ｎ／７與一類線性方程

ｎ／７與一類線性方程

真分數ｎ／７是一個６位純循環小數：

１／７＝０．１·４２８５７·；２／７＝０．２·８５７１４·；３／７＝０．４·２８５７１·；４／７＝０．５·７１４２８·；５／７＝０．７·１４２８５·；６／７＝０．８·５７１４２·．

各分數除數字排列順序有別外，其數字組成完全相同．依據這種結構特征可編排一類線性方程，通過這類方程解法的研究，可開拓中學生的思維空間，增強其分析、想象、綜合、歸納等解決實際問題的能力，現提供幾例供參考．

例１有一六位數，若將后三位數依次移到前三位，則所得新的六位數是原六位數的６倍．求原六位數．

解：設原六位數的前三位數為ｘ，后三位數為ｙ，則原六位數為１０３ｘ＋ｙ，移動后的新六位數為１０３ｙ＋ｘ．故依題意得１０３ｙ＋ｘ＝６×１０３ｘ＋６ｙ，即５９９９ｘ＝９９４ｙ，亦即８５７ｘ＝１４２ｙ．

又因為ｘ與ｙ皆為三位數，且ｘ的首位上的數字小于２，否則其６倍便要進位而成為一個七位數了，又８５７與１４２互質，故ｙ＝８５７，ｘ＝１４２，因而原六位數是１４２８５７．

例２有一位六位數，若將后三位數依次移到前三位，則所得新的六位數比原六位數大１３．求原六位數．

解：設原六位數的前三位數為ｘ，后三位數為ｙ，則原六位數為１０３ｘ＋ｙ，新六位數為１０３ｙ＋ｘ．依題意得４×１０３ｘ＋４ｙ＝３×１０３ｙ＋３ｘ，即３９９７ｘ＝２９９６ｙ；亦即５１７ｘ＝４２８ｙ，故有ｘ＝４２８，ｙ＝５７１，則原六位數是４２８５７１．

例３有一六位數，若將首位上的數字移至末尾，則所得新的六位數是原數的３倍，求原數．

解：設這個六位數的首位上的數字為ｘ，其余五位數為ｙ，則原數就是１０５ｘ＋ｙ，新數是１０ｙ＋ｘ．依題意可得１０ｙ＋ｘ＝３×１０５ｘ＋３ｙ，就是７ｙ＝２９９９９９ｘ，ｙ＝４２８５７ｘ．顯然，ｘ只可取１或２，當ｘ≥３時，ｙ便不是五位數了．故當ｘ＝１時，ｙ＝４２８５７，原六位數是１４２８５７；當ｘ＝２時，ｙ＝８５７１４，原六位數是２８５７１４．

例４有一六位數，若將首位上的數字移至末尾，則所得新的六位數與原六位數之比為２∶３，求原數．

解：設這個六位數的首位上的數字為ｘ，其余的五位數為ｙ，則原數就是１０５ｘ＋ｙ，新的六位數是１０ｙ＋ｘ，依題意可得３０ｙ＋３ｘ＝２×１０５ｘ＋２ｙ，也就是２８ｙ＝１９９９９７ｘ，亦即４ｙ＝２８５７１ｘ．顯然，ｘ只可取４或８．當ｘ＝４時，ｙ＝２８５７１，則原數是４２８５７１；當ｘ＝８時，ｙ＝５７１４２，則原數是８５７１４２．

例５有一六位數，若將前兩位數依次移至末尾，則所得新的六位數是原數的２倍，求原數．

解：設這個六位數的前兩位數為ｘ，后四位數為ｙ，則原數就是１０４ｘ＋ｙ，新的六位數是１０２ｙ＋ｘ．依題意可得１０２ｙ＋ｘ＝２×１０４ｘ＋２ｙ，也就是９８ｙ＝１９９９９ｘ，亦即１４ｙ＝２８５７ｘ．因１４與２８５７互質，故ｘ可取１４、２８或４２，則對應的ｙ值應是２８５７、５７１４、８５７１，故所求的六位數是１４２８５７、２８５７１４或４２８５７１．

有興趣的讀者不妨再做下列練習：

（１）有一六位數，若將末尾的數字移至首位，則所得新數是原數的５倍，求原數．

（２）有一六位數，若將末尾的數字移至首位，則所得新數與原數之比為３∶２，求原數．

（３）有一六位數，若將末尾的數字移至首位，則所得新數是原數的８０％，求原數．

（４）有一六位數，若將末尾的數字移至首位，則所得新數是原數的１３，求原數．

（５）有一六位數，若將末尾的數字移至首位，再將原數的首位上的數字移至末尾，前后兩次移動所得新數之比為５∶３，求原數．

（答案：（１）１４２８５７；（２）２８５７１４或５７１４２８；（３）７１４２８５；（４）４２８５７１或８５７１４２；（５）１４２８５７）