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CAI與中學數學教育
教育，教化培育，以現有的經驗、學識推敲于人，為其解釋各種現象、問題或行為，其根本，是以人的一種相對成熟或理性的思維來認知對待，以下是小編為大家整理的CAI與中學數學教育，希望能夠幫助到大家。
CAI與中學數學教育 篇1
摘要：進入二十一世紀，人們深刻感受到信息社會對我們的沖擊！社會在發展，時代在前進，教育的內容、方式也必須跟著改變。計算機輔助教學作為一種新型的教育技術，已經在我國部分中小學的教學中實施，并在不斷推廣，作為學校的現代化教育工程一項不可缺少的內容，正日益受到人們的關注和重視。作為中學重要學科的數學，與CAI有著必然的聯系，CAI的優勢、CAI應如何輔、輔在何處，這一直是人們討論的問題，本文從一些側面進行了討論，提出了一些想法。
一、背景：數學教育的實質與CAI的發展
我們正面臨深刻的變革。歷史上，技術從來沒有象今天這樣能施展它的魔力，如此迅速而廣泛地改變著社會。以計算機和通訊為代表的信息技術似乎縮短了“未來”與“現實”的距離，進入二十一世紀，人們深刻感受到信息社會對我們的沖擊！社會在發展，時代在前進，教育的內容、方式也必須跟著改變。計算機輔助教學（CAI——Computer Assisted Instruction）作為一種新型的教育技術，已經在我國部分中小學的教學中實施，并在不斷推廣，作為學校的現代化教育工程一項不可缺少的內容，正日益受到人們的關注和重視。作為中學重要學科的數學，與CAI有著必然的聯系，CAI的優勢、CAI應如何輔、輔在何處，這一直是人們討論的問題，同時也是本文的背景。
長期以來，數學科學作為一種嚴謹系統的演繹科學，以具有高度抽象的思維活動，而被稱之為科學的王冠，披上一層神秘的面紗。受這一理念的影響，傳統數學教學形成了“教師講授、模仿練習、強化記憶、測驗講評”的模式，學生只能被動地聽教師講授現成的數學，最后就形成了“掐頭去尾燒中段”的現象，數學知識的形成過程被淡化，探究數學知識發展的進程被終止。與此同時，由于學生聽到的是別人數學思維的結果，而很少有經過自己數學活動獲得的親身感受，于是數學的抽象和嚴謹成了他們學習的最大障礙。
著名數學教育家喬治波利亞指出：“數學有兩個側面，一方面是歐幾里得式的嚴謹科學，從這個方面來看，數學像是一門系統的演繹科學；但是另一方面，在創造過程中的數學更像是一門實驗性的歸納科學。”由此看來，數學科學不光有嚴謹推理的一面，還應有猜測、實驗、歸納驗證的一面，這一認識恰好是傳統數學教學模式所忽略的。CAI從本世紀中旬誕生以來，以普萊西的機器教學理論、斯金納的程序教學理論和當代認知學習理論為主要理論，以“數學實驗”為主要手段，借助計算機，改變學生與學習對象的關系，使學習由被動的接受轉變為積極進取的獲得，使認知從知識形成到知識的發展都展示在學生的學習過程中，促進認知的全面完成。與此同時，改變教師的教學角色，使教師從大量的知識傳授中解放出來，教師將會有更多的精力投入和轉移到對學生發展上的考慮，對于學生的感情世界、興趣愛好、人格成長，可以給予更多的關注和影響，促使教師的作用升華到更高境界。CAI這一現代的信息傳輸工具，降低了認知的難度，增加了學生“直接知識”的存儲量，提高了知識鞏固的效果及靈活運用知識的能力。同時它可以給學生的學習創造良好的環境，允許學生根據自己的實際情況自主學習，從根本上解決傳統數學教學的“滿堂灌”和“齊步走”等弊端。它還可以使學生“參與”到數學學習中，增加學生的學習時間，提高學習數學的興趣，全面提高教學質量和教學成績。
1958年美國IBM公司研制成功世界上第一個計算機輔助教學系統，開始了對輔助數學教學的研究。先后經歷了大型CAI項目，利用微型計算機輔助教學的效果，利用多媒體技術和遠程通訊、互聯網絡輔助教學的效果等一系列實驗研究。從學生的學業成績、學習的保持和速度、學習的態度、解決問題的能力等多視角研究、實驗、對比，形成了不同的流派和不同的觀點，最終是肯定了CAI對中學數學教學是有益的，是有促進的。在國內，1980年華東師大現代教育研究所CAI研究中心成立，拉開了我國CAI研究的序幕，短短十幾年的時間，從分散的、作坊式的、無組織的自生自滅狀態，發展到今天有各極實驗研究課題，有實驗學校，有軟硬件開發機構等規范化的、生氣勃勃的局面，取得了長足的發展。特別是九十年代，一大批如《幾何畫板》、《MATHCAD》、《OFFICE》、《AUTHORWARE》、《WINDOWS》、《數學實驗室》等軟件平臺的引入和開發，使得其邁上了一個新的臺階。
但是，與此同時我們還必須清楚的看到，受傳統觀念的影響，以及地區差異、經濟發展等各種客觀條件的影響，該項研究還很不盡人意，甚至不少地方還只停留在公開課、演示課和示范課上的一種表演層次，面對新世紀對學生成才的要求，面對實施素質教育的緊迫任務，我們有必要把這項研究進行下去，以期取得突破性的成果。
二、計算機輔助數學教學的優勢
1、CAI可創設生動活潑的課堂教學氛圍，激發學習興趣
CAI具有鮮艷和生動的圖像，動靜結合的畫面和智能性的啟發誘導功能，能使呈現的教學內容形象生動，富有感染力，使學生在學習過程中的注意力﹑情感﹑興趣等心理因 素保持良好狀態，認知心理能得到充分發展。在數學教學中，學生接觸的是抽象的數學符號和呆板的圖形，僅憑教師的講解或是輔助單調的手勢，教學手段枯燥，難以啟發學生的思維積極性和激發他們的求知欲。利用計算機輔助教學，同樣的數學運算和幾何圖形，通過動畫形式表現出來，再配上優美的背景音樂，會使枯燥的學習變得輕松愉快，把學生的認識過程﹑情感過程﹑意志過程統一于教學之中，有效地激發學生學習數學的興趣。
2、CAI可使學生通過多種感官獲取知識，增強理解和記憶
數學知識的抽象性，決定了學生對其理解﹑鞏固﹑應用的難度。計算機的輔助數學教學，憑借形聲教材產生的直動﹑生動﹑形象﹑即時等聲像效應，能刺激﹑感染和吸引學生，使他們在數學的學習中獲得較為深刻的感性認識，從而更好理解和記憶所學內容。據心理學研究表明，如果僅憑聽覺，能識記知識的10%左右；僅憑視覺，能識記知識的70%左右；把視﹑聽覺協調并用，能識記知識的90%左右。恰當地利用計算機輔助數學教學，可以為學生提供多種感官獲取數學知識的環境，達到對數學知識的強化記憶和理解。
3、CAI可提高數學課堂教學效率，增強學生素質
計算機輔助數學教學，以屏幕代替黑板，節省了畫圖和書寫的時間。由于屏幕語言簡潔精練，體現了CAI課堂教學的規范性和科學性，而且CAI課堂教學包括“教” ﹑“學” ﹑“練”三部分，體現了課堂教學的整體性。由此增大了教學密度，提高了課堂教學效率。利用CAI的交互性，通過人機對話形式，改變了一味灌輸知識的被動學習狀態，學生能發揮學習的主動性和靈活性。同時，計算機輔助數學教學，有利于激發學生的非智力因素。非智力因素對學生的學習具有導向﹑動力﹑強化等作用，因此它是推動學生學習的動力系統。計算機輔助數學教學能創設情景，引發動機；提供事實，顯示過程；強化刺激，加強注意；歸納知識，增強記憶；等等。一個班的學生學習數學知識的智力因素有一定差異，教師根據學生的知識基礎和學習能力，利用CAI 教學進行因材施教，就會縮小學生接受數學知識的差異，使學生的整體素質得到提高。
4、CAI教學的演示，可實出重點，化難為易
數學的抽象性決定了很多知識僅靠講授或在黑板上畫出呆板的圖形，很難讓學生迅速理解和記憶。而針對數學內容的特點，制作CAI課件，利用計算機輔助教學，通過著色演示﹑圖形拼接演示或局部放大演示等手段，可突出講授的重點，讓學生清晰透徹地觀察明白，從而實現難解化易﹑復雜化簡的教學過程。例如在講授行列式這一章時，其概念教學是難點，計算方法是重點，為突出教學的重點和突破教學的難點，通過CAI教學，給行列式不同行不同列的元素著色并加以演示，很快使學生看清楚行列中有多少個不同行不同列的元素組，可迅速理解其定義。為講解行列式計算方法的拉普斯定理，利用課件按選定的元素所在的行和列進行分塊再拼接，可以清楚地演示出子式和余子式的關系，迅速給出其證明，使教學重點突出，化為難易。
5、CAI營造的空間氛圍，有利于學生建立數學空間概念
傳統教學手段，如掛圖﹑實物模型等，在數學教學中起到了一定的直觀教學作用。但在立體幾何的教學中，掛圖和實物模式型卻難以演示，很難讓學生建立起空間概念。如一個幾何體內部的線面關系，靠掛圖和實物模型就難以描述清楚，而計算機輔助教學，通過制作相應的課件，既能給出空間圖形，又能較好地演示空間物體的內部結構。這對學生增強立體感﹑建立空間概念﹑建立空間想像能力，起到了傳統教學手段無法實現的教學效果。
6、CAI可描述圖形動態形成過程，有利于化抽象為具體
在數學教學中，學生只知道結果，不了解結果的形成過程，就不能從根本上學懂數學知識，記憶也不會深刻。借助計算機輔助教學，能使圖像鮮明﹑生動，由表及里地描述其動態的形成過程，使學生從根本上理解和記憶所學知識。如講橢圓﹑雙曲線和拋物線的概念，利用計算機可以清楚地描繪符合條件的動點軌跡的形成過程。又如講直紋面，可以演示直線動態形成曲面的過程，把過去的理論敘述和靠頭腦想像的抽象知識，轉化為活生生的動畫圖像，就使得難以理解和想像的知識具體化﹑形象化，使教學收到事半功倍的效果。
三、關于計算機輔助數學教學的一些思考
當前傳統的數學教育面臨巨大的困難。從教學內容看，幾十年不變，內容陳舊；從教學方法看，大部分數學課堂沒有擺脫以教師傳授為主的注入式，數學課難以喚起學生的積極性；從教學對象看，數學教育并沒有做到面向全體學生,真正的“因才施教”至今還難以實現；從教學目標看，決大部分精力還放在應付考試的單純解題訓練上，數學知識的形成過程被淹沒了，數學與實際的生動聯系不見了；從教學模式看，基本上還是教師講學生聽的“一刀切”的班級授課，學生被動學習的局面沒有改變，缺少必要的“個別化”教學與學生彼此之間的交流，學生的課堂參與是極其有限的；從教學評估看，大部分是憑經驗“摸著石頭過河”，難于及時準確地了解教學信息，因而我們的教學策略難以保證有很強的針對性；從教學手段看，沒有擺脫“粉筆加黑板”的束縛，計算與畫圖還是傳統的手工方式，教師的工作基本上還屬于個體的手工業勞動。數學不僅是學生的沉重負擔，也是教師的沉重負擔，綜上所述，傳統的數學教育在喘息，陳舊的內容，陳舊的方法，陳舊的觀念，缺乏生氣的課堂，事倍功半的效果，傳統教學似乎使出了全身的氣力，卻仍不能滿足數學化時代的需求。
人們認為：把計算機引入教育將帶來深刻而廣泛的的影響，它不單會影響到教學內容的變化，而且將引發教學方法、教學模式、教學觀念等等一系列的變革。人們看中了計算機能將文字、圖形、動畫和聲音有機地編排在一切，從而激發學生的興趣，增強學習的積極性；人們看中了計算機能給學生提供更多動手的機會，特別是計算機的人機交互功能，為實現教學的“個別化”創設了理想的環境。對數學教學而言，特別令人欣賞的是計算機的快速計算本領與絕妙的處理圖形的能力，人們斷定計算機將能迅速改變數學教學的面貌。然而從CAI興起至今，人們期望看到的奇跡還沒有發生，借助于計算機促進數學教學改革的進程相當艱難。
一個大問題是教學軟件。市場上號稱“電腦教師”的教育軟件多半是課本搬家式的'電子書或變換方式的習題集。這類教育軟件使人們對CAI 產生了懷疑：“原來這就是CAI 呀!看來與其用這類軟件還不如認真地看看書，更不如聽有經驗的教師講課�！彼^“電腦教師”還是不如真正的教師，計算機還是難以進入課堂。于是教師只好親自參與開發軟件，由于教師遠比一般的計算機工程師熟悉教學、了解學生心理，所以這類軟件可以在教學中發揮一定作用。但問題又來了，那就是開發效率太低，一節課用的軟件需要幾十個小時開發，誰都難以長期堅持下來。加之每一個軟件都體現了開發者的個性，在當前每一位教師都要在課堂上展現自己個性的情況下，教學軟件難以推廣。于是各地都在開發大都只在自己的教學中應用的屬于自己的軟件。面臨以上困難，多數教師不愿做吃力不討好的事，還是鐘情于粉筆與黑板。同時，低水平的重復開發又引來對CAI的種種非議：用大量的人力物力搞CAI是否值得？在現時條件下CAI到底能給教學改革注入多大的活力？
在借助于CAI促進各學科的教學改革中，數學大概是最困難的學科，引起的爭論也最大，首先是怎樣激發學生的學習興趣？借助于多媒體技術，英語、生物，地理等學科的教學軟件可以做得圖文并茂、有聲有色，但數學卻不能，因為數學是需要進行進行思維訓練的，不僅依靠課件表面的生動難于激發學生持久的學習熱情，而且也難于達到數學教學的目的。一個尖銳的問題是:在數學教學中引入CAI 是有助于學生的思考呢，還是相反？有些人擔心過分依賴計算機將導致學生相應能力的萎縮。這種擔心并不是杞人憂天，一些西方國家孩子當前數學能力的下降似乎與濫用計算機技術有關。事實上，現代數學技術的發展不僅使數字計算變得輕而易舉，而且一個復雜的方程求解、一個方程曲線或函數圖象的繪制，一個積分或矩陣的運算，都只需輕輕一按鍵盤，一切結果頃刻會在電腦屏幕上顯示出來。這種“描述”數學結論式的數學對數學教育是巨大的挑戰。它有助于概念的理解嗎？有助于問題的求解嗎？有助于學生數學能力的提高嗎？甚至數學教育的必要與目的性都受到懷疑，學生會問：有了計算機還學數學干什么？教師會問：有了計算機數學還教什么？數學教育的本質究竟是什么？但是計算機的洶涌浪潮卻勢不可擋，誰也欄不住的。當計算機進入千家萬戶之后，連學生玩電腦游戲軟件我們都看不住，誰又能禁止他利用數學軟件完成數學作業呢？看來，既不能對計算機持反對態度，也不能對它持無可奈何的消極態度，積極的對策是更新觀念，認真研究一下有了計算機教學內容、教學方法、教學模式應該有哪些變化，研究數學CAI的理論和原則，考慮在現代教育技術支持下什么是理想的數學教育。
討論什么是理想的數學CAI，首先要討論什么是理想的數學教學，要討論計算機以外的因素。這就必須考慮數學的學科特點，考慮不同學生學習數學的心理特征，還要考慮數學技術飛速發展的未來社會對人的數學素質的需求，然后再回過來討論CAI軟件的設計思想與使用原則。這當然是一個復雜的問題，很難在一篇文章中討論清楚。但我們以為至少以下原則是肯定的：
1、啟發性
啟發性是數學教學的靈魂，因為歸根結底數學是人類一種高度的精神活動。美國著名數學家柯朗 （R Courant）在《數學是什么》一書中指出，“數學，作為人類思維的表達形式，反映了人們積極進取的意志，縝密周詳的推理以及對完美境界的追求。它的基本要求是：邏輯和直觀，分析和構造，一般性與個別性。雖然不同傳統可以強調不同的側面，然而這些互相對立的力量的相互作用以及它們綜合起來的努力才構成數學科學的生命、用途和繁高價值。”因而數學教學決不能只告訴學生現成的數學結論，或讓他們死記公式定理法則。歷史上，數學的每一步前進都是以數學家付出的艱難探索為代價的，有些成果甚至是上百年幾代數學家心血的積累。今天要在很短的時間里讓學生理解它們，不啟發他們運用自己的智力認真思考怎么能行？在這個意義上講，數學教師的責任在于再創造，在于提出深入淺出循循善誘的問題、設計最佳的教學情景與活動，讓學生通過自己的思考去獲得知識。
在傳統教學中啟發式談了幾十年，至今并沒有很好的解決，現在在數學教學中引入CAI 情況又怎樣呢？應該說大量死板的課本搬家式的軟件使人擔憂，如果說多數傳統的數學課堂缺少啟發式，那么這類軟件就根本沒有啟發式。所謂講解就是在屏幕上顯示出有關的概念、定理、公式，不談他們的來源和用場，不談知識的內在聯系和發展，更不談最值得領悟的數學思想和方法。所謂練習就是在屏幕上顯示出答案，有的甚至連必要的過程都沒有，對于判斷選擇題或一類簡單的填空題，計算機倒是有些交互功能，但反饋信息卻談不上任何啟發性。試想：當學生答對時屏幕顯示出“對了，你真聰明!”，當學生答錯時屏幕顯示“真遺憾，你沒答對，請再加油想想�！比藗冞@時對CAI 會怎么看呢？是否與傳統教學相比，計算機更不利于表現啟發式的教學呢？是否對表現以抽象與嚴謹為特征的數學，不是計算機的特長甚至是它的特短呢？
我們認為對數學CAI持如此悲觀的看法是不必要的。實踐表明，計算機在這方面不是無能為力而是大有潛力的。近年來我們在教學中引入《數列的極限》、《周期函數與周期函數的周期》、《正方體的截面》等教學軟件，都較之傳統教學更富于啟發性。過去對這些傳統教學的難點，教師常感到力不從心，而現在通過精心設計的數學CAI，教學更多成為學生自己思考探索的過程，計算機縮短了抽象嚴謹的數學與學生認知水平之間的距離。于是新的課題出現了。過去探討如何在粉筆加黑板的班級教學條件下設計啟發式的數學教學，現在則需要考慮如何在計算機技術的支持下設計出比傳統教學更富于啟發性的教學、
2、針對性
有的放矢的教學對所有學科都是重要的，但對數學教學的重要性就尤其突出。由于數學知識的內部聯系密切，環環相扣，系統性強，某一學習環節的障礙，往往造成下一階段學習的困難，因而學生一旦在數學學習上掉隊往往很難補上。數學學習心理學認為：數學學習并非一個被動的接收過程，而是學習者以自己原有的知識和經驗為基礎的主動建構過程。如此說來數學教學必須考慮每一個學習者原有的知識和經驗，只有這樣才談得上教學的針對性，也才談得上有意義的教學。
在傳統教學中教學的針對性解決得如何呢？實踐表明，當前在以教師為中心的班級授課的條件下，這個問題是難于解決的。由于教師在課堂上只能用統一的節奏，同樣的策略，面對全班學生，更多地只能考慮共性，難于照顧個性。而每個學生原有的基礎知識與經驗不同、思維有快有慢，教師在課堂上不可能做到針對每一個學生。
在數學教學中引入CAI 情況有了一些變化。在我們的實踐中，學生一人一機或兩人一機利用教學軟件學習，他們可以利用鍵盤或鼠標控制學習節奏，還能通過菜單選擇他們需要的內容或幫助信息，這在一定程度上增強了教學的針對性。然而利用數學CAI 軟件學習，教學針對性的問題并沒有完全解決，并且在許多情況下電腦還不如教師。有經驗的教師的最大的特長是能夠隨機應變因勢利導，他可以提出恰當的問題及時了解學生的掌握程度，在得到學生的反饋信息之后，他們能馬上變換教學策略，幾句話講到點子上，使學生茅塞頓開。教學軟件要有針對性，就要求設計者必須設身處地地設想電腦在和學生面對面地交談，學生看到電腦的每一屏他可能怎么想，下一步屏幕上又該顯示怎樣的具有啟發性的文字或圖象，這對軟件設計的要求是很高的。所謂智能化的軟件應該是能對不同的學生適時改變教學策略的軟件，這樣的軟件或許可稱得上是“電腦教師”了，遺憾的是當前市場上的“電腦教師”名不符實，至今還沒有看到真正智能性的軟件。其實要求教學軟件具有和教師一樣的靈活的智能性，本身就不現實。可以肯定，設計智能化的“電腦教師”要比設計與國際象棋大師對弈的“深蘭”不知要困難多少個數量級。我們以為正確的思路是并非讓計算機代替教師，而是充當教師的得力助手，這樣計算機就大有可為了。例如能否考慮幾種主要的學生類型，根據他們的不同學習心理設計針對性較強的教學軟件；能否考慮把數學CAI與傳統教學結合起來做到優勢互補；能否考慮利用網絡技術加強學與教的及時交互等等。
3、學生的主動參與程度
學生是學習的主體，數學學習中的概念理解與問題求解，哪一樣也離不開學生的主動參與。然而在以教師為中心的傳統課堂上，學生的參與是有限的。在數學研究中，數學家在“做”數學，在數學教學中，學生在聽數學，這兩者有本值的區別。美國的數學家對傳統教學提出了疑問：“我們現在所教授的是我們正在做的那種數學嗎？”討論這個問題是有積極意義的。它不僅涉及到傳統的傳授數學知識的方式是否有效，是否能調動學生數學學習的主動性與積極性，還涉及到數學教學能否有助于建立學生正確的數學觀并增強他們學習數學的自信心。我們認為現在數學課堂教學評價的一個誤區是：衡量數學課的質量更多看中的是教師的表演，而不是學生自身的參與。
把CAI 引入數學課以后情況發生變化了嗎？從目前的情況看，基本上沒有變。大多數課堂上，計算機的作用只相當與一個放相機輔助教師講解演示，計算機所特有的交互性沒有發揮作用。學生還是看著大屏幕聽教師講，教師為中心的傳統教學模式沒有改變。值得注意的是現在各地正在投入大量的人力物力開發這類軟件。比課本搬家式的軟件略有進步的只是增加了一些動畫，有的還插進教師講課的片斷，細想起來這類軟件完全可以用錄相片替代的。
看來數學教學軟件的設計必須要考慮教學模式，計算機僅僅是幫助教師講解演示呢，還是可以用來支持數學教學的個別化，或利于促進小組討論式的協作學習？近年來我們進行了這方面的探索，開發了一些這樣的軟件，如“反三角函數的概念與性質”，“異面直線的概念”，“異面直線的角和距離”等等。學生可以利用軟件一人一機或兩人一機，邊看屏幕、邊敲鍵盤、還可以對照屏幕演算推導、閱讀課本、相互討論、向教師質疑。實踐表明學生的主動性極大地增強了，這在一定程度上實現了由聽數學到做數學的轉變。但還有許多問題沒有解決。例如怎樣看待學生的參與。是否學生的參與只限于在計算機上作題，事實上學生在計算機上完成選擇題與填空題是方便的，而完成解答題就很困難，姑且不談證明題的思路設計，就是數學表達式的輸入就存在嚴重的障礙。計算機并不利于學生的筆頭及口頭表達與相互交流，而這些利用傳統教學的紙和黑板倒更方便，例如，課堂的集體討論更容易創設口頭交流的活躍氣氛。那么學生的哪些活動適宜在計算機上進行，哪些宜于離開計算機？支持學生積極參與的軟件又如何設計，如何使用？數學CAI與傳統教學如何配合？再一個現實問題是開發教學軟件的效率，能否利用現成的工具投入很少的時間同樣能組織學生積極參與的數學活動呢？只有這樣廣大教師才能夠接受計算機，數學CAI也才能真正促進數學教學的改革。我們認為估價計算機對數學教改的作用，不應局限于一節課、一個課件，而應從整體出發進行教學設計。最近把“幾何畫板”及“mathcad”引入教學的實驗給了我們很大的鼓舞，我們堅信計算機能帶來數學教學模式的深刻變革，學生能夠從被動接收的學習方式變成主動的發現和探索知識。
綜上所述，計算機能給數學教改注入強勁的活力，但計算機技術不是關鍵的因素，起決定作用的還是教師，是信息時代數學教師的教育觀念。實踐呼喚理論，過去多年傳統教學形成的的數學教學法，數學教育觀顯然不能圓滿地解答現在涌現的許多新問題了，時代需要我們探索和發展數學教育的新理論。
四、對當前數學教改幾個熱點問題的意見
以下我們將探討，在提供現代教育技術支持的條件下，當前數學教改的幾個具體問題。它們是：(1)計算機對幾何教改的影響。(2)計算機與數學概念教學。(3)計算機與問題求解。(4)計算機對教學模式的影響。
1、計算機對幾何教改的影響
幾何多年來是教學的難點，也是數學教改的熱點，核心是對歐幾里得幾何如何改造。這個問題牽動了許多數學家和數學教育家。“新”數運動中，作為布爾巴基學派領袖的法國數學家丟東涅(J. A. Dieudonne)曾提出“歐幾里得”滾蛋的口號。而另一位著名數學家R. 托姆(R.Thom)則認為歐氏幾何是把二維、三維空間的過程轉述為書面語言的第一個例子；幾何思維是人類理性活動的正常發展中不可省略的階段。經過十多年，“新”數學運動失敗了，它留給世人一連串深刻的思考和教訓，其中重要的一條是：對歐幾里得幾何這份寶貴的歷史遺產的改造要持慎重態度。
當前這場爭論仍在繼續。例如，在計算機飛速發展的今天，計算機不僅能快速的進行計算，還能進行機器證明。于是一些數學家包括最著名的數學家提出：幾何教改的方向就是幾何的代數化、幾何證明的機械化。另一些數學家其中也包括最著名的數學家則對此表示了擔心。英國數學家M. 阿蒂亞(M. Atiyah)認為幾何直觀是增進數學理解力的有效途徑.，歐氏幾何在學校的衰落是件不幸的事。我國數學家丁石孫教授認為�！坝上ＥD人開創的幾何永遠是教育中訓練思維的最好工具”。于是，“幾何教改向何處去？”真成了難題。。一方面歐氏幾何是珍貴遺產，另一方面又成為一個沉重的負擔。要妥善地改造幾何，就需要認真考慮幾何的特點，幾何在數學教育中的作用，學生學習幾何感到困難的原因，特別是有了計算機幾何教改可能有怎樣的新思路。
M. 阿蒂亞(M. Atiyah)在“什么是幾何”一文中是這樣談論幾何的：“幾何在希臘人手中成為數學的第一個分支并趨于成熟，這件事絕非偶然。究其基本原因，幾何乃是最少抽象性的數學形式，它在日常生活中有直接的應用；而且不需花費太多的智力就能理解它�！薄皫缀问菙祵W中這樣的一個部分，其中視覺思維占主導地位�！痹趲缀沃兄庇^和抽象是兩個不同的側面，而這兩個側面聯系的又如此緊密。盡管幾何中沒有大小的點、沒有寬窄的線、沒有厚薄的面是十分抽象的“理想”世界的“理想”事物，但借助與視覺思維和生活經驗并不妨礙人們理解它。在幾何中人們抽象出的數學概念是相當多的，如平行線、相交線、垂直線、角、余角、補角、三角形、全等形、相似形、……，可以說人們在幾何中抽象出的概念比代數多得多，然而這些概念的抽象都是以直觀的圖形為背景。變得不難理解，這是與代數的最大區別�；蛟S正是由于這個原因，希臘人才從幾何開始把注意力集中于對事物基本屬性的準確把握，感受到數學抽象的巨大威力。數學也才從幾何開始上升為一門系統的科學。
除開圖形的直觀性之外，系統化的演繹推理是幾何的另一特征。歐幾里得總結了前人的成果，從不多的幾條精心選擇的公理出發，推導出來一系列定理 (竟達近500條)。人們第一次從幾何中看到邏輯的力量，人們理性思維的力量。通過概念的抽象化，再結合演繹推理，數學作為人類高度精神活動的實質被凸現出來了，從此數學成為一種哲學，影響了人類幾千年的發展。
在分析了幾何的特點之后，幾何在數學教育中的作用就清楚了。數學不是作為一種教條讓學生死記硬背就行了，數學也不是作為一項技能讓學生反復練習就可以了。歸根結底，數學教育應該提高人的思維能力，如此說來幾何怎么能夠大刀闊斧的砍掉呢？幾何不應被看做是過時的老古董，只是由于它難學就采取槍斃的做法。事實上，幾何是一種思維方式，這種思維方式的訓練 對于智力發展可能受到高技術負面影響的新的一代是必不可少的。
讓學生在幾何教學中受到良好的思維訓練，就要減少他們學習的困難，并激發他們的學習興趣。這是否有可能呢？我們認為有必要反思我們的教學。
上面談到，“幾何乃是最少抽象性的數學形式，它在日常生活中有直接的應用；而且不需花費太多的智力就能理解它�！睘槭裁床簧賹W生感到幾何難學呢？恐怕原因之一是從直觀到抽象這個環節出了問題。幾何又是用一大套定義、公理、定理精心編織的體系，而這些定義、公理、定理是用嚴謹抽象的語言表達的。多年來幾何教學讓學生背定義、背定理，而缺乏足夠的幾何圖形作為抽象概念的基礎。不少學生對所背的內容并不理解，他們當然感到枯燥困難。不少學生被迫記憶的是沒有意義的單詞組合。有些被歪曲地誤解了，有些則似是而非。如對垂直關系許多學生只認識水平位置與豎直向下的直線，等腰三角形的頂角必須處于‘上面’的位置，直角三角形、圓周角也被學生頑固地放到特定位置。這表明學生并沒有全面正確的抽象出概念，他們沒有抓住事物最本質的屬性。 另一個原因是片面強調邏輯思維訓練，忽視了觀察、實驗、想象、猜測等方面能力的培養，于是本來生動、機智、充滿創造力的整個數學思維過程不見了。教師經常代替學生思維的結果導致學生懶于思考并懷疑自己的智力。
在分析了學生學習幾何困難的原因之后，我們指出計算機能夠幫我們一些忙，教育技術能極大地開闊幾何教改的思路，創造出傳統教學不可能實現的奇跡。
首先談談動態的圖形。利用計算機技術我們只需一兩分鐘就能畫出動態的三角形、動態的特殊三角形、動態的互相垂直的直線、動態的圓周角等等。這給幾何教學帶來了轉機。讓圖形說話!過去許多用口頭用語言難以講清楚的概念，現在一看圖形就完全明白了。需要時只需輕輕一按鼠標將動態圖形定格，就能得到變式圖形，這為學生抽象出準確的概念提供了豐富的素材。再談測算，過去必須用刻度尺與量角器進行度量，現在利用計算機能對線段、角度。面積等我們感興趣的幾何量(包括動態圖形的幾何量)進行及時的度量和計算。于是許多圖形的幾何性質，某些條件對圖形性質的影響可以讓學生自己去發現了。利用鼠標還能托動圖形或其中的一部分平移、旋轉或縮放，這不僅便于更深刻認識圖形，還能直觀地顯示運動變換等數學思想。計算機還能頃刻隱藏或顯示圖形的某一部分，這使得圖形的分解與綜合都可以在學生眼前出現。通過多窗口顯示能將幾個圖形加以對比或把某圖形的一部分局部放大。通過菜單能隨心所欲地切入畫面、文字、聲音，這使我們借助于計算機可以創設出最佳的教學情景。所有教過幾何的教師面對計算機提供的上述幫助都會興奮不已，當幾何教改進退兩難之時，教育技術無疑帶來了希望的曙光�？磥須W氏幾何這一珍貴的遺產，不一定非成為沉重的包袱。
近來我們數學CAI課題組引入了“幾何畫板”，初步的反映表明：幾何能成為最受學生歡迎的課程之一。計算機對幾何教改的影響是深遠的，它的確能改變學生對學習幾何的態度和方法，提高他們對幾何的認識能力。那么在教育技術的支持下幾何教改的出路何在呢？我們的意見是不一定非要對歐氏幾何動大手術。它的公理法還是有必要讓學生知道的。幾何是訓練學生形象思維與邏輯思維能力的極好材料，但不應把幾何課當成純粹的思維訓練課，而應密切它與實際的聯系，引導學生用幾何。應充分發揮計算機的優勢用豐富的圖形減少學生學習幾何的困難、激發他們學習的興趣，盡可能讓學生親自動手“做”幾何。
順便提一下解析幾何與立體幾何。在傳統的解析幾何教學中，形數的結合不好表現，曲線作為動點運動的軌跡只能依靠想象，現在不同了。利用計算機可以測算出平面內任一點的直角坐標和極坐標，當用鼠標托動點運動時動點的坐標的變化能及時顯示，可以通過動畫生動地表現曲線作為動點的軌跡的形成過程，這無異將極大改善解析幾何的教學現狀。至于立體幾何，傳統教學的最大困難是培養學生的空間想象力。幾年來我們的實踐表明，計算機同樣可以發揮它的積極作用。截面問題，折疊問題、側面展開、從不同的角度觀察圖形，空間圖形的分解與組合……這些傳統教學的困難，現在通過計算機得到了圓滿的解決�？傊�，計算機對幾何教改有著深藏的巨大潛力，在教育技術的支持下，21世紀的幾何教學似乎將有一個巨大的變革。
2、計算機與數學概念教學
在數學教學中，概念教學是重要的，也是困難的。經驗表明，讓學生理解某一數學概念有時要比教他們學會一個具體的解題技巧不知困難多少倍。有些內容，例如函數概念、數列極限的“ -N”定義，一直是數學教學中傳統的難點。學生學過函數概念之后多數并不理解符號“f”的意義，學生學過極限定義之后有種聽天書之感。這促使我們探討概念教學的改革及計算機在其中所能發揮的作用。
應該看到，造成概念教學困難的原因是多方面的。首先是對它的重視程度不夠。當前在應試教育的體制下，對解題教學的重視遠遠超過概念教學，用于解題訓練的時間與精力遠遠多于對數學概念形成過程的剖析。實際上，后者涉及到數學的本質，本應給予更多的研究。
數學概念離不開抽象思維及嚴謹的數學語言表述，而抽象與嚴謹正是學生疏遠數學的原因。計算機的可視化技術能對幾何教學提供生動直觀的圖形，這容易為人們認可，然而這又使人們認為計算機所能表現的僅僅是“描述”式的數學，對于表現需要深層思考的數學概念，計算機恐怕是無能為力的。近年來我們的實踐消除了這種懷疑，教學軟件“數列的極限”在連續三屆學生使用的效果表明，計算機可以縮短數學與學生的距離，有助于學生理解抽象的數學概念。計算機輔助數學概念教學的效果是傳統教學不可比擬的。究其原因，并非計算機本身具有這種教學才能，而是在計算機的支持下教師可以進行比原來更有效的教學設計。
對概念教學進行設計，必須對數學概念的形成過程進行歷史的和學習心理的考察。數學概念的抽象其實是相當困難的，有些甚至經歷成百上千年的漫長過程。以函數為例，盡管從伽里略的著作里已經看到樸素的函數思想，盡管1673年“函數”概念就由萊布尼茨首次提出，但今天學生們在教科書中學到的定義卻是經過包括達朗貝爾、歐拉、柯西、狄里黑里(Dirichlet)等幾代數學家不斷演化的結果。函數概念的內涵經過了幾代人的努力才被凸現出來! 以極限概念為例，也包含著人類長期對“無限”過程的艱苦思考。在古代，人們早已有了關于極限的樸素思想，但極限定義的嚴格的形式化的語言表述卻直到19世紀才最后形成，那是給分析注入嚴密性的產物�，F在想來，學生在從教師或課本中接受這些數學概念時感到迷惑不解是太正常了!原因是思維的成果不經自己頭腦的消化是不可能吸收的。學生固然無需完全重復先前人們抽象這些概念的思維過程，但重新經歷其中某些重要的過程卻必不可少，當前學生缺乏的恰恰是必要的抽象概念的思維過程。
對概念學習進行心理分析是教學設計的另一個根據。著名心理學家皮亞杰提出：“如果認識了一個概念的心理學基礎，這就意味著從認識論上理解了這個概念”。從這個意義上講，數學概念的抽象需要堅實的實驗。與物理、化學、生物等學科不同，數學實驗的對象不是物質材料而是思想材料。在自然界中本沒有數、代數式、方程、函數、極限等物質，只是由于有了人及人的活動，這些作為人對自然界的概括與認識，才成為數學研究的對象。教育心理學認為數學知識是建立在人對自身活動，運算過程的反省抽象的基礎上。因此數學概念的象起源于學習與研究者的活動與運算，而數學的形式化是運算思維的必然結果。對學生來說，他的數學概念是在個別活動中構造出來的。是他在活動中根據自身的經驗對知識的重組。皮亞杰把這種過程稱為“建構”。經過以上分析，我們或許可以找出傳統的概念教學的缺陷，并找到利于計算機輔助概念教學的策略。
傳統教學在講授概念時一個難以克服的困難是缺乏學生足夠的活動與實驗，教師往往用自己的演講代替了學生自身的“建構”過程。在課堂上提供的思維材料十分貧乏。利用計算機恰恰可以彌補這個缺陷，計算機能夠提供理想的數學實驗室，能夠滿足學生個別活動與小組討論的要求，也便于創設富于啟發性的教學情景。所以計算機在改進數學概念教學方面有著巨大的潛力。
下面以數列的極限概念為例談談我們的教學設計。
首先我們從“一尺之棰，日取其半”談起，問如此組成的數列隨時間的推移將怎樣變化？屏幕上此時生動地顯示出一尺之棰按日取其半的規律隨時間變化的情況。這比課堂上原來只是口頭講授更能激發學生的思考。隨后我們先后在屏幕上給出了數列前幾項的數值、在數軸上以及在直角坐標系中表示數列前幾項的點動態地趨向極限的圖示。學生從以上創設的情景中完全能夠理解此無窮數列變化的趨勢是無限制地接近一個常數。這時我們在屏幕上以表格、數軸、直角坐標系為背景，給出了關于數列極限概念的說明：“粗略地說：如果一個無窮數列 變到后來無限制地接近某一個常數A，就說這個數列的極限是常數A”。下面我們給出幾個具體的無窮數列，讓學生猜出它的極限。屏幕不單給出數列的前幾項的數值，用數軸和直角坐標系給出表示數列前幾項的點，而且為學生提供了實驗的環境。學生可以鍵入任意大的n的數值，計算機則馬上顯示相應的數列 的數值。過去教師的講解現在變成學生的實驗活動，實踐表明每個學生通過實驗都能猜出該數列的極限，這為數列極限的形式化定義打下了堅實的基礎。我們還設計了一個選擇題 還是 ？學生可以通過按鍵自由選擇，對每種選擇答案我們都在屏幕上給了詳盡的分析解答。以上的所有教學設計基于這樣一個指導思想：讓學生通過參與實驗與運算而不是聽教師講授自己領悟數列極限的概念，從感知到了解再過渡到形式化的定義。
對極限的形式化定義我們精心設計了逐次精確化的過程。數列極限的“ -N”定義，或許是中學階段學生最難接受的定義了。學生第一次遇到語句如此長的數學定義，加上其中包括那么多的數學符號 ： 、A、n、N、 ，要讓學生理解它，必須從學生可接收的粗略的描述極限的語言出發過渡到十分形式化的“ -N”定義。為此，我們在電腦屏幕上設計了如下的情景。在“如果一個無窮數列 變到后來無限制地接近某一個常數A，就說這個數列的極限是常數A”這句話的下面動畫式地依次顯示：(1) 接近某一個常數A；(2) 無限制地接近某一個常數A；(3) 變到后來無限制地接近某一個常數A。接著又在這三句話的后面依次顯示：(1) 是一個很小的正數；(2) 能夠要多小有多小，即對無論多小的正數 不等式 < 能夠成立；(3)對于預先給定的無論多小的正數 ，只需取足夠遠的項n，那么它以后所有的項都滿足 < .稍后以此為背景我們開出一個窗口顯示出數列極限的“ -n”定義。在此之后我們還通過具體例子用圖表顯示 的值；用模擬的放大鏡在數軸上顯示表示數列的點動態地趨向其極限的情況；為幫助學生理解 -n 為學生創設了自由探試的環境：讓學生自由地鍵入 ，屏幕則顯示相應的一個n及后面的五項的值和這些項與極限的誤差。通過反復實驗，原來難懂的極限的“ -n”定義，現在變得十分容易理解了。
這個軟件的使用效果給我們的啟發是深刻的。它說明計算機能夠改善數學概念的教學，可以利于計算機進行比傳統教學更加優化的教學設計，而教學軟件設計的關鍵卻不是計算機本身而是教師的教學觀。先進的教學理論、豐富的教學經驗與計算機技術的結合能夠產生最佳的教學效果。當然開發這類軟件是很費氣力的，不可能所有的教師都有條件自己開發教學軟件。事實上可以借助于如“mathcad”、“mathematica”這類現成的軟件組織學生進行數學實驗，這對幫助學生領悟數學概念肯定是有意義的。
3、計算機與問題求解
1997年，一場人機大戰引起世人的矚目，這就是由IBM公司設計的超級電腦“深藍”和稱霸國際棋壇十二載的世界棋王卡斯帕羅夫的對弈。較量的結果，“深藍”以二勝一負三平的總成績贏得了勝利。現在這場人機智慧大戰已偃旗息鼓，但卻給世人留下了一系列深刻的啟示。圍繞這場比賽的熱烈討論仍在繼續�！坝嬎銠C在和人類的智慧挑戰”，這將對世界的未來將產生何種影響？
其實“深藍”作為下棋的專家，它的智慧與經驗是人賦予的，是人使電腦有了人工智能，因此“深藍”的勝利實際上是人腦的勝利。由此我們自然可以問：能否把人類解題的經驗和智慧賦予電腦，使它成為解題專家呢？進一步，能否再加上教師豐富的教學經驗，使它成為教學專家呢？
對前一個問題，近年來的研究成果表明，已經可以利用計算機證明任何一個幾何題，也可以用計算機解任何一個一元一次方程的應用題。讓計算機能解天下任何問題是不可能的，讓計算機能解某一類問題，成為解這一類問題的專家如今卻已經成為現實。這本身對數學教學有很大的意義，因為數學教學不可能教學生解天下所有問題的方法，那種方法是不存在的。數學教學也不關心只對極特殊問題有效的奇著妙法,那種方法意義不大。數學教學最關心的是那些最有廣泛性的具有典型意義的常規常法，認為這無論對學生當前的教育意義，還是對他們的未來發展都是重要的。令人振奮的是現在已經可以把解某一類問題的經驗和智慧賦予計算機。
對后一個問題，現在提出來似乎還為時過早。是否可以改個提法，那就是充分發揮計算機在解題教學中的積極作用。今天，讓計算機成為這方面的教學專家雖不現實，然而讓計算機充當教師的助手，在數學教學及家庭輔導中發揮一定的作用，卻是迫切需要研究的問題。一方面，我們課堂的解題教學并不總是很成功的；另一方面，電腦雖然已經進入家庭，卻沒有充分發揮其教育功能。計算機輔助教學和傳統教學之間本來有很多是可以相互借鑒的。總結解題的思維規律，整理多年來教師群體在解題教學的豐富經驗，對兩者都是必要的。
為什么我們說傳統的解題教學并不總是成功的呢？一個重要問題就是解題的思維過程顯示地不夠充分。對每一個學習個體，又不可能實現及時的教學反饋。例如選擇題，這或許是傳統教學中最不成功的。選擇題題型覆蓋面廣，考試能采取機器閱卷，不僅公平而且效率高，因而被廣泛使用。但在教學中，它的最大問題是解這種題不要求過程，一次練習下來或千篇一律的答案（由于作弊〕而失去練習的意義，或五花八門的答案既不便于統計也不便于講評。所以當前的教學中，師生在這方面往往作無用功，得不到預期的效果。實踐表明，計算機最容易在這里發揮優勢。遠不需復雜的編程，就可以把教師對每個學生的不同選擇答案需要作出的教學反饋裝在計算機里，選擇過程的不同思維過程盡可以在這里得到展現，還可以對個體或全班及時作出統計和評估。其實，計算機干這種事是很在行的。于是計算機成了教師歡迎的得力助手，能代替教師不少重復性勞動。在我們的教學中，這種形式的計算機輔助教學受到各種程度學生的歡迎，他們從教學的個別化中能及時得到詳盡的幫助，過去 對選擇題往往“只知其然而不知其所以然”，現在則從各種似是而非或似非而是的答案的選擇過程中加深了對問題的理解。
對于解答題，傳統教學存在的一個弊病是對“解題術”給予的重視太多，而對問題求解的思維過程重視得不夠，不是作為生動活潑的思維訓練去教，而是作為對教師總結出的“現成的”套路去強化訓練。在課堂上，玻利亞的問題解決方式并不多見。由于課堂時間不允許，加上學生的程度各異，特別是對審題，設計解題思路，反思幾個環節，給予的重視不足。現在我們利用計算機把玻利亞的問題解決方式溶入其中，學生可通過菜單從提示，分析，解答，回顧幾個不同的層次得到幫助，解題的思維過程展現的更清晰了。過去課堂上教師只能用一個聲調對全體同學講題，現在教師可以同時對程度各異的同學以不同的方式進行啟發。教師的講授更多為學生自己的活動所替代，教師只在必要時才提供幫助。當然，計算機總不能象真正的教師那樣靈活，那樣富于創造性，能夠隨機應變因勢利導，又高度負責充滿熱情，然而把教師的經驗與智慧溶入電腦總是有很大意義的。因為盡管教師在從事創造性的勞動，但總有相當一部分是重復性的工作，而這一部分可以考慮交給計算機。計算機永遠不會成為有高度事業心和責任感的教師，但溶入教師豐富經驗的計算機肯定能充當教師的不知疲倦的助手。
傳統教學另一個最大缺陷是對應用題及開放探索性問題的忽視，連續幾年高考都暴露出這一部分是學生掌握最差的內容。我們指出，計算機對改善這種狀況也能起一定的作用。例如應用題，由于數據不整齊，計算量較大，傳統課堂難于處理。現在有了mathcad及mathematica這類數學軟件，數學教學有可能把主要注意力集中在如何把實際問題轉化為數學問題，至于冗長的數值計算與符號演算可在計算機上快速完成。這對處理應用題是極大的幫助。
關于開放探索性問題，需要提供一個便于學生探試的環境，有時又需要創設富于啟發性的問題情景。有了計算機情況就和傳統教學大不一樣了。提出同一個問題：“順次連接四邊形各邊中點圍成什么圖形？”在計算機屏幕上顯示的效果就比過去靈活的多。在“幾何畫板”的支持下，可以在屏幕上給出一個動態的四邊形，它在運動的過程中忽而是凸四邊形，忽而是凹四邊形；四邊中點連線組成的四邊形也是不斷變化的，可能是一般的平行四邊形，也可能是特殊的平行四邊形。在這種情景下我們可以給學生更多的思考空間，因為問題可以是非常開放的，我們可以引導學生探究怎樣的條件將導致何種結論。又如正方體的截面問題，在屏幕上我們問：“設想一把無比鋒利的刀，猛地朝一個正方體形的物體砍下去，截面是什么圖形？”給學生留出猜測的時間之后，計算機可以用不同的速度對此給出動態模擬的圖景，顯示出不同形狀的截面，并由此引發出一系列能激發學生興趣的有關截面的問題。
從以上敘述人們不難看到，計算機能給數學教學注入旺盛的活力，它正在以下一些方面改變著解題教學的現狀。(1)突出學生在解題過程中的主體地位；(2)能對不同程度的學生提供不同程度的問題；(3)可以對所有學生同時提供各自需要的幫助；(4)為解決來自實際的問題掃清了冗長繁雜計算的障礙；(5)可以創設更具吸引力的數學問題情景；(6)提供了理想的探試問題求解的環境；(7)把教師群體的智慧與經驗轉化為一種可重復使用的教學資源；(8)把教師從低效的重復性勞動中解脫出來，而吸引他們從事更富于創造性的教學工作。展望未來，我們深信隨著網絡技術的發展能給問題解決以更多網上交流的機會，“教學專家”將發揮更大的作用；隨著“人工智能”技術的發展，電腦將更加“聰明”，問題求解過程的人機交互將更加靈活；隨著虛擬現實技術的發展，數學問題將更加密切與現實的聯系，數學問題將更能激發學生的學習動機。誰都承認問題求解依賴于數學思維，但對人腦在進行數學思維時的活動機制現在還停留在猜想階段。隨著“人工智能”的深入研究，需要對數學解題思維過程的經驗與規律進行總結，這反過來將促進數學教學的改革。
4、計算機對教學模式的影響
配置了具有數學功能的教學軟件之后，計算機便可以通過輸出設備將數學內容按一定的結構，用文字、圖像、聲音、動畫等形式呈現出來，它的優點是明顯的：
（1）學生的眼、耳、手、腦等感覺器官調動起來，使學習內容變得生動有趣，容易記憶、理解和掌握。
�。�2）可以通過動畫模擬、局部放大、過程演示等手段，將抽象問題具體化，更好地展現復雜的數學思維過程。例如函φy=Asin(ωx+φ)的圖像及其與y=sinx圖像的聯系，異面直線之間的距離及所成角等，通過動態的展示，變得形象生動，更易接受，也增加了教學的可信度。
（3）提高了效率，使教學過程及其內涵得到優化，由于計算機輔助手段的運用，一些圖表的制作更加精確、迅速，教學容量也得以加大，同時也減輕了教師的勞動強度，可以在有限時間內取得最大的效益。
但是，我們計算機輔助手段對數學教學的影響更主要的（也應該）表現為學生在學習中的主體地位，為學生創設一個“做”數學學問的環境和氛圍，從而教師可以將更多功能探索、分析、思考的任務交給學生去完成。抽象、嚴謹是數學的特點之一，但僅僅讓學生了解這一點，數學的面孔就顯得異常嚴肅，使人敬而遠之，對中學生而言尤其是如此，而計算機的多媒體手段可以幫助我們吸引學生參與探討，共同展示數學問題形成、發展、解決的全過程，很大程度上彌補了傳統教學手段的不足，請看下面這個問題：
已知圓D:x２+y２-2x+4y=0，問是否存在斜率為１的直線l，使l被圖D截得弦AB，以AB為直徑的圓經過原點，若存在，寫出直線l的方程；若不存在，說明理由。
這是一個探索性問題，在課堂教學過程中，我們將這一問題的分析和解決分為三個階段。
首先，我們直線l方程為y=a+b，讓學生輸入不同的b，在計算機上觀察直線的變化以及以它與圓D的相交弦為直徑的圓的變動情況。通過觀察，學生發現，在直線上移或下移的過程中，有兩個圓經過原點，從而做出判斷：問題的解存，具有兩解。接著，幫助學生挖掘題設條件的本質屬性。從而顯示屏幕上我們連結ＯＡ．ＯＢ， y。
學生恍然大悟：條件的實質即ＯＡ⊥ＯＢ，若設Ａ(x1,y1),Ｂ(x2,y2)，則應有x1x2+y1y1=0，然后將這一等式利用韋達定理 A 1轉化為關于b的方程，這樣便可以得到問題的解了。最后，我們又提出了進一步的問題對于l不同的斜率，問題解的情況又 O 1 2 3 x如何？這時通過學生的操作，讓屏幕上的Ｒt△ＡＯＢ繞著點Ｏ B -1 D轉動起來。在這動態過程中，學生看到斜邊ＡＢ所在直線的斜 -2率也在連續變化，可以取到一切實數，即對于斜率取任何不同的 -3實數，問題的解總是存在的，且有兩解。
上述例子表明，計算機的應用擴展了數學實驗的內容和范圍，學生也切切實實像一個小數學那樣參與到問題的探索解決的過程中來，從模型的建立么演繹、歸納思維的分析；從性能的預測到規律的探索，以及算法的設計、計算實驗的開展和模擬仿真手段的演示等等，都可以通過這一現代化的工具來實現，尤其值得指出的是，通過數學模式的計算和模擬動態的實驗，為學生探索數學問題的規律提供了方便可行的新途徑，學生可以通過計算機的演示從起初的混亂狀況中觀察，捕獲有規則的結構，這就促使并保證數學實驗不僅成為數學靈感和數學發現的源泉，而且也可以成為數學研究的有效方法。
結束語
在就要結束本文時，我們要強調指出：無論教育技術怎樣發展，數學教師都是不可替代的。不過教師在教學過程中的角色在變化，工作方式在變化。他從知識的傳授者變成學生學習活動的組織者與教學情景的設計師。他從個體的手工業勞動者變成信息社會教師團隊中的一員。大量的重復性工作將被更富創造性的勞動所替代。他將更方便地利用信息技術提供的教育資源，同時他又需要在此基礎上進行再創造。他不但需要掌握一定的現代教育技術，而且更需要有現代的教育觀念，堅實的數學功底和精湛的教育藝術。總之現代教育技術對教師提出了更高的要求。一只高素質的數學教師隊伍是21世紀對數學教育的最重要的需求。
最后我們感到，本文的題目“CAI與中學數學教育”似乎太大了。我們為自己擬了這么個大題目，許多內容卻談不到家，有些問題蜻蜓點水一帶而過，有些問題還未涉及。如信息社會中網絡技術對數學教育的影響，信息社會中學校的數學教育、家庭教育和社會教育的關系，信息社會中數學教育網絡的構成，數學教育資源的開發管理與使用等等。這的確是篇大文章。既是大文章就要由大家作，本文僅僅作為引起討論的引玉之磚吧！
歷史上產業革命曾把人類帶進工業社會，今天的信息革命又要把人類引向何方呢？它對人們的生活、工作以及思維方式將產生怎樣的影響？在未來社會中數學與數學教育將對社會及個人的發展起怎樣的作用？如何在高技術的支持下改革數學教育，使之與現代社會的要求相適應？這些都是值得認真思考的問題。有一件事是意味深長的，那就是2000年這個歷史性時刻被確定為“國際數學年”。這表明數學與數學教育對于未來的發展是多么重要。這是一次機遇，讓我們把握住這個機遇！
CAI與中學數學教育 篇2
一、序言
隨著教育現代化的不斷推進，多媒體計算機以其獨特的優勢進入課堂，沖擊著傳統的一張嘴、一支粉筆、一塊黑板的教學模式。開發和利用先進的教學媒體，改革傳統的教學方式，是當前中小學數學和其它課程教學工作中的一項緊迫任務。
去年初，筆者加入我校省重點研究課題《經濟欠發達地區中學開展現代教育技術應用的對策及實踐》的行列，在現代認知理論、教學設計與傳播理論的指導下，并學習了當前較熱門的多媒體軟件——幾何畫板、PowerPoint、Authuare，并自制了一定數量的課件，在校內、校外的一些課件評比中取得一定的成績。現將對經欠發達地區開展CAI技術輔助初中數學教學的實踐與拙建如下：
二、CAI技術輔助中學數學教學的優勢
1、有利于增加課堂容量，突破難點，提高課堂效率
在我們經濟欠發達的地區，由于經濟落后，缺少一定的教學媒體，教師在課堂上要花費很多時間和精力來完成畫圖、繪制圖表和處理數據等工作，不僅工作量大，且難以突破難點，若采用CAI技術來完成這些工作，可節省教學時間，突破難點，增加課堂容量，提高課堂效率。
在研究二次函數y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）的圖象和性質的教學中，對于函數y＝x2、y＝x2＋1與y＝x2－1的形狀是否相同，傳統教學中教師只能通過用描點法耐心力求準確地在黑板上畫出函數的圖象，再歸納性質，這樣一要花費很多時間，二由于圖象疊在一起時看不清，三則圖象不能隨意變化，不得比較、概括、抽象出有關性質，固此，學生任教師怎么說也不相信如右圖1的三個圖象是形狀相同的，總認為y＝x2＋1的圖象較小，而y＝x2－1的圖象較大。如今在幾何畫板的支持下，用平移法便能輕松地解決問題。
又如：如圖2，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，設梯形的周長為16cm，高AH為xcm，中位線EF的長為ycm，用解析式表示梯形的中位線長y是高x的函數，并求自變量x的取值范圍。
學生在解象這樣平面幾何中幾何量之間的函數關系問題，一直感到困難。教師不可能，也無法準確地畫出AH變化時的各個圖形，因而給學生的理解帶來一定的困難，自變量x的取值范圍也難以求解。固此筆者在初三總復習時，用Authorware與幾何畫板制作了有關類型的課件，動態地展示了y與x的關系。實踐表明，效果很不錯。
象上述這課件起到了縮短教學時間，化靜態為動態，直觀、形象、清晰地展示圖象變化的規律和性質的功效，學生能在積極參與探索知識的過程中，實現對數學知識的再建構，提高課堂效率。
2、有利于改善平面幾何的教學環境
歐代幾何流傳至今，深刻刻地影響著后來文化與科學，也成為訓練人的思維的好材料。但是這嚴謹的數學體系象一把“雙刀劍”，一方面有大約20％－30％的初中生因為學習的平面推理幾何，從此走上數學和科學研究之路，另一方面有不少學生在遭遇平面推理幾何之后，喪失了對數學的學習興趣，乃至失去了對學校教育的信心。教師只能通過多講、多練等不是辦法的辦法來訓練學生，使學生的負擔加重�，F有了《幾何畫板》等軟件，能改善認知環境，使平面幾何更容易教，學生更容易學，學得活。
2．1 利用CAI技術，可創設“情景”，改善認知環境
初二《幾何》課本第96頁有這樣一道題：草原上兩個居民點A、B在河l的同旁（如圖3），一汽車從A出發到B，途中需要到河邊加水，汽車在哪一點加水，可便行駛的路程最短？在圖中畫出該點。
利用《幾何畫板》可做這樣的事情，在l上任取一點C，連AC、BC，利用測量工具量出AC＋BC的值，拖動點C，則AC＋BC的值忽大忽小，通過觀察在某個時刻AC＋BC的值會最小，然后再引導學生找出這個點。
又如：如圖4，正方形ABCD的對角線相交于點O，點O是正方形A’B’C’O’的一個頂點，如果兩個正方形的邊長相等，那么正方形A’B’C’D’繞點O無論怎樣轉動，兩個正方形重疊部分的面積，總等于一個正方形面積的四分之一，想一想，為什么？
在本題中通常的處理是從特化入手，考慮圖4或圖5的特殊位置，顯重疊部分（陰影）的面積為1／4，由此，得到一個證明的思路，在圖4中證明△OAE≌△OBF。
上述處理顯然是淺薄的，始終對定值的成因沒有任何幾何實質的揭示學生解完之后“知其然，不知其所以然”。
現在用《幾何畫板》創設一個“情景”（如圖7），那就好多了，過O作兩互相垂直的直線l1、l2，正方形ABCD被分成S1、S2、S3、S44部分，利用動畫功能將圖形繞點O旋轉90°，則A轉到B，B轉到C，C轉到D，D轉到A，L1轉到L2，只是字母換了，整個圖形沒有變化（重合），于是S1與S2重合，S2與S3重合，S4與S1重合，自然有S1＝S2＝S3＝S4＝1／4。
正是這種CAI技術創設的“情景”能使學生“一眼看到底”，同時能看透了問題的本質，即正方形OA’B’C’的大小是非實質的，并且題中的圖形是否為正方形是非實質的。比如，把兩個正方形換成兩個正六邊形也有類似結論。
2．2 利用CAI技術，使幾何中的抽象問題更為形象
在傳統的教學中，往往沒有較好的媒體來表達幾何中的一些抽象問題，使教師教及學生學均十分困難。例如在講“全等三角形”時，過去只能拿兩張紙片作的三角形重合在一起，告訴學生“能夠完全重合的兩個三角形是全等三角形”，現在用《幾何畫板》可以方便地表現通過“平移”、“旋轉”、“翻折”的手段使兩個三角形重合，而且可組合在一些常見的全等形，使學生能在生動變化的現象中形象、直觀地認識圖形，抓住事物的內在聯系。
2．3 利用CAI技術，把實驗引入課堂
在學校教學中，有物理、化學等實驗，難道就不能數學實驗嗎？我們知道，數學中的公理、定理均是經過艱難曲折的實驗而得的，然后再傳給后代。另外建構主義認為，雖然學生學習的數學都是前人已經建造好了的，但對于學生來說，仍是全新的、未知的，需要每個人再現類似的創造過程來形成，即用學生自己的實驗活動對人類已有的數學知識建構起自己的正確理解，這應該是學生親身參與的充滿豐富、生動的概念或思維活動的組織過程。所以，在數學課堂中引進實驗是非需必要的。它可以使學生在實驗中體驗一個科學成果的發現是多么的艱辛，同時，由于是通過自己的實驗得出，理解和記憶更深。例如在相交弦定理的教學中，在屏幕上畫出如圖9（a）的圖，學生拖動點P、A、B、C、D，從而得到一組有代表性的圖形和一個恒定不變的式子：PA·PB＝PC·PD，同時通過實驗把前后知識緊密聯系在一起，減輕學生的記憶負擔（如圖9）。
2．4 利用CAI技術，有利于開發探索性問題，啟迪創造思維
利用CAI技術及科學的、藝術性的教學法，教師可創設富于啟發性的問題，開發學生的探索能力。如：順次連接四邊形各邊中點圍成什么圖形？在《幾何畫板》的支持下，在屏幕上給出一個動態的四邊形，從而各邊中點所連接的四邊形也是不斷變化的。在這種情形下我們可給學生提供探索空間，什么情況下中點四邊形會是短形、菱形、正方形？
又如我校黃良銑老師一堂公開課中的一題：如圖10，Rt△ABC中，∠c＝90°，CD是高，AE是∠A的平分線交CD于G，交BC于E，過G作GF∥AB交BC于F。
求證：CE＝FB
在探討完多種證法及變式之后，教師適時為學生創設問題，誘導和激發物理學的思維，引導學生探索：
�、賀t△ABC的形狀是否可以改變？當改變時，EF與CE、FB的長會怎樣呢？EF是否等于CE、BF呢？
②若題目中CD不是高，而是一般線段，還有CE＝BF嗎？若有，請證明，若沒有應加上一個什么條件（不加任何其它線段）才能成立？
因為問題是非常開放的，學生的`探索能力及創新思維均得到培養。
3、有利于分層目標教學的落實
分層目標教學就是把學生按基礎知識及認識水平分成若干層次，分別制定目標而進行的教學。班級學生程度的不整齊，分層目標教學一直是難以實現的美好理想�，F在利用CAI技術便能實現，如利用PowerPoint的超級鏈接功能或Authorware 的分支、函數、交互功能可實現班級制的分層教學，學生可根據自己的實際選擇所要學習的內容成習題，這樣不僅使學生學得愉快，還可避免差生產生自卑感，優秀生產生優越感，使各層次的學生有所收獲。
三、CAI輔助教學的主要模式
1、單機——大屏幕演示模式，將計算機與大屏幕投影電視連接直來，這樣既能發揮黑板、教師講解、師生情感交流等優勢，又能通過CAI為學生創設情境，指導和幫助學生理解和解決數學中的疑難問題，這種模式的整個教學過程完全由教師個人控制，學生不能自由選擇學習內容。
2、主機——終端——屏幕幕演示模示
在上一模式的基礎上，再多連接多個低檔微機終端，授課時，教師控制主機，每2－4個學生占有一臺終端。這種模式除有前個功能外，還可根據需要，由主機向各終端發送學習材料、不同程度的習題，讓學生發揮主觀能動性，自主選擇學習內容，實現分層目標教學。
四、CAI技術輔助教學要注意的幾個問題
1、要合理使用CAI技術
雖然CAI技術能給初中數學的教學帶來優勢，但不能過分夸大其作用，更不能過份依賴于CAI技術，一堂課計算機一用到底。作為教學媒體各有各的優勢，我們應該充分認識和了解各媒體的特征，根據教學目標和需要，選擇最使用最適合于學生學習的教學媒體。
2、要加強知身的學習
在信息化時代里，知識更新一日千里，特別是CAI技術正沖擊著傳統的教學，如果墨守成規不思進取，就將很快落后時代。在學習中不僅要學習CAI制作等技術，還要加強現代教育理論的學習，尤其是學習建構主義學習理論、人本主義學習理論以及基于建構主義學習理論和人本主義學習理論的教學設計。掌握了這些，才有可能結合新技術的特點，突破舊觀念，創造新的符合教育教學規律的教學方法、教學模式。
3、要制作出好的課件
課件是在一定的學習理論指導下，根據教學目標設計，反映某種教學策略和教學內容的CAI軟件，課件的基本模式有多種多樣，如練習型、指導型、模擬型、問題求解型、發現學習型等，課件制作中應根據不同的課型、不同的教學策略，不同的教學內容有機地結合起來，在制作中還應注意要有利于充分發揮學生的主體作用，注意引導學生去聯系已有的知識，擴充、構建整個知識體系、突出學習心理的觸動、學習方法的培養、思維方式的構建、學習能力的提升，在學習過程中培養學生的創造力。
五、結束語
雖然本人使用計算機的時間不長，CAI輔助初中數學教學的實踐不是很多。
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