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談一下高中數學應用問題的教學
摘要： 培養和提高學生的數學應用意識，是中學數學教學的迫切要求，在中學數學教學的始終都應注重學生應用意識的培養。高中數學新教材在每章開頭的序言，問題引入，例、習題，“實習作業”和“研究性課題”中都編排了大量的應用問題，應根據高中學生的認知規律和思維特點進行應用問題的教學，培養學生的應用意識和應用能力。
關鍵詞： 數學 課程 應用意識 實踐
培養和提高中學生的數學應用意識，使學生掌握提出、分析和解決帶有實際意義的或在相關學科，生產、生活中的數學問題，準確而靈活地運用數學語言研究和表述問題，是中學數學教育教學的迫切要求，在中學數學教學過程的始終都應注重學生應用意識的培養，加大應用問題的教學力度。
一、高中數學新教材中的應用問題
傳統教材對知識的來龍去脈和數學的應用重視不夠，不重視引導學生運用所學知識解決日常生活、生產中遇到的實際問題，學生學數學用數學的意識不夠，解決實際問題的能力脆弱。新教材對此做了大的調整，增加了具有廣泛應用性、實踐性的教學內容，重視數學知識的運用，增強數學應用意識，提高學生分析問題，解決問題的能力，把培養學生運用數學的意識貫穿在教材的各個方面。
1 、每一章的序言，都編排了一個現實中的應用問題，引入該章的知識內容，以突出知識的實際背景。如在第三章《數列》以趣味話題：“國王對國際象棋棋盤發明者獎勵的麥粒數 ”的計算作為章頭序言，激發學習欲望，增加教材內容的趣味性。
在教材的編排上，既用通俗易懂的語言，陳述問題，又附以插圖增強直觀形象性、趣味性。
2 、在研究“具體問題”時以實際例子引入課題
高中數學的十章內容中，分別就概念引入、實例說明、數學表示等方面有三十一處都恰當的運用了實際問題和具體情景。如用“不同重量信件的郵資問題”表示分段函數，用功和位移的關系引入向量數量積的概念等。實例引入增強了問題的實際背景，為順利解決問題作了鋪墊。
3 、例題中的應用問題
例題中安排應用問題，一方面可以培養學生閱讀能力、分析問題、解決問題的能力，培養學生的應用意識，而且通過范例講解，使學生掌握解決應用問題的一般思想和方法。新教材的十章內容中共有 41 個例題是涉及數學應用的，占例題總數的 14.6% ，它們都非常接近學生的生活實際和所學知識，難易適中，示范性強。
4 、練習、習題、復習題中增加了應用問題的分量
為使學生鞏固所學知識，逐步提高分析問題、解決問題的能力，新教材在練習題，習題，復習題中增加了大量的應用問題，其中練習題有 45 題，占總數的 12.4% ；習題有 105 題，占總數的 18.15% ；復習題有 50 題，占總數的 14.91% 。分別涉及增長率、行程問題、物理、化學、生物問題，儲蓄等各個方面，量大面寬，情景新穎，融知識性，趣味性，自主實踐性于一體。
5 、閱讀材料
問題生動有趣，貼近學生生活，擴大學生閱讀面的閱讀材料，新教材中共安排了 15 個，其中：
（ 1 ）歷史故事方面的，如第二章《函數》的“對數和指數發展簡史”，第五章《平面向量》中的“人們早期是怎么樣測量地球的半徑的？”
（ 2 ）介紹數學應用方面，如第八章《圓錐曲線的光學性質及應用》，第十章《抽簽有先后，對各人公平嗎？》。
（ 3 ）擴充知識方面，有第五章《平面向量》中的“向量的三種類型”等。
6 、新增了“實習作業”和“研究性課題”。
為了使學生親自體驗數學知識的應用，靈活運用數學知識解決實際問題，加強學生學習的自主活動性，培養綜合運用知識的能力。新教材安排了三次實習作業，一是 “函數關系的實習作業”，讓學生調查研究附近商店、工廠、學校潛在的函數問題；二是利用“平面向量”知識解決不能直接測量的距離、方向問題。三是“線性規劃的實際應用”。
研究性課題是培養學生應用意識和創新能力的重要內容，新教材分別在第三、五、七、九章中安排了四個研究性課題：“分期付款中的有關計算
”、“向量在物理學中的應用”、“線性規劃的實際應用”、“多面體歐拉定理的發現”，讓學生動手操作，選擇優化方案、歸納概括，恰當建模，運用理論指導實踐。
二、高中數學應用題問題的教學實踐
高中學生年齡一般在 15 — 17 周歲，他們認識過程的各種心理成份雖已接近成人的水平，但智力活動帶有明顯的隨意性，其抽象思維從“經驗型”向“理論型”急劇轉化。能夠逐步的擺脫具體形象和直接經驗的限制，借助于概念進行合乎邏輯的抽象思維活動，開始在教師幫助下獨立地搜集事實材料，進行分析綜合，抽象概括事物的本質屬性。因此，應結合學生的心理特點和思維規律，進行應用問題的教學。
1 、重視基本方法和基本解題思想的滲透與訓練
為培養學生的應用意識，提高學生分析問題解決問題的能力，教學中首先應結合具體問題，教給學生解答應用題的基本方法、步驟和建模過程，建模思想。
教學應用題的常規思路是：將實際問題抽象、概括、轉化 -- à 數學問題 à 解決數學問題 à 回答實際問題。具體可按以下程序進行：
（ 1 ）審題：由于數學應用的廣泛性及實際問題非數學情景的多樣性，往往需要在陌生的情景中去理解、分析給出的問題，舍棄與數學無關的因素，抽象轉化成數學問題，分清條件和結論，理順數量關系。為此，引導學生從粗讀到細研，冷靜、慎密的閱讀題目，明確問題中所含的量及相關量的數學關系。對學生生疏情景、名詞、概念作必要的解釋和提示，以幫助學生將實際問題數學化。
（ 2 ）建模：明白題意后，再進一步引導學生分析題目中各量的特點，哪些是已知的，哪些是未知的。是否可用字母或字母的代數式表示，它們之間存在著怎樣的聯系？將文字語言轉化成數學語言或圖形語言，找到與此相聯系的數學知識，建成數學模型。
（ 3 ）求解數學問題，得出數學結論
（ 4 ）還原：將得到的結論，根據實際意義適當增刪，還原為實際問題。
例：某城市現有人口總數 100 萬人，如果年自然增長率為 1.2 ％，寫出該城市人口總數 y( 人 ) 與年份 x( 年 ) 的函數關系式
這是一道人口增長率問題，教學時為幫助學生審題，我在指導學生閱讀題時，提出以下要求：
——粗讀，題目中涉及到哪些關鍵語句，哪些有用信息？解釋“年自然增長率”的詞義，指出：城市現有人口、年份、增長率，城市變化后的人口數等關鍵量。
——細想，問題中各量哪些是已知的，那些是未知的，存在怎樣的關系？
——建模，啟發學生分析這道題與學過的、見過的哪些問題有聯系，它們是如何解決的？對此有何幫助？
學生討論后，從特殊的 1 年、 2 年…抽象歸納，尋找規律，探討 x 年的城市總人口問題： y=100(1+1.2%) x .
2 、引導學生將應用問題進行歸類
為了增強學生的建模能力，在應用問題的教學中，及時結合所學章節，引導學生將應用問題進行歸類使學生掌握熟悉的實際原型，發揮“定勢思維”的積極作用，可順利解決數學建模的困難，如將高中的應用題歸為：①增長率（或減少率）問題②行程問題③合力的問題④排列組合問題⑤最值問題⑥概率問題等。這樣，學生遇到應用問題時，針對問題情景，就可以，通過類比尋找記憶中與題目相類似的實際事件，利用聯想，建立數學模型。
3 、針對不同內容采取不同教法
高中新教材的數學應用問題遍及教材的各個方面，教學時針對不同內容，有的放矢，各有側重，就會取得較好的效果。
（ 1 ）章頭序言，指導閱讀，留下懸念
對圖文并茂的章頭序言，由教師簡單提出或由學生閱讀，使學生稍作碰壁，留下解題懸念，增強解決問題的欲望。
（ 2 ）重視例題的示范作用
例題是連接理論知識，與問題之間的橋梁，示范性強。因此在講解例題時應在分析題目各個量的特點關系，建模，解決數學問題、還原為實際問題諸環節都應很好的起示范作用，教師應重視例題的分析與講
解，積極進行啟發式教學，培養學生分析問題，解決問題、尋求基本實際模型的能力，重視數學理論知識與實際應用的聯系。
（ 3 ）指導練習，鞏固方法
充分運用課本的練習題、習題、復習題，讓學生自己動手、動腦，應用所學的知識解決實際問題。練習題位于具體的理論知識后面，建模方向性強，教師只需稍作指導；而習題則更多利用教師批改作業的機會，主要糾正數學語言轉化過程，及解題的規范過程；復習題由于綜合性強，學生解決有困難，教師要給予必要的指導、提示。
（ 4 ）課外閱讀，補充提高
對于不作教學要求的閱讀材料，根據教學進度提出閱讀要求，布置學生進行課外閱讀，培養學生的閱讀能力，擴大知識面，激發學生的學習興趣。
（ 5 ）實習作業，重視實際操作與團結協作
完成實習作業，可以打破單一沉寂的課堂教學氛圍，激發學生的探索精神，培養學生的實踐能力，進一步培養學生應用數學的意識和創新能力。但實際問題的因素是錯綜復雜的，這就要求學生在調查、分析、研究的基礎上，抓住本質，通過篩選，去粗取精，結合數學知識，進行建模解決實際問題。如第五章《三角函數》中的實習作業，對⒛苤苯硬飭康牧降愕木嗬耄?淌ρ《ǚ?弦?蟮牡氐悖?櫓???導什飭浚?ü?撲閆鶻?屑撲悖???酥潞芨擼?乇鶚嵌浴耙閻?獎吆鴕歡越恰苯餿?切蔚娜?智榭觶?ü??植僮鰨?檔夭飭浚?由鈑跋歟?し⒘搜??奶剿骶?瘢?鑾苛搜??母行勻鮮丁?nbsp;
（ 6 ）研究性課題，重視自主探究
“研究性課題”是新教材中的一個專題性欄目，具有探究性和應用性的特點，它既是所學內容的實際綜合應用，又對學生探究和解決問題具有較好的訓練價值。
§ 3.6 的“研究性課題”，一個有關分期付款的問題，因為很多人一次性地支付售價較高的商品款額有一定困難，另一方面不少商家也不斷改進營銷策略，方便顧客購物和付款，它與每個家庭的日常生活密切相關，在今天的商業活動中應用日益廣泛。對它的探究將會引起學生極大的興趣，教學這一課題時，應突出以學生探究為主，教師點拔、介紹為輔，教師不斷提出問題，介紹情況、啟發誘導。鼓勵學生研究和探索。
第一步，讓學生閱讀教材 P 134 的方案表，明確每個付款方案的次數、方式。
第二步，引導學生探究第二種方案，即分 6 次付清，購買后第 2 個月第一次付款，再過 2 個月第 2 次付款，…購買后 12 個月第 6 次付款，月利率為 0.89 ％，每月利息按復數計算。
首先，學生根據要求試做，不少學生得出每期付款 元，也有學生得出每期付款 元。這時教師不必指出對錯，進一步分析、調整學生思維，這兩種方式對誰有利？學生計算后，自然得出前者對顧客有利，商家吃虧，而后者對商家有利，顧客吃虧，都不符合買賣公平的原則。
然后，教師適時的指出分期付款的條件，引導學生將原問題進行以下分解：
①商品售價時的貨款到全部付清時增值到多少？
②各期所付款額到貸款全部付清時分別增值到多少？
③利用付款中的有關規定列出方程：
最后，引導深化——研究不同方案及一般結論，讓學生計算方案 1 、 3 ，教師巡視指導，再由學生分組交流、比較結果，選擇最優方案，得出一般結論。
三、對高中數學應用問題的教學建議
1 、在數學應用問題的教學和對學生學習的指導中，應重視介紹數學知識的來龍去脈。
一般情況下，數學知識的產生不外乎實際的需要和數學內部的需要，高中階段所學的知識大都是來源于實際生活，許多的數學知識都有具體直接的應用，如高二運用不等式的性質計算最值，線性規劃，高三的概率統計等。應該讓學生充分實踐和體驗這些知識是如何使用的，在此基礎上讓學生感受和體驗數學的應用價值。
2 、學會運用數學語言描述周圍世界中出現的數學現象
數學語言可以清楚、簡潔、準確地描述日常生活中的許多現象，讓學生養成樂意運用數學語言進行交流的習慣，既可以增強學生應用數學的意識，也可以提高學生運用數學
的能力。在教學中，需幫助學生形成一個開闊的視野，了解數學對于人類發展的應用價值。在知識實踐，能力培養的基礎上，教師應主動地向學生展示現實生活中的數學信息和數學的廣泛應用，向學生提供豐富的閱讀材料，讓學生感受到現實生活與數學知識是密切相關，處處聯系的。
3 、關于應用問題中的算法問題
新教材要求用科學計算器，處理、計算數值，在例題、習題中給出的數據都比較復雜，我認為高中數學應用題的重點是數學建模，所以正確建模，明白算法、算理應占主流，一味追求“實際”，多次出現一些復雜數據，會沖淡主要問題的解決。事實上，每節中只要有一兩道實際數據的題目，其他的可選擇特殊數據或干脆用字母表示，不僅可突出算理，而且會加強應用問題的分析，節省時間，體現字母代數的優越性。
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