究探討的問題。

二解答應用題教學的改革趨勢

　　近年來，國內外一些數學教育工作者和有經驗的教師對解答應用題的教學，特別是如何培養能力進行了一些改革的嘗試，取得了一些有益的經驗。主要有以下幾個發展趨勢。

　　（一）應用題的內容趨于擴大

　　首先是加強聯系實際的問題。不僅限于課本中編好的現成應用題，而是從實際生活中收集材料和數據，進行一些計算。例如，美國在進行加減計算時，讓學生分類收集一些數字材料，然后進行統計和計算。英國在教學時給學生一張火車時刻表，不僅讓學生能看懂某次車始發和到達的時刻，而且進行各種計算。通過一些實際作業使學生知道數學的概念和思想就存在于人們的活動當中，并且能夠運用數學知識解決生活中的實際問題。我國有些教師也很注意實際生活中的數學問題。例如，一位教師出了這樣一個題目：“某車間用一塊長90分米、寬60分米的鐵皮剪成半徑是10分米的圓形鐵片，該怎樣下料才能使鐵皮的利用率最高？”結果多數學生列成下式：90×60÷（3.14×10²）≈17個；部分學生通過畫圖（左下圖）得到答案是12個；還有一部分學生通過操作（如右下圖）

　　得到答案是13個。通過討論，使學生認識到最后一種下料方法利用率高，而第一種計算方法是脫離了這塊鐵皮的實際的。通過這樣的問題使學生初步體會到在解決實際問題時絕不能生搬硬套所學的計算知識，還要注意對實際問題進行具體分析。

　　其次，運用數學知識所解的問題不限于實際生活中遇到的，還包括一些有助于培養學生運用數學知識進行探究能力的問題。例如，在下面的○里填上合適的數，使每相鄰兩個○里的數的和等于它們中間□里的數。讓學生不僅寫出不同的答案，而且找出填寫的規律，并回答出能不能使開頭和末尾的○里的數相同。由于解題的范圍較廣，很多國家不用“應用題”這個名稱，直接叫做“問題”，日本原來叫做“應用題”，現改稱“文章題”，以體現其范圍的擴展。

　　（二）應用題的難度趨于降低

　　這個問題在多數國家已經得到解決。如日、美、英等國，解問題的面較廣，較聯系實際，但是難度較小。如日本課本中的文章題大多是兩步計算的。有少數國家，如俄羅斯，原來應用題的難度較大，步數較多，后來難度已有所降低或適當后移。特別是在把小學三年制改為四年制以后，隨著算術內容教學時間的延長，相應地應用題的教學時間也拉長了，應用題的難度也進一步降低。香港地區編訂的《數學科學習目標》中規定整數四則應用題，“每題運算次數不超過兩次”，分數、小數限解簡易應用題。許多國家或地區采取這些措施，使應用題教學更適合小學生的年齡特點，無疑會有利于減輕學生的學習負擔，更好地激發學生對解應用題的興趣和積極性。我國在解應用題方面一直存在著偏難偏多的問題，特別是升學考試為了便于擇優錄取，往往出現超過大綱、課本范圍的題目，給教學帶來很大的壓力和負擔。近年來實施義務教育以后，強調全面提高民族素質，應用題教學開始注意適當降低難度，是一個可喜的現象。

　　（三）重視培養學生掌握解題的一般策略

　　這是培養學生解應用題能力的重要條件之一。它與應用題的教學目的和作用是緊密聯系著的。長期以來，無論在國內或國外，都或多或少地把在小學數學課中要教會學生解答某些類型的應用題作為教學的最終目的。從這一看法出發，把教給學生應用題類型，記結語或公式作為基礎知識。結果形成學生套公式的習慣，沒有真正培養起解題能力。近些年來，越來越多的數學教育工作者認識到，應用題教學的最終目的，應是通過一些有代表性的問題的解答，使學生掌握解問題的一般策略或方法，從而達到真正培養學生解決簡單的實際問題的能力。例如，日本伊藤武說過，過去解應用題，安于形式地機械地進行，把應用題分成若干類型，每一個類型都有一種確定的解法，結果容易使學生對確定的一些問題會解，而沒學過的應用題就不會解了。前蘇聯弗利德曼著《中小學數學教學心理學原理》中說：“形成和發展學生解任何數學題（包括實用題）的一般技能，這是數學教學的基本職能之一”。1988年第六屆國際數學教育會議也強調教學生學會使用解題的一般策略。有的代表指出，傳統的教學解問題的方法往往是由教師給出一個范例，讓學生模仿；教師不僅沒有給學生準備真實的問題情境，也沒有教給學生一般的解題策略，這樣既不能提高學生解問題的能力，也不能提高他們解問題的積極性。有代表提出解數學問題的一般策略有：聯系、分析、分類、想象、選擇、作計劃、預測、推論、檢驗、評價等。美國新擬訂的《中小學數學課程和評價標準》中，每個學段的第一條標準就是學習和應用解問題的策略，只是要求的水平不同，體現逐步提高。目前美國的小學數學課本大都編入解題的一般策略，作為正式的教學內容。例如，一本五年級課本中出現以下一些內容：用圖解，檢驗，有多余條件或缺少條件的，編題，多步題的解題步驟，估算得數，用表解。

　　近年來，我國一些數學教研人員和教師也開始注意研究如何教給學生一般的解題思路和方法，特別重視分析題里的數量關系。有的實驗教材中也加強理解題意，摘錄應用題條件，補充應用題的條件，檢驗應用題的解答等的訓練。這對于提高學生解答應用題能力有很大的幫助。

　　（四）加強方程解法使之與算術解法相輔相成

　　從60～70年代的數學教育現代化運動開始，許多國家的小學數學增加了簡易方程和列方程解應用題。但是列方程解應用題教學的起始期以及深度、廣度，差異很大。例如，前蘇聯教學方程解法從小學二年級就開始了，而且有兩步的應用題要求用方程解。這就涉及算術解法與方程解法之間的關系問題。近年來逐漸趨于一致。一方面，較多的國家或地區，如日本、俄羅斯、香港等，小學教學列方程解應用題限兩、三步計算的，另一方面是在用算術方法解應用題有了一定基礎再逐步出現列方程解應用題，這樣可以使兩種解法起到相輔相成的作用。

　　在我國，自80年代初小學開始增加列方程解應用題，一直有不同的看法。十多年的實踐表明，增加簡易方程和列方程解應用題，的確有助于發展學生的抽象思維，減少解應用題的難度，培養學生靈活解題的能力，并有利于中小學數學的銜接。但是在實際教學時還存在著不同的處理方法。特別是涉及分數除法應用題的教學，很多教師把用方程解作為向算術解法的過渡，最后還是強調算術解法，忽視方程解法。這樣仍不能達到降低難度減輕學生負擔的目的。近年來有些改革實驗，強調算術解法與方程解法并重，相輔相成，取得較好的效果。例如，據《小學數學教師》1989年第3期載上海虹口區教育學院等按上述方法試驗情況，第一次測試，試驗班與控制班差異不明顯，第二年秋追蹤到中學進行測試，結果試驗班成績明顯優于控制班，只學算術解法的學生到了中學產生了負遷移。另據《小學數學教師》1992年第2期載無錫市教委教研室等使用課程教材研究所編的實驗教材，也取得類似的結果。兩個實驗班采取加強算術解法與方程解法的聯系，并且兩者并重，而兩個對照班仍教給解題模式。結果單元教學完了，測試實驗班和對照班成績沒有顯著差異，但是寒假后再測試差異明顯，實驗班和對照班的成績分別為87.3分和78.7分。但是根據北京一所小學的實驗，單元教學完了在測試3步題和靈活解應用題時，實驗班和普通班的成績就出現明顯差異。

三義務教育《小學數學教學大綱（試用）》對提高解應用題能力采取的措施

　　《九年義務教育小學數學教學大綱（試用）》為了適應義務教育的性質和需要，切實提高小學生解答應用題的能力，根據國內外應用題教學改革的趨勢，結合我國的實際情況，采取以下一些具體的改革措施。

　　（一）降低應用題的難度

　　《大綱（試用）》明確規定：整數、小數應用題最多不超過三步；分數、百分數應用題以一、兩步計算的為主，最多不超過三步（只限比較容易的）。刪去了原大綱中的稍復雜的應用題以及綜合性的不太繁難的應用題。由于全國各地的條件不平衡，作為義務教育，提出的統一要求不能太高，這樣修改就使全國大多數學校大多數學生經過努力都能達到規定的要求，而且有利于學生的全面發展，為升入初中打下更好的基礎。考慮到各地的條件不平衡，《大綱（試用）》中也注意有些彈性，規定四步應用題（比較容易的）作為選學內容，以便使少數條件較好的學校能充分發揮學生的積極性，更好地提高解題能力。

　　（二）加強聯系實際

　　這比原大綱有明顯加強。一方面增加了聯系實際的內容，如百分數的應用中明確提出利息的計算，把求平均數問題與統計緊密結合起來等。另一方面在說明中強調“要引導學生了解數學知識的實際應用，從當地實際出發，進行調查，收集數據，在教師的幫助和指導下，編成數學問題，進行計算、解答，或作一些簡單的統計，逐步培養學生這方面的興趣、意識和解決實際問題的能力”。這對于培養學生具有自覺地把數學應用于實際的意識和態度，使數學真正成為學生手中的有用的工具，起著重要的作用。

　　（三）注意體現教給學生解題的一般策略

　　在《大綱（試用）》的說明中提出：“要引導學生分析數量關系，掌握解題思路。”這實際體現了培養學生掌握解題的一般策略。為了使之更加落實，在各年級的教學要求中還明確提出分階段要求。例如，在五年制一年級要求學生知道題目中的條件和問題，二年級要求初步學會口述應用題的條件和問題，三年級把常見的數量關系作為知識點列入大綱，要求初步學會口述解題思路，進一步培養檢查和驗算的習慣，四年級要求掌握解應用題的一般步驟，五年級要求會有條理地說明解題思路。這樣安排要求，有利于循序漸進地培養學生掌握解題的一般策略，逐步提高學生解應用題的能力。與此同時，《大綱（試用）》中還注意適當讓學生掌握解題的特殊策略或方法。例如，說明和教學要求中都提到會按照題目的具體情況選用簡便的解答方法。這樣有利于培養學生思維的敏捷性和靈活性。

　　（四）適當加強方程解應用題及其與算術解法的聯系

　　首先，在教學簡易方程時增加了ax±bx=c這一類型，相應地擴展了用方程解應用題的范圍。這不僅可以用來解答較多的整數、小數應用題，而且可以用來解答一些分數、百分數應用題（需用逆思考的）。這樣還降低了所解的分數、百分數應用題的難度。例如，“飼養小組養白兔和黑兔共18只，

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學生接受，而且符合代數列方程解應用題的一般思路，從而為初中的學習做更好的準備。其次，《大綱（試用）》中強調五年級進一步提高用算術方法和用方程解應用題的能力，體現了加強兩者間的聯系以及靈活合理地運用兩

　　知道方程解法和算術解法是密切聯系著的，不是各自孤立的。也只有這樣教學才能提高學生用兩種方法解應用題的能力，從而進步發展學生在解題中的思維的靈活性和創造性。

四對培養學生解答應用題能力的幾點教學建議

　　下面根據近年來國內外改革的經驗以及個人參加實驗工作中的體會，對培養學生解答應用題能力提幾點教學建議。

　　（一）抓好簡單應用題的教學

　　大家都知道，解簡單應用題是解復合應用題的基礎，無論整數應用題或分數應用題都是一樣，它們有共同的教學規律。打好整數、分數簡單應用題的基礎就為解復合應用題做好了準備。

　　怎么叫做打好解答簡單應用題的基礎？個人體會主要是使學生初步理解和掌握四則運算的意義，會分析簡單應用題里的數量關系，然后能根據題里的數量關系正確選擇運算方法，并養成檢驗的良好習慣。下面做一些具體的分析。

　　1.初步理解和掌握四則運算的意義。這是學習解答一切應用題的重要基礎。正像有的教師所講的，雖然應用題的內容是千變萬化的，但都是四則運算在實際中的應用。往往有些學生不理解四則運算的意義，解答簡單應用題時亂猜算法，或者根據題里的某個詞語選定運算方法，這樣是不能真正培養起解答應用題的能力的。關于四則運算的意義，要根據兒童不同年齡的認知特點分成不同的層次來教學。低年級要通過操作直觀使學生理解每種運算的含義。例如減法，只要通過擺物品和圖畫等使學生懂得是從一個數里去掉一部分求剩下的部分是多少；高年級再進一步抽象，使學生懂得減法是已知兩數和與其中一個加數求另一個加數是多少。高年級教學分數除法也是從乘法的逆運算的角度來理解的，這樣就便于在解應用題時實際應用。

　　2.使學生學會分析數量關系。這是解答應用題的一項基本功。即使是簡單應用題也存在著一定的數量關系，絕不能因為應用題簡單而忽視對數量關系的分析。分析清楚題里已知條件和問題之間存在著什么樣的數量關系，才好確定解決問題的方法。有些簡單應用題的數量關系是明顯的，學生容易弄清的。例如，“有5只黑兔，又跑來3只白兔，一共有幾只兔？”學生很容易弄清，把原有的5只和跑來的3只合并起來，就可以知道一共有幾只兔。但是有些簡單應用題，學生分析數量關系就困難一些。例如，“有5只黑兔，白兔比黑兔多3只，白兔有多少只？”有些學生往往不清楚題里的數量關系，簡單地看到“多3只”就判斷用加法，結果與遇到求白兔比黑兔多幾只的題發生混淆。因此，教學時最好通過操作、直觀使學生弄清題里的數量關系。如下圖，引導學生根據題里的條件分析出：白兔的只數多，可以分成兩部分，一部分是和黑兔同樣多的5只，另一部分是比黑兔多的3只，要求白兔的只數就要把這兩部分合并起來，從而要用加法計算。由于通過操作和直觀，在學生的頭腦中對所學的應用題的數量關系形成了表象，經過多次練習，就能初步形成概括性的規律性的認識。這樣教學，學生對每種應用題的數量關系都有一定的分析思路，就不容易發生混淆，也就不需要再教什么計算公式。

　　還可以舉一道分數應用題。例如，“果園里有梨樹480棵，占

　　還有一個判斷哪個量是單位1的問題。通過線段圖，學生容易理解，梨樹的

　　要把總棵數看作單位1。進一步再分析，題里沒有告訴總棵數是多少，知道

　　用題的數量關系，并且可以防止學生根據一些關鍵詞來機械地判斷單位1和套用數量關系式。

　　3.緊密聯系運算的意義來選擇運算方法。在分析數量關系的基礎上緊密聯系運算的意義（或含義），把對運算的意義（或含義）的理解與應用直接聯系起來，很容易確定運算方法。例如，當學生分析出要把兩個數合并（結合應用題內容具體分析，如上面求白兔的只數的應用題），就聯想到用加法；當分析出要從一個數里去掉一部分，就聯想到用減法；當分析出要求幾個幾是多少，就聯想到用乘法；當分析出要把一個數平均分成幾份求一份是多少或者求一個數里有幾個另一個數，就聯想到用除法。對于分數應用題也是一樣，當分析出要求一個數的幾分之幾是多少，聯想到一個數乘以分數的意義，可以確定用乘法；反過來當分析出一個數（未知數）的幾分之幾等于多少（已知），要求未知的數（如上面求果樹的總棵數的應用題），聯想到可直接列方程解，或聯想到分數除法的意義，可確定用除法。由于運算的意義（或含義）與分析應用題的數量關系建立起直接聯系，學生在解答應用題的過程中一方面加深對運算意義（或含義）的理解，一方面學會應用運算的意義（或含義）來解題，從而提高學生自覺地應用所學的數學知識正確地解決實際問題的能力。

　　4.培養檢驗的良好習慣。解答簡單應用題同進行四則計算一樣，也要注意培養檢驗的習慣，這樣一方面可以提高解題的正確率，另一方面可以為培養檢驗復合應用題的能力打下初步基礎。檢驗應用題要比檢驗四則計算復雜一些，首先要重新讀題，分析已知條件和所求的問題之間的關系是否正確，然后再看列式、計算、答案是否正確。較高年級還可以通過改編應用題并解答來進行檢驗。通過檢驗還可培養學生思維的深刻性，對解答結果的負責態度和自信心。

　　實踐表明，很多城鄉的教師按照上述原則和方法教學，收到良好的效果，學生容易接受，解題的正確率高，靈活應用知識的能力較強。但是也有一些教師采用另一種教學方法，即教給學生區分應用題類型，運用解題公式，結果給學生增加了學習難度，出現死記硬套的現象。目前對這個問題還有爭論，下面談談個人的一點看法：

　　（1）從數學本身看，把簡單應用題劃分的類型以及概括的解題公式是否科學，還值得研究。簡單應用題的內容范圍很廣，從科學的角度說，研究它的分類是完全可以的，實際上美、日等國也有些數學教育工作者對簡單應用題進行分類。但是如何分類差異較大，目前國內流行的分類也不完全一致，因此這還是一個有待深入研究的問題。例如現代數學用笛卡爾積定義乘法，有些實際問題就不好區分被乘數和乘數。而這類問題就沒有包括在目前流行的分類之中。把求一個數的幾分之幾是多少作為一個類型題也欠妥當，因為一個數乘以分數的意義就是求一個數的幾分之幾是多少，這樣的應用題不過是分數乘法的意義的直接應用，根本沒有什么分類型的問題。至于有些解題公式是否正確地全面地反映實際也值得研究。例如，所謂“標準量×分率=部分量”，容易使學生誤解“部分量”都是小于“標準量”的，從而導致判斷哪個量是“標準量”的錯誤。而且遇到這樣的問題只要應用一個數乘以分數的意義就能解決，因此這種公式是多余的。

　　（2）從唯物辯證觀點來看，應用題的數量關系是有內在聯系的，分類型、套公式，往往把本來有聯系的問題人為地割裂開來，不利于學生掌握。例如，有這樣兩道應用題：“食堂每天吃20千克面粉，3天吃多少千克面粉？”“食堂每天吃20千克面粉，吃的大米是面粉的3倍，每天吃大米多少千克？”如果分析兩題的數量關系，都是求3個20千克是多少，因此要用乘法算。如果要把它們劃分為兩種不同類型的題，就割斷了它們在數量關系上的內在聯系，從而不利于學生以簡馭繁地掌握應用題的分析和解答方法。

　　（3）從學生的認知特點來看，也值得研究。低年級學生的認知特點是以具體形象思維為主，教學解應用題同教學其它數學知識一樣，也應結合操作、直觀，使學生掌握應用題的分析和解答方法，而不宜教給抽象類型、公式，否則學生不理解，就容易死記硬套。在教學實踐中常常看到，學生會解答一道應用題，卻說不出是“部分數+部分數=總數”，還是“總數-部分數=部分數”。遇到兩步應用題就更加困難。例如，“同學們做了30件玩具，自己留下6件，剩下的平均送給幼兒園的3個班，每班分得幾件？”第一步是“總數-部分數=部分數”，有些好學生還能說出，而第二步就很難說出“求出的部分數變成了總數”。這些違反兒童認知規律的做法給學生增加了不必要的學習負擔。

　　（4）從現代數學論的原則看，要教學生理解基本概念、基本原理，才能實現最大遷移；強調思維過程，要從以記憶為主的教學方法轉到以思維為主的教學方法；注意發揮學生的主體作用，培養學生探究能力。而以教分類型、記公式為主的教學方法正好與上述的原則相違背，妨礙學生對數學基本概念、基本原理的理解和掌握，束縛學生的思維。

　　當然，提出簡單應用題教學不宜分類型記公式的問題，并不意味著在任何情況下都不能教給學生公式。對某些內容在適當的時候教給學生必要的公式，如面積、體積計算公式等，還是可以的，但教學時也要注意使學生理解公式的來源，防止機械的記憶。

　　總之，簡單應用題教學生分類型記公式，涉及培養什么人的問題以及如何提高民族素質的問題，從理論和實踐上進行一些深入的探討，是十分必要的。

　　關于抓好簡單應用題教學還有其它一些問題，將在下面論述。

　　（二）加強應用題之間的聯系

　　從實質上說，這是應用題的組織結構問題。應用題的組織是否合理，結構是否恰當，對于培養學生的解題能力具有十分重要的意義。過去的數學課本，由于對這個問題處理得不夠好，給應用題教學造成一定的困難，直接妨礙學生解題能力的提高。經過近年來的實驗研究，比較深刻地認識到，應用題的內容和解法雖然千變萬化，但其內在聯系十分緊密。只要根據應用題的內在聯系，合理地組織教學，可以使學生較好地理解應用題的結構，較快地掌握應用題的分析和解答方法。

　　1.簡單應用題的內在聯系。即使簡單應用題之間，也有著緊密的聯系。下面以兩組加減法簡單應用題為例加以分析。

　　①有5只黑兔，8 　　②黑兔和白兔一共有　　③黑兔和白兔一共有

　　只白兔，一共有　　13只，有5只黑兔，　　13只，有8只白兔，

　　多少只兔？　　　　有多少只白兔？　　　　有多少只黑兔？

　　④有5只黑兔，白兔　⑤有5只黑兔，8 　　　　⑥有8只白兔，黑兔

　　比黑兔多3只，有　　　只白兔，白兔比　　　　比白兔少3只，有

　　多少只白兔？　　　　黑兔多幾只？　　　　　　多少只黑兔？

　　從上面6道題中，很容易看出①②③為一組，①是原型題，②③是①的逆思考；④⑤⑥為一組，⑤是原型題，④⑥是⑤的逆思考。同時第一組題與第二組題也有聯系。例如，①④的條件和問題雖不相同，但分析數量關系時卻要把兩個已知數合并，從而要用加法解答。①⑤的條件都相同，但問題不同，數量關系不同，解答方法也不同。編寫教材和教學時，不宜把重點放在分類型上，而要逐步地揭示它們的內在聯系和區別，使學生更好地掌握題里的數量關系和解答方法。

　　分數應用題之間、分數應用題與整數應用題之間也有其內在聯系。例如，教學分數乘、除法應用題之后，可與整數應用題進行聯系。

　　通過聯系對比，可以看出①②③是一組整數應用題，①是原型題；④⑤⑥是一組分數應用題，⑤是原型題。分數應用題分別與整數應用題相對應，數量關系相反，但解答方法是一致的，因為分數乘法的意義擴展了。教學時如能引導學生發現和總結規律，就會加深對兩組應用題的理解。

　　2.復合應用題與簡單應用題之間的聯系。一般地說，復合應用題都是由幾個簡單應用題組合而成的，或者說是在簡單應用題的基礎上擴展起來的。因此它們之間有著密切的聯系。但從簡單應用題擴展到復合應用題又是個質的飛躍。以兩步應用題為例，它們同簡單應用題比較，不僅是已知條件增多，而且數量關系也復雜了。一般地說，簡單應用題的問題是和兩個已知條件直接聯系和相對應著的，從兩個已知條件可以判斷所求的問題就是題里的問題；反過來，問題所需要的條件就是題里所給的條件。而在兩步應用題中，問題是和題里所有的已知條件聯系著的，是對所有的條件提出來的。這樣就形成了問題和所需要的直接條件之間的“分離”現象，也可以說一個直接條件被隱藏起來，而需要根據問題和已知條件的關系把這個所需的條件找出來。從解答的角度說就是要提出一個中間問題。而要解答這個中間問題還要正確地選擇已知條件。因此這比解答簡單應用題需要較為復雜的分析和綜合，需要進行間接的推理（即從兩個判斷推出一個新的判斷）。

　　例如，兩步應用題，“小明畫5張畫，小華比小明多畫3張，他們一共畫多少張？”要求兩人一共畫多少張，必須先知道小明和小華各畫多少張，而題里沒有直接告訴小華畫多少張，所以要先求小華畫多少張。這樣的分析、推理顯然比簡單應用題復雜。

　　至于三步或更多步數的應用題，已知條件就更多，數量關系更復雜，分析推理的步驟也就更多。但分析推理的方法與兩步應用題的基本相同。下面著重談教學兩步應用題如何加強與簡單應用題的聯系。主要有以下兩點：

　　（1）解答一些連續兩問的應用題。為了給學習兩步應用題做好準備，除了打好簡單應用題的基礎（包括提問題、填條件）外，適當出現一些連續兩問的應用題很有好處。這種應用題在向兩步應用題過渡方面起著橋梁的作用。在這樣的應用題中，關鍵在第二問，有時缺少一個已知條件，需要到前面的簡單應用題里去找，往往正好是前面一題的計算結果；有時第二問中一個已知條件也沒有，都要到前面一題里去找。例如，“學校里有8棵楊樹，柳樹比楊樹多3棵，有多少棵柳樹？兩種樹一共有多少棵？”第二問所需的兩個已知條件，一個是前面一題的一個已知條件，另一個是前面一題的計算結果。由于適當進行這樣的練習，就為兩步應用題的分析和解答做了一定準備。

　　（2）教學兩步應用題時由簡單應用題引入，然后把它擴展成兩步應用題。例如，“①學校買來20張顏色紙，用去14張，還剩多少張？②學校買來12張紅色紙和8張黃色紙，用去14張，還剩多少張？”通過比較，使學生看出兩步應用題與簡單應用題的聯系和區別，從而初步體會到兩步應用題的結構，明確解答兩步應用題必須分兩步計算，先提出一個問題，進行計算，再解答原題里的問題。這樣學生不僅容易掌握，還有利于激發學生的思考，培養學生分析問題的能力。以后還要經常做一些對比練習。

　　3.復合應用題之間的聯系。這一點更為重要。通過復合應用題間的聯系對比，可以加深學生對新學的應用題的結構、分析推理方法等的理解，從而較快地掌握復合應用題的解答方法，產生遷移的效果。復合應用題間的聯系是多種多樣的，需要進行認真的分析，選取適當的聯系的途徑，才能收到良好的效果。下面舉出加強聯系的幾個方面的例子。

　　（1）縱向聯系的：有些應用題是由已學的步數較少的應用題擴展而成的。教學時由已學的應用題引入，通過聯系比較，很容易看出新的應用題的條件或問題有哪些變化，如何在已學的基礎上進一步分析推理，獲得新的應用題的解答方法。例如，“①汽車從甲地開往乙地，3小時行135千米。照這樣計算，一共行了5小時，甲乙兩地相距多少千米？②汽車從甲地開往乙地，3小時行135千米，照這樣計算，還要行2小時才能到達乙地，甲乙兩地相距多少千米？”

　　（2）橫向聯系的：有些應用題基本數量

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關系相同，只是已知條件有些變化，學生容易在已學的基礎上類推出來，不需要作為新內容來講，這樣既調動學生思維的積極性，又可減少教學時間，收到舉一反三的效果。例如，“①學校先買10瓶墨水，又買來8瓶。用去14瓶，還剩多少瓶？②學校買來3盒墨水，每盒6瓶。用去14瓶，還剩多少瓶？”

　　（3）聯系對比的：有些應用題的條件問題相似，解法容易混淆，可以通過聯系對比使學生區分它們的異同，從而提高解題的正確率。例如，“①

　　（三）重視教學解題的一般策略

　　這是培養學生解題能力的關鍵性問題。正如前邊所講的，會解答所學的應用題并不是最終的教學目的，而是通過所學的有代表性的應用題達到使學生掌握解題的一般策略。這在現今的信息社會尤為重要，要使學生成為能夠處理信息的人，通過解答應用題培養學生解題的一般策略是一個重要途徑。關于解題的一般策略，主要有以下幾個方面：

　　1.條件和問題的收集。

　　為了解一道題首先要弄清楚題里給了哪些已知條件，要求解決什么問題。識別或收集條件和問題的過程也就是收集信息的過程，也是理解信息的過程。在低年級往往要求學生口述已知條件和問題，到高年級也可以教給學生用圖（如線段圖）或表解來表示已知條件和問題。學生清楚地表述和表示一道題的已知條件和問題是解題的重要前提。一般地說，題里的問題和所需的已知條件都已直接給出。但是為了更好地培養學生正確收集必要的信息的能力，在適當年級也可適當出現信息不完全的題目。例如有的題目可以缺少問題或一兩個已知條件，讓學生從實際中收集，加以補充；也可以適當出現一些有多余信息的題目，使學生能在較多的已知條件中，正確選擇有用的和必需的來進行計算。實驗表明，有能力的學生看到題很快指出不需要的數據，而能力較差的學生則需要教師的幫助，有的甚至在教師的幫助下也很難找到多余的數據。經常練習對于培養學生這方面的能力很有好處。

　　2.分析數量關系。

　　這是對所收集的信息進行加工的開始，也是解題的一個重要步驟。無論解簡單應用題或復合應用題，都要認真分析題里的已知條件和已知條件之間，已知條件和問題之間的數量關系，才好確定解答的方法。分析數量關系一般有兩種方法：一種是從條件入手，通稱綜合法；另一種是從問話入手，通稱分析法。綜合法比較容易掌握，但其缺點是學生往往看到前面相鄰的兩個已知條件就進行計算，而忽略后面的已知條件，未從整體考慮。提出的中間問題不一定是解這道題所需要的。從問話入手稍難一些，但能使學生從整體出發，根據所解的問題提出所需的條件，從而較正確地確定中間問題。實驗表明，開始教學解兩步應用題，宜于從條件入手，即使采取了這種分析的方法，也還會有部分中、差生難以提出中間問題，需要經過一段訓練逐步掌握。但是逐步要轉到訓練學生從問話入手，這對提高學生解多步應用題的分析能力很有幫助。至于學生自己解題時用哪種方法分析，不必加以限制。考慮到進行分析需要一定的訓練時間，課堂上解應用題時要給學生口頭分析的機會，除了教師指定某個學生分析外，要讓同桌的學生互相練習分析。不宜過早地讓學生書面分析，這樣費時間，會減少解答應用題的數量。學生有了口頭分析的基礎，可在課外安排少量的書面分析作業。此外，訂正時也要重視讓學生進行口頭分析。

　　3.擬訂解答計劃。

　　這是對信息進行加工的繼續。就解決一般的問題來說，它是必不可少的步驟。但在小學數學中，解答簡單應用題時則沒有必要，只在解答復合應用題時才有必要，而且有時邊分析邊擬訂解答計劃邊解答，往往與上一步的分析數量關系或下一步的解答合并起來。從掌握解題的一般策略來說，還是單把它劃為一個階段為好。擬訂解答計劃是在理解題意、分析數量關系的基礎上確定解答需要分成幾步，每步要解答什么問題。這是分析、推理的直接成果。正確地擬訂解答計劃，表明學生對所解的題目有了整體上的理解，同時又對解決問題的具體步驟做出了合乎邏輯的規劃。能否在解答之前正確地擬訂解答計劃也是考察學生能力的重要的標志之一。實驗表明，好的學生一般能在解答之前訂好解答計劃，而較差的學生往往能正確解答，卻不一定能正確地提出每一步所要解決問題。因此，教學時在這方面適當加以訓練，對培養學生的邏輯思維有一定的好處。

　　4.解答。

　　這是對信息進行加工的最后階段。如果說前面各階段主要是思維的過程，那么這個階段要產生思維的結果。當然這個階段也是有思維過程的。例如解答每一步要選擇哪兩個已知數，進行哪種運算，如何使計算正確等，都要深思熟慮，這樣才能達到最終的正確結果。教學的任務就是要引導學生既重視思維的過程，也重視思維的結果，達到正確解答應用題的目的。這里需要提出的是，往往學生把算法選對了，但把得數算錯了；或者豎式里的得數算對了，最后抄錯了數。因此這個階段特別要注意培養細心認真的良好習慣。

　　5.檢驗與評價。

　　對應用題的解答的檢驗與評價實質上是對信息的檢驗與評價。這一步教學不僅對提高應用題解答的正確率有幫助，而且有助于培養學生良好的檢驗習慣，對信息的正確評價的能力。有經驗的教師對這方面的教學比較重視，收到較好的效果。但是也常常遇到教師雖然重視了，但有少數學生仍沒有養成良好的檢驗習慣，甚至有少數好的學生做得很快，但是檢查不出錯誤。因此在培養檢驗習慣的同時，還要適當教以檢驗的方法。檢驗方法有多種，通常低年級只要教學生從審題到解答逐一檢查。中、高年級有些題可以逐步教給學生用不同解法來檢驗。例如，原來應用題是用連減計算的，檢驗時可以把兩個減數相加，再從被減數里減，去，看兩次算得的結果是否相同。以后還可以適當教學生把求得的結果作為已知條件，把另一個已知的量作為未知的，然后倒推求出結果看是否與已知的相符。這只作為一種檢驗方法教給學生在解答中練習應用，不宜作為考試要求。通過檢驗要培養學生對自己的解答具有負責態度和自信心。檢驗之后還要能對自己的解答進行評價。為了培養學生評價能力，可以開展相互評價，或教師給學生一些案例讓學生練習評價。有條件的話，還可以教給學生估算得數。

　　解題的一般策略除上述幾方面外，還有預測、解釋等。這里從略。總之，今后應用題教學要真正做到培養學生的解題能力，不是在加深應用題的難度上下功夫，而是要通過有代表性的又為學生容易接受的題目，著重培養學生解題的一般策略，使學生能夠產生遷移，這樣即使遇到一些未解過的題目，學生經過自己的分析、推理也能找出解答的方法。

　　（四）重視變式練習

　　練習在培養解答應用題能力中起著重要的作用。但是練習要合理地組織，才能收到良好的效果。其中特別是適當安排一些變式練習，對于克服簡單的機械重復，提高解題效率，培養靈活的解題能力，具有十分重要的意義。實驗表明，通過變式練習，很多學生能夠排除應用題中非本質特征的干擾，正確地分析題里的數量關系和選擇運算方法，求得正確的答案。應用題的變式練習從低年級起就要做一些安排。主要有以下幾個方面：

　　1.改變敘述的順序。例如，乘法應用題，第一個已知條件不僅有需做被乘數的，還要有需做乘數的。復合應用題，有些相鄰的兩個已知條件可以進行計算的，也要有些不可以進行計算的，使學生能在真正理解題里的數量關系的基礎上正確地選配已知數進行計算。

　　2.改變敘述的方式。例如，加法應用題，不宜每題的問題都出現“一共”，已知條件中也可以出“飛走”“跑掉”等詞語，以防學生簡單地根據個別詞語錯誤地判斷運算方法。在高年級教學分數應用題更要注意適當變化敘述方

　　這樣可以防止學生死記“相當于”后面就是“單位1”，而加強分析數量關系。

　　3.有多余的條件。在解題的一般策略中已經談過。也可以把它看作是一種變式練習。由于有多余的條件，對原來所解的正常的題目來說，在內容和形式上都有了一些非本質的變化，這就促使學生更認真地分析數量關系，正確地選擇已知數和運算方法，而不受這些非本質特點的干擾，從而有利于發展學生的思維。例如，教學兩步應用題后出現這樣的應用題：“同學們做了8朵紅花，7朵黃花。送給幼兒園3個班，一共送了10朵，還剩多少朵？”實驗表明，如果去掉“3個班”，絕大多數學生都能做對；加上“3個班”后，出現了各種各樣的錯誤，其中按三步計算的達30％。

　　4.改變個別已知條件或問題，使其具有不同的或特殊的解法。例如，教學正比例之后出現這樣的應用題，“果園里有梨樹100棵，桃樹與梨樹的棵數比是4∶5，有桃樹多少棵？”學生很容易用比例解答出來。如果把第二

　　棵數的比才能用比例解答。又例如，“玩具廠原計劃每天生產玩具42件，8天完成。實際只用6天。實際每天比原計劃多生產多少件？”學生一般都能列成算式：42×8÷6—42。如果把“6天”改為“7天”，雖然仍可照上面方法列式解答，但是還有特殊解法，有的學生會列成簡便算式：42÷7。因此它有利于發展學生的直覺思維。

　　解答應用題的變式練習是多種多樣的，這里只選常見的有代表性的幾個方面舉例說明。由此也能看出它們在提高學生靈活的解題能力，發展學生思維方面的作用。

　　（五）適當增加探究性的題目

　　如前所述，國外應用題教學改革的一個趨勢是擴展應用題的范圍，其中增加探究性的題目又是重點。我國應用題教學要進行改革，也應突破傳統的應用題的范圍，適當增加探究性的題目，以利于提高學生的解題能力，發展學生思維的創造性。初步考慮，可以注意以下幾個方面：

　　1.適當出一些開放性的題目。

　　所謂開放性的題目就是題目的答案可以有多個。長期以來我們教學應用題的答案都是唯一的，這樣把學生的思維束縛得很死，不利于培養學生的探究能力，如前面第二部分所舉在○里填數的題目就是一個開放性的題目。第一個○里可以填不同的數，但是也有一定的范圍限制。即最小是3，最大是13。又例如，周長是12厘米的長方形，長和寬都是整數，它的長、寬可能各是多少厘米？

　　2.適當出一些探索規律性的題目。

　　通過探索規律可以培養學生抽象概括的能力，發展思維的創造性。出題目時要注意具有多層次，以便于區分學生的不同思維水平。例如，下面的題有3個層次，第1小題是通過直觀進行計算，第2小題離開直觀進行計算，第3小題脫離具體計算概括公式。

　　（l）照下圖的樣子用小棒連著擺正方形。

　　□□ 擺2個用（）根

　　□□□ 擺3個用（）根

　　□□□□ 擺4個用（）根

　　（2）連著擺6個正方形，要用（）根小棒。寫出算式。

　　（3）如果不數小棒，你能找出一般的計算公式嗎？

　　實驗表明，學生的答案呈現不同的思維水平。例如，有的學生第2小題就做錯了，有的學生第2題雖然做對，但不會在此基礎上概括出一般計算公式。

　　3.適當出一些非常規的題目。

　　上面舉的一些例子有開放性、探索規律等特點，但是還與常規計算有較密切的聯系。這里則指的是不一定用到常規計算的題目。例如，“有甲、乙、丙、丁4個學生賽跑，結果可能排出不同的名次。算一算一共可以排成多少種不同的名次。”這道題就不能利用常規計算而要借助圖表找出正確答案。

　　以上探究性題目可都不作為教學要求，也不作為考試內容。