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拓展數學學科的育人價值
“新基礎教育”在教學研究中提出了“拓展學科育人價值”的任務。本人作為該研究課題的成員，并具體承擔數學學科教學改革的研究，對這一任務作了結合學科的理論思考和實踐探究。本文從三方面闡述自己對拓展數學學科育人價值的認識。
一、 對數學教學育人價值的認識偏差 數學是中小學教學的重要基礎性課程，歷來受到學校領導、教師和家長的重視。因此，每一次重大的課程教學改革都會涉及到數學學科的改革。近年來討論較多的是關于學生數學能力培養及數學與生活關系的研究，專門從“育人”的角度來全面研究數學學科的價值似不多見。因此可以說，在總體上教師還缺乏這方面的自覺意識。但是，缺乏不等于不存在。實際上，長期以來人們對數學學科的育人價值的認識存在著偏差。這些偏差概括起來主要表現在以下三個方面： 偏差之一是對數學學科育人價值認識的狹窄化。所謂狹窄化，就是對數學學科教育的價值認識停留在教學數學知識上。表現出一種為教知識而教知識的狀態，把學生當作是為學習數學知識而存在的，教師是為教數學知識而存在的，數學學科的育人價值被局限在掌握數學知識上。這可以從教師關于教學目標的制訂中窺見一斑，具體地說，大多數教師只是圍繞知識點的理解、掌握和運用來制訂教學目標。例如教師對于小學數學教材中《商不變性質》的教學目標的制訂，一般都停留在：①理解和掌握商不變性質；②學會運用商不變性質進行簡便運算。可以說，大部分的數學概念、法則、性質等的教學目標都停留在這個水平上。 偏差之二是對數學學科育人價值認識的空泛化。所謂空泛化，就是對數學學科教育的價值認識停留在空洞的口號上。具體地說，教師在制訂教學目標時，除了知識點的教學目標以外，增加了一些口號性的目標。還以上述《商不變性質》為例，有的教師把教學目標制訂為：①理解和掌握商不變性質；②學會運用商不變性質進行簡便運算；③培養學生的創新精神；④培養學生的團隊合作精神。后兩條增加的目標，反映了教師對數學學科多元教育價值的意識開始覺醒。他們原本的意思可能是指通過小組討論來學習該內容，并且鼓勵學生在學習該內容時獨立思考、大膽發表意見。但是象這樣口號性的目標，具有“普適性”，它幾乎可以作為任何一堂課的教學目標。正因為如此，沒有找到特性和載體的空泛目標，盡管在許多教案中都能看到，但僅憑此，在任何教學中都不會具體落實，所以它只能起到貼標簽的作用，僅僅表達了教師改革數學教育的愿望而已。 偏差之三是對數學學科育人價值認識的短期化。所謂短期化，就是對近期的、可測量的考核目標的追求和滿足，把小學數學學科教育的價值定位在考試成績的提高，忽視了學生對數學知識的發生和形成過程的探索和體驗，使數學教學趨于死記硬背。這種強化練習可能要考到的內容，以達到牢固記憶、熟練應答、考試成功的目的的現象，可以從數學課上有層次、有坡度、大題量的“經典”練習中得到印證。數學學科的育人價值被局限在應試上。之所以把“應試”也稱作育人價值，原因有二：一是應試關涉到學生將來的升學和發展，并非與學生的成長無關；二是應試的內容大量是基礎性的，也是數學教育的重要組成。但問題出在僅用大量的機械練習來應對考試，考什么練什么的急功近利的做法，且僅僅為應試而教，把學生當作是為考試和練習而存在的人，這就完全違背了教育的真諦了。 二、 重新認識數學學科教育對于學生發展的價值 上述認識的偏差，使數學學科教育漸漸丟失了更為根本和長遠的價值----對學生發展的奠基性價值。那么，數學學科對于學生的發展有怎樣的教育價值？如何開發和豐富數學學科的育人資源？“新基礎教育”研究把這兩個問題，作為數學學科教育改革的根本性問題，研究人員和實驗教師一起展開了研究。下面是我們對這些根本性問題的思考和認識。 要對數學學科的教育進行價值選擇，首先需要對作為學校教育組成的數學有一個重新認識。 作為學校教育組成的數學---學校數學，是學校中開設的一門課程，它和科學數學既有聯系，又有區別。概括地說區別在于：首先是指向不同。作為科學的數學以揭示數量關系和空間形式為目的，通過邏輯推理發現數學結論，著眼于深刻精確地闡明數學理論，指向數學學科本身的發現和推進。學校數學作為學校教育的內容和過程之一，其所以要設立的根本依據是人的成長。學生的發展和與他人的真實交往、以及人在各種社會實踐中都需要數學的滋養。學校數學說到底是以育人為目的，即使是為數學的發展，也還是要指向人，而不是直接指向數學本身的發展。其次是構建知識的路徑不同。科學數學十分強調對定理和法則進行嚴格的演繹推理論證。學校數學則是利用最基本的方法如歸納法、實驗法等等幫助學生得出結論、建構知識。第三是認識的起點不同。科學數學認識的起點建立在一定的公理體系上。學校數學認識的起點往往是學生生活中的實際經驗、實際事例，以及學生已有的數學知識。在過去，我們可能更多的是把學校數學當作學習已有的科學數學的知識來對待，從而導致把數學學科教育的價值窄化；在尚未深入研究數學學科具體的育人價值的情況下空說育人價值，從而導致了認識數學育人價值上的泛化；而習慣于追求教學價值的功利性，又使數學教育的價值貧乏化和短期化。 對學校數學的特性的重新認識和定位，使我們進一步認識到，學科教學是“育人”的載體，教書最終是為了“育人”。因此，要加強研究如何充分發揮數學學科的教育功能，通過數學教學這一重要途徑來促進學生主動發展總目標的實現。這是一個在每天每節數學課的教學過程中，堅持不懈的滲透和體現數學學科的育人價值的過程。他與教學數學知識不矛盾，相反，只有籍助于數學知識的教學才能實現。 為此，“新基礎教育”數學教學的改革，從原來關注數學知識的層面向更深的層次開發。我們認為，數學學科對于學生的發展價值，除了數學知識本身以外，至少還可以提供學生特有的運算符號和邏輯系統，使學生具有數學的語言系統；可以提供學生認識事物數量、數形關系及轉換的不同路徑和獨特的視角，使學生具有數學的眼光；可以提供學生發現事物數量、數形關系及轉換的方法和思維的策略，使學生具有數學的頭腦；可以提供學生一種惟有在數學學科的學習中才有可能經歷和體驗并建立起來的獨特的思維方式。 數學是學生學習的一門學科。人類在創造數學的同時，創造了數學所獨有的話語系統---運算符號和邏輯系統，使千百年來的數學發明和創造得以流傳至今。作為學校課程的數學教學有助于數學的流傳。然而，這種流傳在很大程度上取決于學生對數學獨特的話語系統的掌握是否具有同一性。如果學校數學的教學能夠盡可能多的提供學生互相交往、合作交流的機會，盡可能多的體驗和實踐數學的話語系統，就能提高學生運用數學語言系統的成熟度。 數學是學生認識世界的一種工具。很難想象如果沒有數學，人們怎么能全面、深刻地認識世界！但是在日常生活中，幾乎不容易看到幫助我們認識世界的數學。因為數學作為事物和關系組成的數形及其變換，已無處不在地滲透在世界之中，同時又似乎無形地隱藏其中。如果學校數學的教學能夠體現數學來自于現實生活，又應用到現實生活中去，就有可能提供學生獨特的觀察視角，去進一步認識和發現自己生活在其中的數學。 數學又是學生在學習中需要進行的一種思維活動。在數學學習的活動中發展學生的思維，這是數學對于學生思維發展的價值。這一點是勿用質疑的，過去是、現在是、將來依然是。然而，如果只關注傳遞數學教科書上呈現的現成知識，難以達成這個目標，相反，實際上只是讓學生學會簡單接受、模仿、配合、服從等被動的思維方式。在這樣的課堂教學中，學生內在于生命中的主動精神和探索欲望，常常受到壓抑，甚至被磨滅。“新基礎教育”強調數學對于學生主動思維的發展價值。“新基礎教育”相信學校數學的教學能夠提供學生主動探索、體驗、實踐的時間和空間，并且，在這個過程中，能夠給學生以力量和智慧。因為數學特有的內在的知識結構、數學知識創生和發展的過程，以及諸多的凝聚著前人智慧的數學發明和創造，本身就是一本“活生生”的教科書，它可以激發學生主動探索的欲望，提供學生發現的方法和思維的策略。 數學更是學生在生活中需要的一種思維方式。數學的思維方式表現出抽象的特征，但并不是無實踐和實體之根的抽象，也不是無規律可循的不可捉摸的東西，它滲透于各種具體的數學活動之中。籍助于具體的數學知識內容的教學活動，幫助學生建立數學的思維方式，不僅十分重要，而且是完全有可能的。如果學校數學的教學能夠揭示隱藏在數學知識的背后的數學思想和數學方法；能夠提供學生主動的實踐數學思想和數學方法的機會，就有可能使學生真正感受數學思維方式的力量，逐漸形成這樣的思維方式，并將這種思維方式在日常的生活中自覺的加以運用。 三、 如何開發數學學科的育人資源 對于拓展數學學科育人價值的意識覺醒，為我們對數學學科教育進行根本性的改革提供了可能。然而，在由可能向現實轉化的過程中，尚須付出更大的努力和進行新的探究。 困難與障礙首先來自于傳統的數學教科書的呈現方式。它把數學知識的整體劃分成一個個知識點、按照知識點的難易程度、用演繹的方式編排而成，使原本具有豐富內在關聯的知識，經過人為處理變成以“點”為單位的符號系統；它又以客觀真理的面目出現在學生面前，要求學生按規定的程序去理解、掌握和運用。而許多教師往往意識不到這個問題，被局限在教材知識點的框架內，按照一個知識點一個例題“掐頭去尾燒中段”[1]的方式進行教學。這樣就會導致學生在學習中障礙重重，且感到數學十分的枯燥乏味和無用。因為它割裂了數學知識整體之間的聯系，割裂了數學知識與人的生活世界的聯系，割裂了數學知識與人發現問題、解決問題、形成知識過程的聯系。學生和教師在教學中遭遇的知識是固化的真理---一堆“死”的符號型的結論，帶來的結果，是學校數學教學提供的育人資源的原始貧乏。 為了克服傳統的數學教科書中的“資料系統”的育人資源的貧乏現象，“需要將凝固的書本知識‘激活’，使知識恢復到鮮活的狀態”¬：實現書本知識與數學知識整體的、內在的結構的溝通，實現書本知識與人發現問題、解決問題、形成知識過程的溝通，實現書本知識與人的生活世界和兒童經驗世界的溝通，從而豐富和拓展數學學科的育人資源。在“新基礎教育”教學實踐中，我們主要進行了如下的改革： 1、 以數學知識的內在結構作為育人資源 “新基礎教育”研究提出了“要通過教學實現學科對于學生發展的獨特的價值”，這一目標與任務是高遠而又平實的。高遠在于最終要讓學生建立起獨特的思維方式，平實在于這樣的思維方式需要通過每天每節課教學的滲透才能得以建立。那么，有沒有實現這一目標的可能呢？ 在研究的初期，我們發現幾乎沒有實現的可能！因為在課堂上，教師常常只局限在教學種形式上的改革。以小學[1] [2] [3] 下一頁
數學的計算教學為例，由于當時的教材按照計算形式和結果的不同，將計算知識的整體分為不同的類型：如口算和筆算，按法則依次運算和簡便運算，精確運算和估算等等。教材還按知識的難易程度，以一個個知識點，配置一個個例題的形式進行編排。教師在教學時，遵循教材的體例，一個知識點一個例題孤立地進行。課堂上雖然有了方法多樣、提問質疑、小組討論等學生“主動”活動的形式，但是，透過這種“主動”形式，可以發現學生思維的深處是“被動”的應付和服從：教師教學簡便運算的方法時，學生不會出現估算的方法；教師教學估算的方法時，學生不會用簡便運算的方法。如此按照書本知識一個知識點一個例題的教學方式，使得學生同樣很會“配合”教師，他們會圍繞著知識點質疑討論、思考多種方法。這種為方法而方法、為質疑而質疑、為討論而討論的教學形式，實質還是“教”學生機械地掌握計算方法，“育”出以被動適應為基本生存方式的人。 為了讓學生的思維真正地主動起來，“育”以主動發展為基本生存方式的人，“新基礎教育”意識到應該以數學知識的內在結構作為育人資源，樹立數學教學的整體結構觀。因為結構具有較知識點要強得多的組織和遷移能力，不僅可以使學生對結構相關的知識牢固掌握、熟練運用并加以內化，更為重要的是，通過結構的學習，可以使學生因結構的支撐而樂于、善于主動的猜想與類比，促使學生的思維真正地主動投入，形成主動學習的心態與能力。在此基礎上，還可進一步使學生具有發現、形成結構的方法及掌握和靈活使用結構的能力。關于結構的教學，我們采用“長程兩段式”的教學策略：首先需要對現有教學內容進行重組，按數學知識內在的邏輯組成結構鏈；其次需要教師打破原來的一個知識點一個例題“勻速運動”的教學方式，將每一結構單元的學習分為“教學結構”階段和“運用結構”階段。在“教學結構”階段，主要采用歸納發現的方式，讓學生從現實的問題出發，充分的體驗發現和建構，逐漸形成知識結構和學習的方法與步驟結構。這一階段的教學時間可以適度放慢。在“運用結構”階段，主要讓學生運用結構進行主動的猜想、類比與驗證。由于學生已經能夠掌握和靈活運用結構進行主動學習，這一階段的教學的時間可以加速的方式進行。 以小學數學的加、減、乘、除法的筆算教學為例，教師要確立融口算、筆算、簡算、估算為一體的整體意識，以教學筆算的運算結構為主線，將其它各種計算方法滲透在其中。在教學加法筆算的運算結構時，以“教學結構”的方式為主；在教學其它方法的筆算結構時，以“運用結構”的方式為主。我們期望達到的目標不僅是學生對運算結構的掌握和靈活運用，更為重要的是，提高教師數學教學的整體意識，努力創造條件，提供各種學生活動的機會，學會以捕捉學生所生成的資源作為契機，將口算、簡算、估算等方法綜合地滲透在教學中，以培養學生快速判斷和靈活選擇方法的意識與能力。我們認為，首先，融各種計算方法為一體的計算教學是載體，它為培養學生靈活判斷和選擇的能力服務，為培養學生整體把握問題的能力服務。其次，融各種計算方法為一體的計算教學，為學生學會根據具體情境和條件進行判斷、并靈活選擇相應的計算方法提供了舞臺和發展的空間，使學生有意義的學習和靈活運用各種計算方法成為可能。這樣既可以使學生的思維得到主動地發展，又可以使計算教學的知識目標水到渠成地得到落實。 2、以數學知識創生和發展的過程作為育人資源 以往的數學教學比較重視數學知識的記憶與應用，教學中重演繹輕歸納，學生只知道記憶符號，疲于模仿與操練，卻不知道知識的來龍去脈。以數學知識創生和發展的過程作為育人資源，不但可以讓學生了解數學知識的來龍去脈，而且可以讓學生在學習過程中經歷和體驗數學知識的創生和發展的過程，感受數學的基本思想和方法，感受數學的抽象和力量，形成學習數學的內驅力，并逐漸建立起獨特的思維方式，這是其它學科無法替代的、惟有數學學科所獨有的教育價值。 要還數學知識創生和發展過程的本來面目，還需要通過將教材知識點按其被發現、發展的過程進行重組與加工，實現書本知識與數學知識創生和發展過程的溝通。 例如，中學數學幾何中關于“全等三角形的判定定理”的教學，傳統教材不是按照人們發現判定定理的過程來敘述的，而是把發現的結果（四個判定定理），按照一個課時教學一個定理一個例題一組練習的形式加以編排，并且以演繹的方式呈現在學生的面前。這樣的呈現方式，首先是容易導致學生死記硬背和機械的練習；其次是容易導致學生是為學習這些判定定理而存在的；更為重要的是，容易導致學生思維的壓抑和被動。因為它對學生的學習需要缺乏關注；對學生如何經歷與體驗全等三角形判定定理的發現過程缺乏關注；對學生如何進行有意義的學習缺乏關注。也就是對學生學習全等三角形判定定理的有機過程與價值缺乏思考和研究。 為了還全等三角形判定定理發現、發展過程的本來面目，我們在實驗中首先分析了學生已有的學習經驗，以及在學習中經常會出現的困惑和需要解決的前提性問題。如確定一個三角形至少需要幾個條件？全等三角形的判定定理中至少需要有幾個條件？三角形的邊與角按照三個條件的組合共有多少種？在諸多的組合中（共有六種）是否都能成為判定定理？等等。然后對教材內容按其被發現、發展的過程進行了重組與加工：在第一教時，著重讓學生從整體感知，了解全等三角形判定定理的來龍去脈，經歷觀察、發現、猜想、驗證、歸納和概括等數學活動，體驗全等三角形判定定理的形成過程，感受滲透其中的數學思想和數學方法，感受從偶然到必然、從特殊到一般的歸納發現的思維方式。在第二或第三教時，著重讓學生對判定條件進行快速判斷和對判定定理的靈活選擇，及掌握運用判定定理進行證明時的書寫格式。第一教時的教學設計，采用歸納發現的方式進行教學。首先，提出判定三角形全等的前提性問題，以激發學生的學習需要和求知欲望；接著，可以兩人合作的形式，選擇六種組合中的一至兩種組合進行猜想和實驗驗證；然后，全班交流，歸納概括，得出六種組合中的四種能夠成為判定定理的結論。在這里，其中的兩種不構成判定定理的組合，將成為學生形成正確認識的重要資源。 如果我們把全等三角形判定定理的教學，放到整個中學幾何的判定定理的知識結構中去，這樣的教學方式都能適用，并且，可以采用“長程兩段式”的教學策略，在中學幾何出現判定定理的一開始，以“教學結構”為主，后面的判定定理的學習就可以讓學生“運用結構”進行主動的思考、猜想和發現。我們認為，這樣教學對于學生發展的價值在于：不僅讓學生整體感知和了解判定定理的來龍去脈，形成有意義的認識，而且讓學生經歷和體驗判定定理的形成過程，感受數學的思想和方法。更為重要的是，學生掌握了判定定理的知識結構和學習方法結構，在以后的判定定理的學習時，就有了主動的猜想和類比的可能，這對學生主動的思維和形成主動的學習心態都是十分重要的。 在實驗中，我們不但從知識的角度，以數學整體和內在的知識結構、數學知識創生和發展的過程作為育人資源，而且還從人的角度，以數學發明與創造的人和歷史作為育人資源，以學習數學的學生的基礎和生活經驗作為育人資源。 3、以數學發明的人和歷史作為育人資源 在人類數學發展的歷史長河中，閃爍著一顆顆明亮的星星。遠，可以追溯到發現圓周率的祖沖之；近，可以聯想到蘇步青、陳景潤。許多國內的、國外的、大大小小的數學發明或創造，充分體現了前人的智慧。傳統的數學教科書雖然有提及，但大多只作介紹而已，以后人記憶或運用前人成果之方式來呈現，導致這些重要的育人資源成為被人遺忘的角落。數學教學需要對此進行深度的開發，實現書本知識與數學發明的人和歷史的溝通，亮出數學發明最智慧的部分，作為實現數學學科育人價值的豐富資源，使學生在經歷這些數學發明的“再創造”的過程中，感受智慧、實踐智慧、體現智慧。 例如，《圓周長的計算》的教學，以往教學的重點是運用祖沖之發現的圓周率來計算圓的周長。為了讓學生當一回祖沖之，經歷圓周率的“再發現”的過程，實驗教師提供了學生許多大小不同的圓片，讓學生研究圓周長與半徑、直徑的關系，學生經研究后有了許多各自的發現：有的學生發現圓周長是半徑的6倍多一點，圓周長是直徑的3倍多一點；有的學生發現半徑是圓周長的0.16倍，直徑是圓周長的0.3倍；有的學生發現圓周長是半徑與直徑和的2倍多一點；等等，在此基礎上，教師引導學生分析、比較、歸納、概括，將這眾多的發現最終歸結為一點：圓周長是直徑的3.14倍。在這樣的課堂，學生感受了、實踐了、并再現了祖沖之的智慧，教師為學生的潛力而驚訝，為學生的發現而驚喜，也感受到了教師職業的內在尊嚴與歡樂！ 又如，《厘米的認識》、《角的度量》的教學，以往都是將教學重點放在如何用直尺、量角器進行度量，卻忽視了直尺、量角器發明創造過程的價值，這些發明凝聚了前人智慧的結晶，如果把它們開發出來作為育人的豐富的資源，就可以使學生在經歷“再發明”的過程中，變得更智慧。 4、以學生的學習基礎和生活經驗作為育人資源 如果說樹立數學教學的整體結構觀尚且需要被認同和提倡的話，那么溝通書本知識與人的生活世界和兒童經驗世界的聯系現已經被廣大教師認同和大力地實踐。但是就筆者所見，比較多的情況是用“加法思維”的方式進行改革。即用“數學問題+生活情境”來實現聯系，以為只要在課堂上設置了“生活情境”（有時設置的“情境”在生活中并不存在）就是與生活世界相聯系了，忽視的是書本知識在日常生活中真實的意義，忽視了從生活情境中抽象出數學問題的過程體驗，這樣“溝通”常常顯得表面和牽強。 例如，在中學數學《解直角三角形的應用》的教學中，某教師為該教學內容制訂的教學目標是：通過教學進一步提高學生應用數學知識解決實際問題的能力。為了達成這一教學目標，該教師結合“生活實際”，創設問題情境如下： 某小區有兩幢建筑物，在甲建筑物上從A點到E點 掛了一條長為30米的宣傳條幅，在乙建筑物的頂部D點 測得條幅頂端A點的仰角為30°，測得條幅底端E點的 附角為20°，求甲、乙兩幢建筑物之間的水平距離BC （精確到0.1米）。教師期望的答案是運用解直角三角形的方法來求得兩幢建筑物之間的水平距離BC。學生知其意，也非常“配合”教師，作圖、添線構造直角三角形、利用直角三角形邊和角的關系計算，最終求得與教師期望相一致的答案。 我們知道，運用數學知識解決實際問題的基本原則是化繁為簡、化難為易。化隱為顯。在這里，化隱為顯是指揭示和顯現隱藏在日常生活情境中的數學問題或數學模型。求兩幢建筑物之間的距離確實是生活中的實際問題，但解決上述問題，完全可以用估測的方法，或者是直接測量的方法，根本不必借助建筑物的頂部某點與另一建筑物仰角、附角這一多余的轉換，來計算出兩幢建筑物之間的距離。顯然，教師這個“情景”的“創設”至少是生硬的，或者說是不完全的。但值得反思的是：為什么全班學生都按照教師設計的問題情境的思路，用解直角三角形這個復雜的辦法，來解決這一簡單的實際問題？為什么沒有一個學生對教師設計的這個問題提出質疑？從中我們至少可以看到：數學知識聯系生活實際一定要以真實、可能為前提，否則，會造成根本上的脫離實踐。另一方面，長期的圍繞知識點“教什么”、“練什么”的教學方式，已使學生的思維形成被動服從的定勢，往往習慣于按照知識點來思考解決問題的方法，表現出為解題而解題，很少思考問題的真實意義。這是在改革中要十分注意避免和改變的狀態。 真實的溝通需要教師以學生的學習基礎和生活經驗作為育人資源，研究和分析學生學習數學的困難和障礙，研究和分析學生已有的學習基礎和生活經驗，把數學教科書中間接的知識與學生直接的日常生活緊密的聯系起來，引導學生對生活中有關數學的現象、經驗進行總結和升華，使學生感受和經歷從社會生活背景中抽象出數學的過程，在感悟、體驗、抽象、提升的過程中，形成對數學的有意義的認識。 5、以開放的問題設計提升數學教學的育人質量 在開發和挖掘數學教學育人資源的基礎上，我們還通過開放的問題設計，促進學生資源的生成和教學過程的生成，在師生積極、有效互動的解決問題的過程中，提升數學教學的育人質量。 以小學數學的簡單平均數教學為例。我們不但認識到平均數是日常生活中進行比較的一種基本方法，而且充分估計到學生會利用已有經驗只求出總數就進行比較的可能，同時還對學生學習這一內容的困難與障礙進行了研究和分析。基于這幾點的認識和考慮，將教學這一內容時的“問題情境”創設為：四年級某班開展以環保教育為主題的綜合實踐活動，下表是三個小組的代表在三周內撿塑料袋的情況記錄。如果要作撿多少的比較，根據表中的信息和數據，你認為怎樣進行比較較為合理？ 四年級某班學生撿塑料袋情況記錄 組別 姓名 性別 第一周 第二周 第三周 第一組 小明 男 18
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26 22 第二組 小東 男 15 13 20 小亮 男 28 28 22 小剛 男 生病 27 29 第三組 小芳 女 17 23 29 小紅 女 32 21 28 這是一個開放度比較大的現實問題。在上述數據中，至少可以進行如下的比較：小組之間的比較，男女生之間的比較，學生與學生個人之間的比較，周與周之間的比較等等。 開放的問題設計，直接意圖在于：（1）在問題情境中設置了只求出總數是無法進行比較的障礙。一方面，學生每周撿塑料袋的個數不同，所以不能以每周的個數進行比較；另一方面，由于有學生生病缺席，所以又不能從總數進行比較。使學生不得不思考要用一種新方法來進行比較，從而激發學生解決問題的需要和求知的欲望；（2）在問題情境中設置了多種組合的比較。通過各種組合情況的平均數問題的解決，既可以讓學生在大量感性認識和體驗的基礎上，經歷從日常生活中歸納、提煉、抽象出平均數概念和數量關系的過程，使學生了解平均數是日常生活中進行比較的基本方法；又可以讓學生感受“總數”和“份數”隨著組合情況的變化而變化，使學生進一步認識和理解平均數數量關系的內涵，從而形成對平均數概念和數量關系的有意義的認識；（3）在問題情境中僅僅提供了原始數據，需要學生思考通過這些數據可以獲得哪些方面的信息。既可以讓學生感受和經歷分析數據、處理數據的過程，又可以讓學生了解平均數問題的結構，從而培養學生初步的分析數據、處理數據的能力。 開放的問題設計，在“新基礎教育”看來，更深層次的意義在于，提升學生思維水平的層次，繼而為實現學生主動地思維創造條件和提供可能。在數學教學中，學生思維水平的層次至少可以從以下幾個層面來提升®： 第一層面，以“量”和“速度”的方式來體現。“量”是指學生在解決問題時“想得多”，即學生解決問題的方案或結果多樣；“速度”是指學生解決問題快，速度快不僅與“熟練”有關，還與思路清晰有關。 第二層面，以“質”的方式來體現。“質”是指學生在解決問題時怎樣想“想得全”，即不重復、不遺漏、有規律地尋找解決問題的方案或全部結果。教師要引導學生在思考和尋找解決問題的方案或結果的同時，使學生的思維能夠有序化和條理化。 第三層面，以“結構化”的方式來體現。“結構化”就是把數學研究對象按其特征分門別類的進行歸納，概括出每一類別獨有的特點，揭示出各類別之間共有的特征。使學生對數學的認識由點狀向結構化提升。 第四層面，以“數學化”的方式來體現。“數學化”就是把數學研究對象的某些特征進行抽象，用數學語言、圖形或模式表達出來，建立數學模型。如人們用a+b=b+a 表示加法交換律，ab=ba 表示乘法交換律，都屬于數學化的工作。數學教學要盡可能的提供機會，讓學生經歷數學化的過程，使學生領悟到數學的抽象性，體驗到數學化工作的艱難。 目前的數學教學大多停留在第一層面上。而第二層面、第三層面、第四層面是更深層次的，尤其能夠體現數學教學獨特的價值，需要教師有意識的自覺的加以開發和挖掘。當我們沒有意識到這些層次存在的時候，它可被開發和挖掘的可能性就必然會被忽視和遺忘，而當我們認識到這些層次的存在的時候，其豐富的教育價值就有可能開發和體現。 開放的問題設計，又是教學過程能動態生成的重要條件。它使學生的基礎性資源有生成的可能；面對豐富的學生資源，教師會感到前所未有的挑戰，教師也正是在這種情景中，才會有運用和提升教育智慧的需要和可能。教師只有對學生生成的各種信息進行捕捉、判斷、綜合、重組、調整形成新的教學方案，才有可能使教學的過程不斷地得到生成和推進。而學生資源的生成和教學過程的生成，最終是為了學生思維水平層次的提升，實現學生的主動思維和主動發展。 總之，“教書”是為了“育人”，需要育人的資源。在“新基礎教育”看來，學校設置的每個學科的教學中都蘊含著豐富的育人資源，只要我們有意識的去開發和挖掘，就能發現豐富的育人資源的存在，從而實現學科教學獨特的育人價值。 [1] 掐頭去尾燒中段是指在數學教學中，只演繹知識點的例題的求解過程，及圍繞知識點進行大量的練習，而不講知識的來龍去脈。 參考文獻： ①②葉 瀾：重建課堂教學價值觀，教育研究，2002（5） ③吳亞萍：為什么而開放，小學數學教師，2002（11）
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