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小學數學教材結構的研究與探討
小學數學教材結構是小學數學教材改革研究的一個重要課題。合理的教材結構不僅有助于學生理解、掌握數學知識，而且還可以發展智力，培養能力�？v觀我國小學數學教材，九年義務教材的結構是比較符合學生的認識規律的。但是隨著科學技術的迅猛發展，人們需要學習的知識越來越多，信息的交流越來越頻繁。在新的形勢下，如何在不增加學生負擔的前提下，既使學生學習和掌握更多更有用的數學知識，又使能力得到培養，就應該進一步研究小學數學的教材結構。本文試從下面幾個方面對小學數學教材結構進行探討。
一、小學數學教材改革的簡單回顧
教材結構問題可以說從有教材時就提出了。人們對教材結構的研究是隨著教材的發展不斷深入的。早期的小學算術教材基本上是按照成人學習算術的順序，采取直線前進的編排方式。后來人們逐漸認識到，按照成人的學習順序編排教材，學生學習起來有一定的困難，教學內容的編排應該與兒童的年齡階段相適應，于是就出現了圓周式（或稱螺旋式）的編排方式。
隨著學習心理學研究的不斷發展，出現了許多新的教育思想，推動了小學數學教材的變革。20世紀初，杜威的兒童中心論，強調教育應該從兒童的興趣出發，課程應該心理化。隨后有人倡導“單元教學”，即把算術內容分別組織在各個生活單元之內。這種教育與心理相結合的編排，比較適合兒童的年齡特點，對以后的小學教育改革有很大影響，但不足的是不能使學生獲得系統的算術知識。以后，有人提出“程序教學”的思想，即把教材的內容分解成一個一個的小步子，讓學生根據自己的實際情況，采取適當的進度。這種思想，對學生的學習過程進行了比較深入的研究，對以后的學習過程的研究也有很大啟示。但由于學生的差異很大，因而程序教學不能使大多數學生達到基本的教學要求，教材的編寫也比較繁瑣。
針對上述教材改革的經驗和教訓，60年代興起了教育現代化運動（簡稱：新數運動），一些教育家、心理學家提出要注重理解學科的基本結構。在這種思想的影響下，小學數學教材改為主要按數學的邏輯順序來編排。由于這種編排過多地強調了數學的邏輯順序，忽視了兒童的年齡特征和認知規律，給教學帶來了很大困難。 “新數運動”后，各國都在探索教育改革的新路。80年代后期，各國都相繼提出了教育改革的新方案。這些方案不是對“新數運動”的簡單否定，而是在過去改革的基礎上，努力克服以往的缺點，使之更適合兒童學習的特點。
二、教材結構內涵的研究
什么是教材結構？不同的歷史時期有不同的認識，目前還沒有完善的定義。比較有代表性的觀點主要有以下幾種。
1．教材結構要反映學科的知識結構
這種觀點的代表人物是美國的心理學家布魯納。按他的說法，一門學科的知識結構，就是學科的基本概念、基本原理、基本方法以及它們之間的相互聯系。他認為：懂得基本原理可以使得學科更容易理解；懂得基本原理、觀念有助于長期記憶，就是在部分知識遺忘的時候，也能得以重新構建起來；領會基本的原理和觀念，是通向適當的“訓練遷移”的大道；領會結構能夠縮小 “高級”和“初級”知識之間的差距。他的這些觀點的主要意思就是，學生懂得了學科的基本結構，就可以理解和掌握整個學科的基本內容，并能夠促進遷移�；谝陨嫌^點，他提出了一個假設：“任何學科都能夠用在智育上是正確的方式，有效地教給任何發展階段的兒童。”這一思想不僅對當時“新數”教材有很大影響，就是在現在美國的小學數學教材以及其他一些國家的教材中仍有它的影響。
2．教材結構就是教材的組成部分和編寫形式
葉立群先生認為“教材的結構指的是教材有哪幾部分，哪幾種形式組成的。”另外，王策三先生在《教學論稿》談到教學大綱和教科書的結構時，認為教科書一般由目錄、本文、作業、圖表與附錄構成，這種觀點側重于教材的編寫體例。
3．從學科內容和兒童年齡特征兩方面綜合構建教材
周玉仁先生在《小學數學教學論》中談到教材體系和結構時，指出：“小學數學教材結構是在綜合考慮數學本身的邏輯規律以及小學生認識規律和心理發展水平的前提下，用數學的基本概念、基本規律、基本事實和基本方法聯系起來的整體。這個整體不是知識、原則的羅列和拼湊，也不是各部分數學知識的簡單求和，而是一個上下貫通、縱橫交叉、緊密聯系的知識網絡�！痹偃�，曹飛羽先生認為“一個學科的教材結構必須是能反映這個學科的各要素、各成份（包括知識、技能、智能、思想觀點等）之間合乎規律的組織形式�！慕M織形式必須考慮學生的認知心理特點和認知的方法，便于使學科的知識結構轉化為學生的認知結構�！�
在教材結構的這幾種觀點中，筆者比較傾向于第三種。因為它既考慮了學科知識本身的聯系，又考慮了學科知識與學生認知規律的結合。如果一個教材結構把這些問題都處理得很好，就可以使學生比較容易地形成一個學科知識的認知結構。
三、建立合理教材結構的幾點認識
從前面的簡單回顧可以看到，小學數學教材的結構經歷了一個曲折的發展過程。變革的中心問題，都是如何看待和處理數學的邏輯順序和學生的心理發展順序的關系。對于這個問題，筆者想談幾點學習體會。
1．應認真研究每部分知識的特點，以及它對培養能力的作用
數學知識的每一部分都有自己的特點和對某些能力培養的優勢，只有對此有比較明確的認識和理解，才能較好地發揮它們的作用。在這方面我們已經有豐富的實踐經驗，但還需要認真總結提煉，把經驗性的內容上升到理論高度，以此指導教材的編寫工作。
2．應深入研究學生學習數學的特點和規律
學生學習數學的規律有共性，這從大多數國家編寫的教材就能反映出來。但是每個國家的學生都有自己的特點，所以每個國家的教材都有自己的特色和特性。因此我們在研究學生學習數學的特點和規律時，不能總是引用外國心理學家的理論。這是因為任何研究都是受時間、地點、條件的制約的，人的認識也因此受到制約。學生年齡特征和認識規律在總體上是由低向高發展的。但在具體年齡段的劃分上有很大的差異。且隨著社會的發展，人類的進步，學生的年齡特征也不是一成不變的。所以我們要根據我國的政治、經濟、科學技術和社會環境等具體情況進行研究，按照我國學生學習數學的特點和規律來編寫數學教材。否則，老走別人的老路，就不可能編出有中國特色的教材。
3．要精心設計教材結構
教材結構的建立必須經過大量研究，認真策劃，教材的每一部分都必須精心設計。教材與一般的書不同，它的每一部分都應該經得起反復推敲。否則，教材就會顯得深一腳淺一腳，這個矛盾不解決很難提高教材編寫的質量。
4．應注意數學知識的內在聯系
一個合理的教材結構，其知識間縱橫聯系必然是比較緊密的，搭配是合理的。如果不能做到這一點，教材結構就不太合理。如義務教材在縱橫聯系方面就有不足。第三冊教材基本上是表內乘、除法，加減法和其他內容很少，而第四冊教材基本上是加減法。這種搭配就不能說合理。學生在一學期接觸的總是類似的知識，對激發學生的學習興趣不利。
四、我國教材的結構及其特點
要研究教材結構，除了研究外國的教材外，還應對本國的教材有所認識，下面介紹一下我國小學數學教材的結構及特點。
小學數學的主要教學內容包括：數與計算、量的計量、幾何、代數、統計知識等幾部分知識。
1．數的認識
數的認識小學階段主要教學整數、分數、小數及其相關的一些知識。在整數方面根據我國的計數特點和低中年級學生的學習特點，分五個階段：“ 20以內”、“ 100以內”、“萬以內”、“億以內”、“億以上”。分數、小數各分兩段：先初步認識，再系統教學。初步認識一般安排在三年級，在學生有了一定的整數基礎時教學，并且先教學分數再教學小數。系統學習一般安排在四、五年級，先教學小數，再教學分數。這主要是考慮到，分數的書寫形式和運算法則跟整數都不一樣，并且需要有整除的知識作為基礎，學生接受起來比較困難。小數和整數都是十進制，小數的寫法和運算法則與整數的基本相同，學生接受起來比較容易，因此先教學分數后教學小數。由于前面已經安排了分數的初步認識，為小數的教學作好了準備，所以這樣編排既符合兒童的學習規律，又不違背數學的邏輯順序。
2．計算
小學數學計算教學的主要內容是：整數、分數、小數的四則計算。計算的編排是配合著數的認識進行的，數的認識每擴展一次，就配合有相應的計算。例如，整數的認識分為五段，每一段都安排有計算的相關內容。在“ 20以內”學習一位數加法和相應的減法；在“100以內”重點學習兩位數加減法，在“萬以內”重點學習三、四位數的加、減法和乘數、除數是一位數、兩位數的乘、除法。在“億以內”，重點學習乘數、除數是三位數的乘、除法，四則運算中各部分間的關系，以及一些簡便算法。在“億以上”，重點教學自然數和整數的概念，十進制計數法，整數四則運算的意義，運算定律等。
計算內容的編排有這樣幾個特點。
（1）加強算理的教學。通過操作直觀加強算理教學，如，教學一位數除兩、三位數時，一方面從已學的口算引入，幫助理解筆算除法的過程，另一方面結合直觀，說明每次除的順序和商的書寫位置，使學生更深刻地理解豎式計算中每一步的含義。
（2）注意各種計算方法的適當配合。小學數學主要教學：口算、筆算、珠算、估算、簡算幾種計算方法。這幾種方法都是密切聯系著的，具有相輔相成的作用。其中口算不僅是筆算的基礎，也是學習估算和簡便算法的基礎。因此把一般它安排在每種運算教學的開始，在此基礎上教學筆算。掌握一定的筆算之后，又有助于口算能力的提高。珠算具有一定的直觀性，可以幫助學生加深對數位、相同數位對齊、進位、退位的理解，一般把它安排在加、減法筆算之前。估算安排在筆算之后教學，可以提高學生檢驗筆算的能力。同時在估算時，又要用到一些口算，又有助于提高口算能力。簡便算法對一般的口算和筆算方法來說，屬于特殊情況，需要根據某些運算定律采取特殊的計算方法。簡便運算需要一定的口算和筆算基礎，因此放在每種運算最后教學。教材就是根據各種計算方法之間的內在聯系，把它們合理地加以安排，使其相互配合。
3．量與計量
小學數學中量與計量的主要內容有：長度單位、重量單位、時間單位、面積和體積單位。這些計量單位的進率不完全相同，且有些計量單位比較抽象，而學生在這方面的感性認識比較貧乏。因此，這方面的內容采取分散編排的原則。
（1）由具體到抽象編排。在上面的幾種計量單位中，長度單位、重量單位比較直觀具體，學生在日常生活中接觸得比較多，掌握起來比較容易，所以先進行教學。而時間單位比較抽象，看不見，摸不著，難以用比較形象具體的事物表現出來，且進率又是60進制。所以后進行教學，讓學生在積累了一些量與計量的學習經驗基礎上來學習，這樣編排比較符合兒童的學習特點。
（2）注意與認數、計算和幾何知識的配合。由于學習計量知識需要有數與形的知識作基礎，因此編排時，教材注意與相關知識的配合。如，米和厘米安排在100以內數的循環圈內，毫米、分米、千米安排在萬以內數的循環圈內。而面積、體積單位與幾何圖形的面積、體積計算聯系緊密，所以安排在幾何知識的教學中。
4．幾何知識
幾何知識從一年級起有計劃地分散在各冊教學，主要分三個階段。
（1）初步認識。這一階段，一方面出現一些常見的幾何形體，把它們作為教具幫助學生認數和理解計算法則。另一方面教學一些幾何形體的初步認識，如，長方形、正方形、三角形、圓；長方體、正方形、圓柱、球。通過直觀操作活動，使學生初步認識這些圖形的特點，并能夠區分它們。
（2）平面圖形特征的認識。這一階段，是在前面初步認識的基礎上進一步認識圖形的特征，并教學相應的周長和面積的計算。如，長方形、正方形的認識，一年級已初步認識，到這一階段，就要進一步認識它們的特征：它們都有四條邊，都是對邊相等；正方形的四條邊都相等；它們都有四個角，每個角都是直角。并教學它們的周長和面積。
（3）立體圖形的認識。這一階段主要教學一
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些立體圖形的特征和相應的表面積、體積計算。
5．代數知識
小學數學的代數知識一般都是在算術知識基本結束，在比、比例知識之前進行代數初步知識的教學。分三個階段。
（1）滲透孕伏階段。從一年級開始通過安排一些用括號或其他符號表示數的練習，如，出現3＋□＝9，16－□＝8，6×（ ）＝30等算式。這里的□和（ ）都代表一個具體的數。這種練習形式多次重復出現后，學生對用符號表示數就比較容易理解了。
（2）用字母表示數階段。這一階段先結合加法和乘法的運算定律以及幾何圖形的面積、體積計算，教學用字母表示運算定律和計算公式，使學生體會到用字母表示數量關系比較簡明的優越性。然后再正式教學用字母表示數，使學生知道用字母表示數的意義和作用。
（3）簡易方程階段。這一階段先結合四則運算各部分間的關系，出現求未知數x，列出含有未知數的等式解簡單應用題。在此基礎上再正式教學簡易方程。
6．統計知識
統計知識教材是采取分散與集中相結合的方式編排，并注意與計算、應用題的聯系。為了加強對統計思想和方法的認識，提高學生運用統計方法解決簡單的實際問題的能力，義務教材在編排上，做了兩點改革。
（1）把求平均數作為一種統計思想方法進行介紹，不再作為一種應用題。
（2）統計初步知識分散編排。在低年級滲透了一些簡單的統計圖表，中年級教學簡單的數據整理和簡單的求平均數的方法，高年級教學數據的收集和整理、統計表和較復雜的求平均數的方法，以及較復雜的統計表和統計圖。
五、對教材內容及其結構進一步的研究與思考
雖然我們的教材改革取得到一定的成績，但是隨著時代的發展，科學技術的進步，教材中已有一些內容和方法不太適應社會發展的需要，因此我們的教材結構應貼近時代要求。在教材結構方面，筆者認為以下幾個問題仍然值得進一步探討。
教材結構體現時代特點的問題隨著科學技術的空前發展，國力競爭的增強，社會對教育提出了新的要求，要求培養出具有創新意識、創新能力和具有實踐能力的人才。小學數學作為義務教育的一門主要學科，應該對此作出及時的反映，小學數學教材結構應反映出時代特點。
（1）估算問題。
隨著先進而簡單的計算工具的廣泛使用，社會生活對筆算技能的要求降低了。同時由于需要處理大量的、變化的信息，對口算、估算能力的要求提高了。但是目前我們的教材，估算僅作為選學內容，且呈現的形式比較單調，沒能體現出對學生估算能力培養的完整意圖。因此，要加強估算，應首先把它作為正式的必學的內容確定下來，并且滲透到各個年級。不僅有計算的內容要安排相應的估算，而且還要配合幾何、量的計量、應用題等內容進行。要把估算作為一種非常重要的思想方法來培養，使學生學會用估算的方法去觀察問題解決問題。
（2）引進計算器的問題。
隨著計算器在日常生活和工作中的逐步普及，在小學數學中引入計算器已逐漸受到人們的關注。計算器的使用，可以代替機械性的計算，使學生把時間和精力轉移到理解數學、探討數學和應用數學上去。因此，可以考慮在適當的年級（如中、高年級）引入計算器，允許學生在驗算、面積和體積計算以及統計數據等時使用，以節省教學時間，提高正確率及學生的學習興趣。
（3）加強統計知識的問題。
我們已經步入信息時代，大量信息需要我們去收集、整理、進行分析并得出結論。統計的思想、方法在各方面的應用日益廣泛。應該把這些思想、方法變成學生分析問題、解決問題的自覺行動，要達到這一目的，需要比較長的時間進行滲透、教學。因此，我們應該把統計知識分散在各年級教學，從一年級開始結合數的認識、計算、幾何知識等內容教學。并且還要加強實際活動，提出一些符合學生日常生活實際的問題，讓學生尋找條件，收集數據，進行整理、篩選出有用的數據，選取合適的條件來解決這些問題。這樣既可以提高學生的學習興趣，又可以培養學生將實際問題轉化成數學問題并加以解決的能力。
（4）應用題改革的問題
應用題在我國小學數學中是份量比較重的一個內容，經過多年的經驗積累，已形成了自己獨特的教學體系，它的改革是比較困難的。筆者認為：我國的應用題教學，在培養學生思維能力方面還是有其獨到的作用，但在培養學生運用數學知識解決簡單的實際問題的能力方面還比較薄弱，可以借鑒一些“解決問題”的思想，從培養學生解題策略方面進行適當的改革，使應用題的教學更符合兒童的生活實際，這樣既可以提高學習興趣，又有助于培養學生將實際問題轉化為數學問題并加以解決的能力。
2．小學數學教學內容的分段問題
數學概念的發展是一個不斷反映現實世界數量關系和空間形式的矛盾和不斷解決這些矛盾的過程，兒童的認知發展也是一個由淺入深經歷多種水平或階段的漸近過程。因此安排小學數學教學內容時，應根據各部分內容的分量、難易的程度以及學生的年齡特點適當劃分階段。如，分數的概念比較難建立，需要在不同層次上有適當的重復。目前教材一般都是分兩段編排：先初步認識，再系統教學。這種編排比較符合數學的邏輯順序，在整數知識的基礎上教學分數，不僅使學生看到了數的擴展，而且掌握起來也比一開始就學容易。但不足的是由于分段較少，兩段內容的差異較大，且相距的時間較長，給學生的理解和記憶造成了一定困難。因此，分數教學的分段還有待于進一步研究。在研究時，一方面要注意各階段應有不同的重點，要循序漸進，逐步提高；另一方面也要注意防止把知識分得過細，或出現不必要的重復。這一原則不但適用于分數，也適用于其他的內容。
3．教材與教學過程的關系問題
教材是為教學服務的，教材的編寫應該考慮教學的實際需要。教材應不應該體現教學過程？從目前我國的師資水平考慮還是應該有所體現。這樣既可以減輕教師的備課負擔，又可以為教師提供課堂教學的基本模式，雖然這樣編排可能顯得比較死板，但對教師把握教學要求還是有幫助的，同時也不限制好教師的正常發揮。因此，在考慮教材的編排時，要認真研究各部分知識的教學過程。
4．與其他學科的聯系與配合問題
數學作為工具性學科，一方面要注意適應別的學科的需要，如，學習常識、地理需要用到一些計量，數學要在不增加學生負擔的前提下，盡量提前安排。另一方面，數學需要其他學科的知識做基礎。如，應用題的學習，需要學生有一定的識字和閱讀能力，因此在安排應用題時，除了要考慮應用題本身的系統和難易外，還要考慮到語文學習的進度，要在語文課給學生打下初步的識字、閱讀基礎之后，再安排應用題。
5．聯系實際的問題
將數學知識和實際聯系起來，可以使學生正確認識數學乃至科學發展的道路。目前，我們的教材在反映生活實際，培養學生應用數學的意識方面，與時代要求還有距離，需要進一步改革。要改變這種現狀，一方面要注意新知識從現實生活問題引入，使學生借助這些有實際背景的問題，加深對所學的數學知識的認識和理解。另一方面，數學作為一門工具性學科，還應安排一些聯系實際的習題和實踐作業，以培養學生解決實際問題的能力，使學生在將數學應用于實踐的過程中，創新意識和創新能力得到逐步培養。
參考文獻：
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《數學教育研究導引》 張奠宙主編 江蘇教育出版社 1998年第2版
《小學數學教材教法》 中央電化教育館 衛星電視教育教材辦公室 主編 北京師范大學出版社 1986年第1版
《小學數學教學指導書》曹俠 陳宏伯 周玉仁主編 人民教育出版社 1988年第1版
《知識經濟時代與小學數學教育改革》張衛國 《小學數學教育》1999年第1、2、3期
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