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取之規律 用之創造--《幾何畫板》教學方法研討
取之規律 用之創造--《幾何畫板》教學方法研討
[內容摘要] 在信息技術課中開設《幾何畫板》的選修活動課程，其教學目標是：用任務驅動教學，激活大腦，激發興趣，激起靈感，構建問題，探討規律，設計實驗，勇于創造。在任務的驅動下，全身心地投入到對問題的求解上，通過認識、實踐的不斷變化過程中，悟出規律，構建模型，掌握創造性思維方法。打破定勢思維，讓觸角伸向四面八方，從數學知識中要方法，要規律，要模型。啟發學生發散思維。為學生創設了一個培養創新精神和實踐能力的環境。在鍥而不舍的探求中解決問題，引發創新的線索。
[關鍵詞] 幾何畫板任務驅動探討規律構建模型發散思維創新精神 《幾何畫板》作為電子尺規，是研究幾何圖形的關系，動態地觀察幾何圖形運動狀態，探索數學信息的有力工具。是一個很適合用于幾何教學和學習的工具軟件平臺，同時又以CAI創作工具的形式出現，應用于代數、立體幾何、解析立體幾何、物理等其它學科的教學和學習中。在信息技術課中開設《幾何畫板》的選修活動課程，其教學目標是：用任務驅動教學，發揮學生的能動性，構建問題，探討規律，發現特點，設計實驗，勇于創造。
1. 熟，能，生巧
進入幾何畫板，打開幾何世界之窗。教會學生用電子尺規工具熟練地作基本的幾何圖形。并能運用幾何關系完成相對位置關系的幾何圖形，例如布置學生完成"作平行線族"，"從圓外一點向圓引切線"，"最少的步驟作一正方形"，見圖1，讓學生結合數學知識，充分發揮自己的想象力，在短時間內，盡可能多地運用畫板中提供的功能，完成好課堂作業。幾個簡單的幾何圖形猶如一枚石子，在學生平靜的心湖激起層層創造性思維的漣漪。有人巧妙地應用標識向量和平移實現"可控的"平行線族；運用兩次的旋轉變換作出了準確的正方形；連接圓心與圓外的一點的線段為直徑作輔助圓，兩圓交點即是所求的切點。以此類的例子作為授課的線索，拉開幾何畫板基本操作學習的序幕，旨在激活大腦，激發興趣，激起靈感。
2. 任務驅動，尋求規律
在學生充分感知、興趣盎然之時，為學生提供有代表性、規律性、創造性的范例，來誘發學生的觀察力、判斷力、想象力，使學生在任務的驅動下，全身心地投入到對問題的求解上，通過認識、實踐的不斷變化過程中，悟出規律，構建模型，解決問題，掌握創造性思維方法。
(1) 從實踐認識中摸索規律
任務一：模擬"活塞運動"過程。
作如圖2所示的模型（容易想到），但讓它運動起來無論如何都不是"活塞運動"過程，而是l的伸縮運動。怎么辦？通過反復的實踐比較，學生們會摸索出讓定線段l運動的規律，作出如圖3的模型。
往下的任務是對圖3進行加工美化，使之逼真地模擬"活塞運動"過程。
(2) 從數學知識中悟出規律
任務二：以參數p，作y2=2px的拋物線軌跡。
完成任務二可以給定p的實數值，通過測算變換畫出拋物線來，那是真正意義上"畫" 拋物線了，對拋物線幾何性質的學習研究用處不大。這里要引導學生對拋物線定義和幾何性質的鉆研，因勢利導，引發學生的創造性思維，悟出拋物線點運動的規律。作出如圖4的模型。
從拋物線的定義知，焦點F與準線l的距離相等的點M的軌跡。這就是我們作拋物線的依據，同時從中垂線上點到線段兩端點的距離相等中得到啟發，于是之，作拋物線的步驟歸結如下：
●在準線l上任取一點K，連結F ●作線段KF的中垂線 ●過K作X軸的平行線交中垂線于M
跟蹤M點，當K點在l上往復運動，M點軌跡即為拋物線。拖動F點，改變參數p，觀察拋物線形狀，準線的位置。
獲得的啟示：要盡可能打破由方程做軌跡的定勢思維，讓觸角伸向四面八方，從數學知識中要方法，要規律，要模型。啟發學生發散思維。
3) 從發散思維中總結規律
任務三：作一定長的線段l的兩端點在坐標軸上滑動過程的軌跡。
如圖5，讓定長的線段l的兩端點在坐標軸上自由地滑動，也不是一件容易的事。指導學生求異、求新、發散思維，進行多角度聯想，充分借用已有知識與技巧，獨辟蹊徑，構造線段滑動變換的運動模型。使發散性思維的成果熠熠生輝。構思巧妙，耐人尋味。
圖6的模型形成：以O為圓心，l為半徑作輔助圓；在輔助圓上任取一點p，過p分別向兩坐標軸引垂線，交Y軸于M，交X軸于N。易證MN恒等于l的長度。這樣點p繞輔助圓運動，而線段l就在坐標軸上自由地滑動。
學生在發散思維的誘導下，輕輕松松總結出運動規律，可真謂"四兩撥千斤"。通過多層次的刺激，激發學生積極地思維，創造性地思維，使學生創造思維能力不斷躍上一個個新的臺階。
3.發揮創造力的想象空間
《幾何畫板》為學生活用數學思想和方法創設了一個培養創新精神和實踐能力的環境。它注重的是動態觀察和分折計算，在鍥而不舍的探求中解決問題，引發創新的線索。
例題：在直線l：y=x+3的上取一點P，過點P且以雙曲線12x2-4y2=3的焦點為焦點作橢圓，求橢圓長軸長的最小值及此時P點的坐標與橢圓方程。
通過幾何畫板解決這個問題，在探索性的教與學的過程中，發現創新的命題和成果。在求得橢圓的兩焦點為F1（-1，0），F2（1，0），探索P點在直線l:y=x+3上，做出長軸長2a的動態橢圓且求出長軸長2a的最小值。
具體步驟如下：
（1）建立坐標軸，畫出兩焦點F1（-1，0），F2（1，0）以及直線l：y=x+3上的任一點P。 （2）畫線段PF1和PF2以P為圓心，線段PF1長為半徑畫圓交PF2的延長線于F3則PF3=2a。 （3）以F1、F2為焦點，長軸長F2F3=2a畫橢圓： ●以F1為圓心，F2F3=2a為半徑畫圓； ●在所作的圓上任取一點Q，連接QF1，如圖7； ●連接QF2，做QF2的中垂線，交QF1于N，如圖8；
圖7圖8
隨著Q在圓上運動，N點軌跡就是橢圓，如圖9（隱藏一些輔助線）。
（4）如圖10，拖動P點，觀察橢圓的變化，當l：y=x+3與橢圓相切于P0時，P0點即是最值點。于是，以直線l：y=x+3為標識鏡面，做F1反射點F1'，連結F1'F2交直線l于P0點，連結P F1'，則P F1'＝P F1，于是有：
2a = |PF1| + |PF2 = | P F1'| + |PF2| ≥ | F1'F2|
圖9圖10
同學們在構造橢圓的方法是很巧妙的,但同學們沒有停留在構造橢圓上,而是通過改變決定橢圓形狀的參數，非常直觀、形象地了解這個圖形系統對軌跡（橢圓）的影響，發現其中的幾何關系,靠實驗觀察和邏輯推理相結合去歸納總結，逐步向目標狀態（問題的解決）逼近。使對數學問題的探討,通過實驗、觀察、歸納的方法去解決，起到事倍功半的作用。
《幾何畫板》提供了一個全新的學習數學的學習環境，學生在感性認識的基礎上，調動了學習的主動性、提高了動手能力，培養了學習的探索與創造的能力。
[參考文獻]
《幾何畫板》潘懋德
[作者簡介] 陳 光 男 師大數學本科畢業中學高級教師 福建省中青年學科帶頭人
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