數學規則的學習

數學規則的學習

一、教學規則及其掌握的含義

在小學數學學習內容中，存在著大量有關數的四則計算法則、運算定律與性質、計算公式等內容。這些內容既是現實世界數量關系和空間形式及其計算規律的概括與總結，又是有關計算過程具體實施細則的具體規定。在這里我們把這些內容統稱為數學規則，將學生對這些內容的學習稱之為數學規則的學習。由于數學規則反映的是幾個數學概念之間的關系，因此他們的學習層次和復雜程度都高于概念學習。

學生對數學規則的掌握主要體現在以下幾個方面。

一是理解數學規則的推導與總結過程，不僅懂得各個數學規則是怎樣規定的，而且還懂得為什么要這樣規定，以此明確數學規則規定的合理性和必要性；二是將總結出來的數學規則靈活運用到各種具體情境中去解決相應的問題，對于一些基本的數學規則（如四則計算法則、運算定律和計算公式等）其運用水平應達到比較熟練的程度；三是掌握不同數學規則之間的關系，明確它們之間的區別和聯系。

二、小學數學規則學習的基本形式

數學規則學習和掌握的關鍵是獲得數學概念之間關系的理解，而數學概念之間關系的理解又依賴于新規則與原有認知結構中有關知識的聯系。由于新規則和原有認知結構中的關系可以分為下位關系、上位關系和并列關系三種，因此數學規則的學習也可以分為以下三種基本形式。

l．下位學習。

如果原有認知結構中有在概括層次上高于所學新規則的知識，那么新規則和原有認知結構中的有關知識就構成下位關系，利用這種關系獲得數學規則的學習形式叫做下位學習。在下位學習中，新規則揭示的概念與概念之間的關系是從原有認知結構里概括層次較高的知識中分化出來的，新規則可以直接和原有認知結構中的有關數學知識發生聯系，并直接納入原有認知結構使其變得更加充實。很明顯，在下位學習中新規則同原有認知結構相互作用的方式是同化，其學習過程主要是通過分化使有關數學認知結構充實、完善，并形成新的數學認知結構的過程。

根據所學數學規則與原有認知結構中有關數學知識之間的關系，又可以將下位學習具體劃分為派生類屬學習和相關類屬學習兩種不同形式。前者是指將要學習的新規則整合到原有認知結構的有關內容中去，新規則對原有知識只起支持或證實的作用，新規則通過新舊內容的相互作用而獲得意義，原有認知結構不發生質的變化。如學生學習圓柱體的體積計算方法，由于他們在前面長方體的體積計算方法學習中已經知道了長方體的體積等于底面積乘以高，并且掌握了其計算公式V＝sh，所以學習時就可以將它作為前面已有計算方法的一種特例，通過派生類屬學習的形式加以掌握。相關類屬學習是指將要學習的新規則整合到原有認知結構中的有關內容中去，新舊內容整合的結果不但使新規則獲得意義，并且原有認知結構被擴充或修改，使原有認知結構發生變化。如梯形面積計算公式雖然不能直接由平行四邊形面積計算公式派生出來，但是它可以通過割補拼合轉化成平行四邊形，從而得出其面積計算公式s＝（a＋b）h÷2。很明顯，梯形面積計算方法就可以通過相關類屬學習的形式去掌握。

2．上位學習。

通過對原有認知結構中有關內容的歸納和綜合，概括成新的數學規則的學習形式叫做上位學習。如根據長方體的體積計算公式V＝abh、正方體的體積計算公式V＝a3、圓柱的體積計算公式V＝πr2概括出計算公式V＝Sh的學習過程，就屬于上位學習。上位學習所采用的思維方法主要是概括與綜合，由于它主要通過歸納和綜合原有認知結構中的有關內容而建立新的認知結構，因此上位學習必須具備兩個基本條件：一是所學習的數學規則在概括層次上一定要高于原有認知結構中的已有知識；二是原有認知結構中一定要有可供歸納和概括的內容，即頭腦里必須具有比新的數學規則層次低的相關內容。如要概括加法交換律a＋b＝b＋a時，學生頭腦里必須有3＋5＝5＋3、25＋75＝75＋25、500＋400＝400＋500……可供概括的內容。

上位學習，在小學數學學習中有著非常廣泛的運用，概括運算定律和運算性質、總結運算法則、建立概括層次較高的計算公式通常都要采用上位學習。由于小學數學教材內容在安排上反映為一種連續擴充和深化的過程，因此某些知識體系要通過多次的上位學習過程才能獲得。如整數乘法的計算方法，乘數是一位數的乘法法則是表內乘法的擴充，乘數是兩位數的乘法法則是乘數是一位數乘法法則的擴充。

從學習的認知方式來看，下位學習依靠的是同化，上位學習依靠的是順應，它要通過改造原有認知結構才能獲得新規則的意義，因此一般來講，上位學習比下位學習困難。

3．并列學習。

利用所學數學規則與原有認知結構中有關知識的并列關系，通過類比而掌握數學規則的學習過程叫做并列學習。并列學習所采用的思維方法主要是類比，其關鍵在于尋找新規則與原有認知結構中有關法則、規律、性質的聯系，在分析這種聯系的基礎上通過類比實現對新規則的理解和掌握。并列學習在小學數學學習中也有十分廣泛的應用，許多數學規則學生都要通過這種學習方式去掌握，如學習分數的基本性質和比的基本性質，學生都要利用它們和除法商不變性質的聯系通過類比去掌握。

我們說上位學習、下位學習和并列學習是三種不同的學習形式，這主要是為了討論的方便，事實上它們之間并不是彼此孤立的，三者之間有著密切的聯系，常常體現于同一數學規則的學習中，只是某些數學規則以下位學習為主，某些數學規則以上位學習或并列學習為主罷了。另外，在小學數學學習過程中常是先上位學習后下位學習，如運算法則一般都是先用上位學習從具體計算過程概括出法則，然后通過下位學習將法則運用于具體計算。在實際學習中，要注意根據具體情況靈活運用幾種學習形式，從而促進數學規則的更好掌握。

三、小學生掌握數學規則的心理分析

縱觀小學數學教材不難發現，四則運算法則是小學數學規則的主要內容，它的學習和掌握在數學規則學習中具有十分典型的意義。下面試以運算法則為例簡要分析小學生掌握數學規則的心理過程。

運算法則是用文字表述的運算規定，它是在算理指導下對運算過程實施細則作出的具體規定，它所反映的是一種規范化的操作程序。心理學研究表明，小學生掌握運算法則通常要反映出以下心理過程。

1．從具體到抽象再到具體的過程。

小學生掌握運算法則通常都是以具體的計算為起點，通過一定數量習題的計算從中發現一些帶規律性的計算方法或具有普遍適用性的運算程序，并將他們上升為運算法則，然后用概括出來的法則指導計算，由此將抽象的運算規定變成具體化的計算過程。這表明小學生掌握運算法則要經過由具體到抽象概括再到具體的心理發展過程。縱觀整個小學數學教材，有關運算法則的內容基本上都是按照這種程序編排的。如乘數是兩位數的乘法法時，教材先讓學生計算24×13、212×34、132×32、214×23等題，通過這些習題的豎式計算，學生很快從中發現計算的操作程序，并從這些具有普遍意義的操作程序中概括出三條運算規定：①先用乘數個位上的數去乘被乘數，得數的末位和乘數的個位對齊；②再用乘數十位上的數去乘被乘數，得數的末位和乘數的十位對齊；③然后把兩次乘得的數加起來。緊接著又用這種計算程序去進行大量的計算，從而使乘數是兩位數的乘法法則變成具體的計算過程，完成學生對運算法則認識的第二次飛躍。

根據這一特點，我們在引導學生概括運算法則時要特別注意兩點：一是先要安排一定數量的習題讓學生計算，為運算法則的概括提供足夠的依據，不要讓學生僅根據個別習題的計算去概括法則，防止學生把運算法則變成缺乏感性認識的教條。二是概括運算法則時要重視其理的指導，不僅讓學生知道法則是怎樣規定的，而且還懂得為什么要這樣規定，以此使學生明確運算法則規定的必要性和合理性，從而保證他們在后面的計算中自覺遵循運算法則的規定。

2．從展開的、詳盡的思維活動到壓縮的、省略的思維活動的過程。

心理學研究和教學實踐都表明：學生學習新法則的初期，他們的思維活動總是按照法則規定的運算步驟一步一步展開的，每一個運算步驟都要在他們的思維過程中詳盡地展現出來，如學生開始學習除數是小數的除法，計算10.44÷0.725（人教版義務教育六年制小學數學第九冊第20頁例5）時，他們的思維活動按照除數是小數的除法法則規定的程序通常要經過以下過程。

①將除數“0.725”的小數點向右移動三位變成整數“725”；

②被除數“10.44”的小數點也要向右移動三位；

③被除數“10.44小數部分的位數不夠（怎么辦）；

④在被除數的末尾添“0”補足，被除數變成整數“10440”；

⑤按照除數是整數的小數除法法則計算“10440÷725”。

當學生對運算法則有了正確的理解和比較熟練地掌握以后，在計算中就會逐步壓縮運算過程中的某些中間環節，省略和簡化其思維過程。這時計算“10.44÷0.725”一類式題，就會將其思維過程壓縮為兩大步驟：①根據除法商不變性質將除數是小數的除法算式變成整數除法算式“10440÷725”；②根據除數是整數的小數除法法則計算“10440÷725”。

從上面的例子和論述我們不難發現，學生學習運算法則初期展開的、詳盡的思維過程實際上是一個充分認識、深刻理解法則的過程，開展是為了理解，以保證運算過程和結果的正確。但是，如果長期要求學生在計算中這樣詳盡地展開思維過程，對于培養他們的計算能力和思維能力是不利的。因此，當學生對所學運算法則有了正確的理解以后，教師應及時引導他們壓縮和簡化運算的思維活動，使其計算速度適當加快，確保學生的思維能力和計算能力得到有效發展。

3．從明確意識法則到完全不用意識法則的過程。

心理學研究表明，小學生運用運算法則進行筆算，開始時他們總是通過在頭腦里明確意識法則的運算規定去進行計算的。即學生運用法則的初期，面對具體的計算任務，他們要靠在頭腦里聯想法則的運算規定才能計算，并且這種計算通常都是按法則規定的運算步驟去一步一步的展開的，甚至有時還伴有對法則運算規定的默默念頌。如一年級學生剛開始學習筆算加法，列豎式時他們要聯想“相同數位對齊”的運算規定，計算時要聯想“從個位加起”和“個位滿十向十位進1”兩條運算規定才能完成計算任務。否則，其計算過程就會因為缺乏操作的依據而無法進行。當學生對運算法則掌握得比較熟練以后，計算時就完全不用意識法則了，面對具體的算式，學生無需去聯想法則的運算規定就能直接進行計算，整個計算過程完全變成了一種自動化的演算過程。如學生對加法法則有了比較熟練的掌握以后，計算時他們根本不用去聯想三條規定，而是直接連通計算任務和計算過程得出計算結果。

學生掌握運算法則的這一心理特點給我們一個重要啟示：在四則計算教學中，一方面注意要求學生在學習初期按照法則的規定進行計算，以保證運算過程的規范性和計算結果的正確性；另一方面，隨著學習過程的不斷深入，要注意引導學生逐步減

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少對法則的依賴，使計算逐漸過渡不用去聯想法則的運算規定就能直接計算的水平，以此促進學生計算能力的迅速發展。

《小學數學教育》2001年第9

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