強化數學課程中的應用意識

強化數學課程中的應用意識

數學課程改革的思路之一就是數學課程應強化應用意識，允許非形式化，這是我們改革數學課程的關鍵之處．數學課程貫徹此精神，可望縮短學生發展必經的歷程，盡快進入現代化前沿，適應２１世紀對學生的要求．

事實上，數學課程中強化數學的應用意識早已成為發達國家的共識．而我國目前數學課程中數學應用意識卻十分淡薄，與世界數學課程發展的潮流極不合拍．事實上，數學及其應用曾是我國古代最發達的傳統科學之一，以實用性、計算性、算法化以及注重模型化方法為特征的中國古代數學處于世界領先地位達千余年之久．但遺憾的是，具有應用功能的傳統數學沒有被及時納入教育內容，或引發出必要的數學課程，因此它的發展和成就失去了傳播的根基和土壤，隨著社會的演變逐漸被人們所丟棄．近代中國經濟發展相對落后，

數學課程的建設主要是折衷地采用外國的研究成果．在應用方面，由于沒有做適合于我們文化背景的貼切轉換和補償，造成應用意識的繼續失落．當前，我國數學教材中的習題和考題多半是脫離了實際背景的純數學題，或者是看不見背景的應用數學題．這樣的訓練，久而久之，使學生解現成數學題的能力很強，而把實際問題抽象化為數學問題的能力卻很弱．面對新世紀的挑戰，我們重建的數學課程應該注意將民族的數學應用成果及時納入教育內容．在課程中及時增加反映在社會發展中的應用知識，并研究培養學生應用能力的對策，從而達到數學課程改革與社會進一步相一致．數學課程中強化“應用”既是一個復雜問題，又是一個長期未能解決好的問題．“應用”在數學教育中有許多解釋，有些人為的非現實生活的例子，也可能有重要的教育價值，也可以培養學生應用數學的技能，不能一概否定．還有一類傳統的例子是過分“現實”的，如直接從職業中拿出來的簿記、稅收；如聯系特殊地方工業的“三機一泵”．這就有一個“誰的現實”問題，這些例子只是社會的一些特殊需要，不足取．數學的重要性主要不在于這樣的“應用”，它不可能總是結合學生的“現實”．正如卡爾松（Ｃａｒｓｏｎ）所言：“現實是主體和時間的函數，對我是現實的，對別人未必是現實的；在我兒時是現實的，現在不一定再是現實的了”．

前面說的都是“現實”例子用來為數學教學服務，當數學用來為現實服務時，即當我們用數學解決問題時，情況就完全不同了，它是用數學去描述、理解和解決學生熟悉的現實問題．這種問題不僅有社會意義，而且不局限于單一的教學，還要用到學生多方面的知識，在這方面英國數學課程設計中的課程交叉值得我們學習借鑒．所謂課程交叉就是在某學科教學過程中，突出該學科與現實生活以及其它學科的聯系．英國的數學課程交叉主要表現為：從現實生活題材中引入數學；加強數學與其它科目的聯系；打破傳統格局和學制限制，允許在數學課程中研究與數學有關的其它問題等．

數學課程中強化“應用”意識，落實到具體，必須在教材、教學、考試等方面都要增加用數學的意識．用數學的什么呢？可分為如下三個層次：

用結論用數學的現成公式，這是最低層次，人們最容易看到的地方．

用方法如方程的方法、圖表的方法、分析與綜合邏輯推理的方法等．

用思想

研討問題的一般過程，觀察、分析、試驗；從需要與可能兩個方面考慮問題；逐步逼進；分類與歸一；找特點、抓關鍵；從定性到定量等．通過用數學，學生才能理解知識、掌握知識；通過用數學，才能訓練學生的思維．

值得指出的是，與課程中強化數學的應用意識相關的一個問題就是允許非形式化．首先，應恰當掌握數學理論形式化的水平，加強對理論實質的闡述．我們非常贊同“允許非形式化”的觀點，“不要把生動活潑的觀念淹沒在形式演繹的海洋里”，“非形式化的數學也是數學”．數學課程要從實際出發，從問題出發，開展知識的講述，最后落實到應用．例如，極限概念可以在小學圓面積公式、初中平面幾何中圓周率的近似值的求法、高中代數等比數列求和等處逐步孕伏，在學微積分時正式引入．只要不在形式化上過分要求，學生是不難接受并能加以運用的．其次，應恰當掌握對公式推導、恒等變形及計算的要求．隨著計算機的普及，二十一世紀對手工計算的要求大大降低．從增強用數學的意識講，也應降低對公式推導與恒等變形的要求，否則沒有時間來講應用．要充分利用幾何直觀，形象地加以說明．否則應用的重點難以突出，生動活潑的思維會淹沒在繁難的計算和公式推導中，“增強用數學的意識”就會落空，學生思維水平也不會提高，新內容的引入將障礙重重．

在此筆者要強調的是，要使數學課程中應用意識的增強落到實處，一個重要的舉措就是數學課程應對數學建模必須給予極大的關注．數學模型是為了一定的目的對現實原型作抽象、簡化后所得的數學結構，它是使用數學符號、數學式子以及數量關系對現實原型簡化的本質的描述．而對現實事物具體進行構造數學模型的過程稱為數學建模．也就是說，數學建模一般應理解為問題解決的一個側面、一個類型．它解決的是一些非常實際的問題，要求學生能把實際問題歸納（或抽象）成數學模型（諸如方程、不等式等）加以解決．從數學的角度出發，數學建模是對所需研究的問題作一個模擬，舍去無關因素，保留其數學關系以形成某種數學結構．從更廣泛的意義上講，建模則是一種技術、一種方法、一種觀念．

數學課程內容應是數學科學內容的“教育投影”，數學應用范圍的不斷擴大，迫切要求數學課程作出反應．人們發現，這些應用都有一個共同點，就是把非數學問題抽象成數學問題，借助于數學方法獲得解決．因此，數學模型作為一門課程首先在一些大學數學系里被提倡．后來，人們又發現，傳統的中小學數學課本中的應用僅僅是：把日常生活中的經濟、商業、貿易和手工業中的問題用一定程序表達，內容只涉及計數、四則運算和測量等．這種應用無論是方式還是內容，與數學在現實生活中的應用相比，相差甚遠．于是數學建模作為一種教學方式在中小學受到重視，通過“做數學”達到“學數學”的目的．

目前從整個范圍來看，世界各國課程標準都要求在各年級水平或多或少地含有數學建模內容，但各國的具體做法又存在著很大差異，主要有以下幾種．

（１）兩分法

數學課程方案由兩部分構成．前一部分主要處理純數學內容；后一部分處理的是與前一部分純數學內容相關的應用和數學建模，它有時是現成模型結果的應用，有時是整個建模過程．這種做法可簡單地表示為：數學內容的學習→數學應用和建模．

（２）多分法整個教學可由很多小單元組成，每個單元做法類似于“兩分法”．

（３）混合法

在這種做法里，新的數學概念和理論的形成與數學建模活動被設計在一起相互作用．這種做法可表示為：問題情景的呈現→數學內容的學習→問題情景的解決→新的問題情景呈現→新的數學內容的學習→這個新的問題被解決→……

（４）課程內并入法

在這種做法里，一個問題首先被呈現，隨后與這問題有關的數學內容被探索和發展，直至問題被解決．這種做法要注意的是，所呈現問題必須要與數學內容有關并容易處理．

（５）課程間并入法

這種做法類似第（４）種，但又不完全相同，主要因為所呈現問題的解決所需要的知識未必主要是數學知識，可能是其它科目知識，數學已與其它科目融合成一體，不再單獨成一科．顯然，這種做法就是“跨學科設計教學法”．

上述做法孰優孰劣？一般很難直接評判，只能據不同的情況采取不同的做法．現在有一種愿望：在中小學引進跨學科的、以社會為基礎的設計工作，在這種設計工作中，學生會看到數學如何才能夠應用到真正的“現實生活”問題上去．并且可望獲得進一步學習的動力，會自然也產生建立“數學模型”的機會，實際上關于數學建模的學習包括了各種水平的活動．現在有必要研究許多模型，明確“數學模型化”的確切意圖．二十世紀的一個重大挑戰不僅是提供在學校能夠學的應用的實例，而且是更深入地研究各種類型應用的教育目的和正確性，所以學生如何應用數學必定是二十一世紀的一個主要目標．

參考文獻

〔１〕丁爾升等著．中學數學課程導論．上海：上海教育出版社，１９９４．２６９

〔２〕趙林．國外中學數學建模教學情況概述．課程·教材·教法，１９９５，１５（８）：５５—５７