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正切、余切函數的圖象和性質
函數（function）的定義通常分為傳統定義和近代定義，函數的兩個定義本質是相同的，只是敘述概念的出發點不同，傳統定義是從運動變化的觀點出發，而近代定義是從集合、映射的觀點出發。下面是小編精心整理的正切、余切函數的圖象和性質，僅供參考，大家一起來看看吧。
正切、余切函數的圖象和性質
張思明
教學目的：（略）
教學過程擇錄：
一、引題：
師：對比上一節的習題，請同學們看一看自己的作業本，對正弦和余弦函數，在作業中，我們已涉及了多少類型的問題？
生眾：P159（11）正弦，余弦函數的定義域； P158（3）正弦，余弦函數的最值（值域）； P158（6）正弦，余弦函數的奇偶性 P159（8）正弦，余弦函數的單調性 P159（7）正弦，余弦函數的應用一-，-比大小 P158（4）正弦，余弦函數的周期（最小正周期） P159（12）正弦，余弦函數的圖象 P160（16、17）正弦，余弦函數性質的應用。
教師在黑板上書寫：
（1）定義域
（2）值域
（3）奇偶性
（4）單調性
（5）比大小
（6）求最小正周期
（7）作圖
（8）應用
教師：今天我們來學習正切、余切函數的圖象和性質，可以想一想，我們要觖決什么問題？
生眾：不就是上面這幾點問題嗎？
教師：說的不錯，我們就是要來解決把“正弦、余弦函數”換成“正切、余切函數”后（1）~（7）后面加一個“是什么？”這樣一些問題。請同學們帶的這些問題看書5分鐘（P153~P157）。
[評述]：這里是通過作業小結的方式引入問題。學生常常是很肓目的做作業，很少觀察作業所涉及的問題類型和范圍。教師有意識地引導學生作這種觀察，既培養了學生看課本的習慣，又自然引出了今天的課題和要探索解決的問題。
二、學生自己回顧性設問，（自問自答） 5分鐘以后：學生閱讀完畢，教師指導第一組學生（7人）為相鄰的同桌的同學（第二組學生）就前面七個方向提一個有關正、余切函數性質的問題，要求是后面的同學不要提前面已經提到過的問題，并請同桌同學（起立）對著大家回答。
做完后，問、答的兩組學生角色交換。其它組的同學一邊聽，一邊作判斷，對的放過，不對時請同一行的同學予以更正。
生1：正切函數的定義域是什么？
鄰生答：除了，k∈Z外的全體實數。
生2：正切函數的值域是整個y軸嗎？
鄰生改正：應說成是全體實數
生3： ………
生10：學過四種三角函數都是奇數嗎？都是增函數嗎？
鄰生答：不對，反例是余弦函數）
生11：正切函數是它定義域上的增函數嗎？（好問題！）
鄰生答：是，其它學生更正：不是。
教師追問理由………
生12：正切函數是一個周期為2的函數嗎？（含義不清的問題）
鄰生回答：準確地說正切函數是最小正周期為的周期函數。
生13：余切函數也是一個以2為周期的周期函數，這個說法對嗎？
鄰生：不對， 另外的學生答：對，……… 學生即席討論………。
生14：怎樣由y=tgx的圖象得到y=ctgx的圖象？（好問題），鄰生答：可以先把y=tgx的圖象以x軸為軸，翻轉180度，再向右平移。
另一個鄰座同學：也可以先把y=tgx的圖象以y軸為軸，翻轉180度，再向右平移。
教師插說：我怎么不懂了？為什么把y=tgx的圖象以x軸為軸，翻轉180度和把y=tgx的圖象以y軸為軸，翻轉180度的效果一樣？
學生討論得到：因為y=tgx是奇函數，f(-x)=-f(x)。
教師又插說：非要先翻轉后平移嗎？
學生討論略。
[評論]學生自己設計問題，自問他答，其它學生協助判定是否正確，可以在很大程度上調動學生自己學習的主動性。但問題的難易控制有一定難度，先問的人設計問題相對容易些，可以用往復問答的方式來解決（第一個提問的學生將回答最后一個問題）。
鄰座的學生作答，同一橫行同學做答的是非判定，這樣做目的是讓反饋的更快、更廣些。
從學生問答情況看，基本達到了目的。
三、自己提出問題，設計問題，當堂練習，自己作評價。
師：下面請第3組同學為大家設計一組課堂練習可以討論。（2分鐘）
要求是七個方面都要覆蓋。（七人上黑板，學生之間有交流，組長分配協調一人一個題，不使重復，2分鐘后題目完成）
請第4組同學上黑板解：其它同學在下面解。
再請第5組同學：評價題目和解法的長短。
請第6組同學對應設計課后作業（C組題）。
請第7組同學：作全課的小結（談自己認為感覺最深幾點）
[評述]活動覆蓋面大，學生在教師控制的“方向”上直接參與練習設計，求解，并且加入練習題設計及解法的評價和全課小結，目的是讓學生學會“品題”，“品課”，這本身是對學生掌握學法的一種引導，對培養學生的自學能力十分重要。
第3組學生上黑板設計的題目：
（1）求函數的定義域。
（2）求函數的值域。
（3）比較和的大小。
（4）函數最小正周期是什么？
（5）求出的單調增區間。
（6）作出函數的圖象，并說明它是由y=tgx經過怎樣的變換得到的。
（7）討論下面函數的奇偶性和最小周期：，y=tg (mx+n)+b
學生D組7人上黑板解題。
求解過程及改錯討論略。
學生E組評價：首先對D組的解答做出評判（略）
學生15：我覺得（3）設計的好，它要求先用誘導公式轉化成同名函數再比大小。
學生16：我先糾正解答中的錯誤，原解認為最小正周期是，這是一個明顯的錯誤，因為它不是正數。我覺得（4）設計的目的就是要考查最小正周期的表達式中絕對值這一個最容易被忽略的地方。我認為此題設計的很好。
學生17：我覺得（5）設計的不很好，原因是，對數后面根號似乎多余，因為對數對真數的要求和算術根大體一致。又復合函數的內、外層函數y=lgt, 都是增函數，再討論遞增區間，顯得“挖潛”不夠，不如將y=lgt或換成某種減函數如。這樣可以考察到更多的復合函數單調性的知識。
[評述]：這里有一個集體協作的場景，組長“派”任務和個人主動搶任務結合，學困生強以優先，各盡其能，各顯所長。教師可以在旁邊觀察、欣賞、記錄。作出鼓勵或引導性的“旁白”。
第7組的兩個代表，上來做了全課的總結：
學生17：今天我們學習了正切、余切、函數的性質，我覺得比較重要的是要把握函數的性質，就要去研究什么東西？這里面主要是定義域，值域單調性、奇偶性、周期性，和由此得到的函數的圖象。對于正、余切函數的性質我覺得通過它們的圖象去記憶，去理解是最容易的。只要記住函數的基本圖象，我們就可以說出相應的性質。簡單地說可以從圖象直觀走向看增減性、是否對稱看奇偶性、是否可重復看周期性………。
學生18：我覺得應該補充的是：學習相關、相似知識時應抓住區別。“切”函數相對于與“弦”函數的區別在于：無最值，定義域“斷續”，周期“變短”，增減性變“單純”。 從我們的解決過問題看，用到最多的是轉化的思想：即把一個對復合函數性質的討論轉化為對最基本的三角函數的性質的應用。如：求定義域，就是利用基本余切函數y=ctgt的定義域是t≠k，k∈z，再把看成一個整體。令 從而解決問題。所以抓住最基本的函數的性質是解決問題的根本。
教師：大家談的都很好，特別是評價組的同學不僅做出題目，還能“品出”出題者的本意，小結做的也很好。我請大家注意這節課的過程實際上給了我們學習新內容的一種宏觀的程序：溫故（相關知識準備）→新的學習對象與舊知識的聯系→類比提問、差異思考發現問題和學習目標→找出規律，解決問題→應用成果，練習鞏固（發散）→歸納收縮（小結）。這里的程序還沒有完，還有一段是：→進一步的發散思考，探索新的問題和規律。
這部分內容常常是在課外進行的。 記得最后一位同學的小結中提到的“根本”是基本函數的基本性質，這真的是很“根本”，因為我們今天所解決的問題都被化歸到這個地方。
[評述]：學生的小結和評價不一定很完整、全面，可以一人一點，互相補充。即使有錯誤，教師也不要急于糾正。最引導學生自己發現、糾正。也可以讓其它學生來補充更正。
教師的評價應是激勵性的。另外應引導學生注意學法，特別是對高一的學生。
作業：
A 組：P157~158（直接勾畫在書上）（練習）
B組：P161、18、20、21、22、23
C組：請第六組同學上黑板布置
（1）求函數y=tgx+cos2x和y=tgx-ctgx最小正周期。
（2）作出y=tgx·ctgx的圖象。
（3）討論y=atg(mx+n)+b (a>0，m≠0) 的性質，及各個文字對函數圖象的影響。
（4）討論 討論函數y=sin9(cos7(tg5(ctg3x)))的單調遞減區間。 教師補充：
（5）當較小時，如0<x<5°在一個有函數功能的計算器中，鍵入tgx 和sinx，比較顯示的結果，看看有什么發現？在力學題的考試中，有時常要計算小角度的正弦或正切值，在不讓使用計算器的和不能查表的情況下，你有什么補救辦法？
[評述]：A、B是基本要求，C組作為選做或探索題。讓學生設計C組題也是為了調動學生自主學習的積極性，因為學生更樂于解決自己的問題。
如C組題的（1）（2）設計的就不錯。
比如：（1）y=tgx-ctgx中的最小正周期不是，而是。這就需要借助于切割弦把它化成-ctg2x來發現。
（2）可以看出學生試圖將結果一般化，雖有一定困難，但值得鼓勵提倡。有時也會出“問題”。
如（3）的設計意圖很好，綜合應用的意識特別強。可以看出的學生的設計意圖是把已學過的幾種函數的性質“綜合”應用到一起，出這道題的學生平時能力強、反應快，但有重難題，忽視基本的傾向。
我看到這題在沒有反三角函數知識的情況下，求解、表達都有困難，已超出學生現有的水平，提出大家可以先思考而讓設計提出該問題的同學下次介紹他的解法。
在下次課上這位同學說他出題時考慮不夠，出完題沒想解題時候的困難，定義域不好描述，單調區間寫出有困難。我先肯定了這位同學的出題意圖，然后說實際問題有可能是這樣的。
我們在第一輪學習時應注意基本。就這道題來說，將來學習反三角函數知識再解可能更容易一些，另一個辦法是用計算機（mathcad）軟件，可以作出圖象如下，從而可以分區間得到近似解。
x=1，1.0001---1.005 f(x)=sin(9cos(7tg(5ctg(3x))) 這樣做的目的是既給出激勵性`的評價，又通過問題中暴露的困難激發進一步學習的動力。
應該承認這樣做是有一定風險的，學生出的題目也會常常使教師陷入窘境，但師生在同一個起點去思考，去碰壁，去繞巖避礁，長使教師與學生都能得到更多的收獲。許多思考的技巧和解決問題的策略都是在這樣的交流中，無形的被激發、轉化、吸收。
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