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在層次教學中培養學生的思維能力
“層次教學”能引導和幫助學生克服思維障礙，推動思維多層面逐步深入地發展，使知識和能力不斷升華．教師可根據知識結構的繁簡和理解程度的難易，把包含在知識和規律內的復雜和隱蔽的內涵，層層剝離，進行多層面的展開，逐級推進和激發，既使教學由表及里，深入清晰地揭示出整體知識的本質和內在的規律，又可訓練學生思維的廣闊性和深刻性． 一、數學概念和定理公式多層次的理解 數學概念和定理公式的教學是數學知識教學的重要組成部分，由于其本身的復雜性、抽象性，理解和掌握時可將其分解為多個層次，先一層一層地認識，理解每一層次表達的意思，然后再分析和綜合各層次間的內在聯系，使形成完整的易于掌握的知識成為學生思維的必然．例如，對“復數的三角形式ｚ＝ｒ（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）”的理解，首先通過觀察，可作出表層認識： 層次Ⅰ：復數ｚ的模為ｒ； 層次Ⅱ：復數ｚ的幅角為θ； 層次Ⅲ：ｒ的取值范圍ｒ≥０； 層次Ⅳ：θ的取值范圍０°≤θ＜３６０°． 在以上表層理解的基礎上，可進一步擴展思維，使理解進入更深的本質的層次： 層次Ⅴ：復數ｚ可表示成向量ｚ； 層次Ⅵ：ｒ即為向量ｚ的長度，故ｒ≥０； 層次Ⅶ：θ即為向量ｚ與ｘ軸正向的夾角； 層次Ⅷ：θ的取值決定向量ｚ所在的象限． 至此，通過層次教學，揭示了“復數三角表達式”的本質，達到全面而深刻地理解公式的目的． 二、問題和情境層次化的創設 思維膚淺的學生，只能領會到問題中元素之間的淺層關系；思維深刻的學生則能深入問題內部，透過表層，掌握其內部元素間的深層關系，從而把握住問題的關鍵和本質．因此，在問題教學中，應有意識地引導學生作全面、深入的層次結構分析，創設適宜的問題情境，這有利于提高學生的思維品質，促使問題解決． 例１觀察下表：１， ２，３，４， ３，４，５，６，７， ４，５，６，７，８，９，１０， …… 求第ｎ行各個數之和． 解本題的關鍵是深入分析上表的結構層次及數列的特點，從特殊的對象開始觀察，通過分析、比較和分層歸納，得出一般規律．為此，教師應著重處理好如下三個層次的教學，并創設具有啟發性的、逐層深入的問題情境． 層次Ⅰ：第ｎ行的第一個數是幾？ 問題情境：第ｎ行的第一個數與其所在的行數有何關系？ 學生通過觀察，容易得出，第ｎ行的第一個數與其所在的行數相同，即為ｎ． 層次Ⅱ：第ｎ行的最后一個數是幾？ 問題情境：第ｎ行的最后一個數與其所在的行數有何關系？ 學生通過前四行中每一行的最后一個數：１，４，７，１０，可進一步歸納求等差數列１，４，７，１０，……的第ｎ項為３ｎ－２，即為第ｎ行最后一個數． 層次Ⅲ：求第ｎ行各個數之和． 問題情境：第ｎ行數列有何性質？其首項、未項、項數各是幾？ 通過以上逐層分析，學生此時茅塞頓開，本題歸結為求以ｎ為首項，３ｎ－２為末項，公差為１的等差數列的前２ｎ－１項的和，即第ｎ行各數之和Ｓｎ＝ｎ＋３ｎ－２２×（３ｎ－２－ｎ＋１）＝（２ｎ－１）２． 問題和情境層次化的創設，能引導和幫助學生架起思維的“梯子”，促使思維不斷上“臺階”．一般來說，層次教學應符合以下要求： （１）要適合知識能力水平不同的學生．各問題之間的跨度要適當，即不能太小，限制了學生的思維；也不能太大，使學生一籌莫展，無所適從 （２）要體現學生思維的一般規律．如從感性到理性、從簡單到復雜、由低級到高級等． （３）要遵循數學思想、方法的要求．數學思想方法是數學的精髓，是構成數學知識、技能的筋骨，數學問題和情境層次化的創設要體現數學思想方法的實質． （４）問題和情境本身要富有啟發性．能引起學生的深入思考，盡量避免簡單形式化的肯定或否定回答． 三、綜合練習多層次變化 一般而言，綜合性愈強、知識跨度愈大的數學題，要求解題的思維層次愈高，對方法和技巧的掌握愈熟練，思維訓練的價值愈大，學生也愈難以理解，這就要求教師精心設計，根據問題進行多層次的變化，以減少坡度，順利地從未知向已知過渡． 例２已知ｚ１＝ｘ＋５＋ｙｉ，ｚ２＝ｘ－５＋ｙｉ，且ｘ，ｙ∈Ｒ，｜ｚ１｜＋｜ｚ２｜＝６，求ｆ（ｘ，ｙ）＝２ｘ－３ｙ的極值． 此題綜合性強，融復數、函數、極值于一題，集化歸、轉化、數形結合于一身，所以對不少學生構成較大的困難．教師在講解時，就應作適當變式，可分解為如下幾個層次來處理： 第一層變化：轉化條件．由已知得（ｘ＋５）２＋ｙ２＋（ｘ－５）２＋ｙ２＝６．① 揭示隱含關系：由方程①，知動點（ｘ，ｙ）的軌跡是以（－５，０）、（５，０）為焦點，長軸為６的橢圓，其方程為ｘ２９＋ｙ２４＝１． 第二層變化：變換原題敘述方式．原題變為：已知實數ｘ、ｙ滿足方程ｘ２９＋ｙ２４＝１，求ｆ（ｘ，ｙ）＝２ｘ－３ｙ的極值． 第三層變化：代數問題幾何化，直觀處理． 揭示深層關系：設ｍ＝２ｘ－３ｙ，有ｙ＝２３ｘ－ｍ３，此乃斜率為２３，縱截距為－ｍ３，且過橢圓ｘ２９＋ｙ２４＝１上的點的一束平行線，當直線與橢圓相切時，－ｍ３（從而就是ｍ）取極值． 計算求解：將３ｙ＝２ｘ－ｍ代入４ｘ２＋９ｙ２＝３６，并根據判別式Δ≥０，求得｜ｍ｜≤６２，即ｍｍａｘ＝６２，ｍｍｉｎ＝－６２． 綜合習題多層次變化，體現在引導學生審題、推理、探路、尋找最佳策略、展示解題過程、回顧評述、延續拓廣等各個環節，從各方面聯想、類比，培養學生思維的深刻性和創造性，使知識和能力不斷升華． 四、系統知識不同階段的層次要求 數學知識本身是一個多層次的結構系統，因此，理解和掌握知識應遵循由簡單到復雜、由具體到抽象、由低級到高級的認識順序，保證知識學習的系統性，這就必然存在知識在不同階段的層次要求問題．為此，教師應根據大綱和學習的不同時期和階段，設置相應的教學層次，提出適當的要求，并善于以知識促思維，使思維在知識的系統學習和不斷鞏固中向廣度知深度發展．根據知識學習和思維發展的關系，教學層次和要求要設置在學生的最近發展區．例如在“將復數的代數式化為三角式”這一節里的內容是學生力所能及的，如果讓學生解決問題，就不能簡單提“怎樣把復數的代數式化為三角式呢”這樣太抽象、太空洞的問題，如果換一種方式提問：“已知ａ和ｂ為不同時為零的實數，求ｒ和θ，使得ａ＋ｂｉ＝ｒ·（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）（ｒ＞０，０≤θ≤２π）”，則屬于學生思維的最近發展區．學生通過認真思索，最終能達到“跳一跳能摘到果子”的目的． 總之，數學思維能力的形成必須是依靠數學知識基礎上的發展運動．數學思維的教學應從學生的思維潛在水平開始，通過教學把潛在水平轉化為新的現有水平，在新的現有水平基礎上，又出現新的思維潛在水平，并形成新的思維最近發展區，于是教學又從新的思維潛在水平開始……，這種循環往復、不斷轉化和思維發展區層次逐步推動的過程，就是學生不斷積累知識和推動數學思維向前發展的過程．因此，教學的真正意義就在于善于發現并及時捕捉到各個發展階段和層次的“教學最佳期”，給學生的數學學習方法及思維途徑以針對性的有效的指導．
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