三角形面積公式的五種推導方法

三角形面積公式的五種推導方法

 六年制小學數學第九冊《三角形面積的計算》一節，教材上是這樣安排的：一、明確目標；二、用數格的方式不能確定三角形的面積；三、能否轉化成以前學過的圖形進行計算？四、拿兩個全等的直角三角形可以拼成以前學習過的學習過的長方形和平行四邊形，直角三角形的面積是長方形和平行四邊形面積的一半；五、驗證銳角三角形和鈍角三角形是否也能拼成平行四邊形；六、三次試驗確定所有類型的三角形能轉化成平行四邊形，兩者的關系是“等底等高，面積一半”；七、總結三角形的面積公式。

我們在多次的課堂教學實踐和課下輔導過程中，發現上面的幾個“環節”有些地方不太符合學生的認知特點。具體分析一下：

第一步沒什么問題，每個教師都有自己的導入新課的方式。

第二步也沒有什么：學生在學習長方形和正方形的面積時用的是“數格”的方式。學習平行四邊形時用的是切割再組合的方式，就是所謂的“轉化”。在大部分學生對面積這個概念的理解還不十分透徹的情況下，面對三角形，學生們的首選方法就是“數格”。因為這是學生學習有關面積計算的第一經驗，第一印象，第一個技巧。也是最簡單，最直接（當然也是最麻煩）的方法。
    關于第三步：教材上只有一句話：能不能把三角形轉化成已經學過的圖形再計算面積。這是化未知為已知的思維方式，我們常給初中學生提起這些認知策略，但它的基礎卻在小學階段和學生的日常生活經驗中。教材把這個重要的數學思想一筆帶過，把挖掘其內涵，為學生建立辯證觀念的重任留給了老師。但很多老師并不特別重視這句話，只是把它當作一個過渡句，當成進入下面環節的引言。 

第四步。轉化是一定的。但是，轉化成什么？怎么轉化？把三角形轉化成“能計算的圖形”大致有五種情況。教材推薦的是第五種（如圖）。教材上的引導方式只有教師的主導性，而忽視了學生的主體位置。

前面提到，學生計算三角形面積的首選方法是數格，那么次選方法是什么？他們的第二方案應該還是在自己的經驗中尋找幫助。這些經驗當中，與計算面積有關的直接、簡單、容易操作的內容就是在前面的幾節課剛學過的“切割平行四邊形成長方形”的方法。他們對“切割”這個動作記憶猶新。因為：一、這個技巧剛剛學過；二、切割是個動作，但這個動作能把不規則變規則，所以印象深刻；三、這個簡單的動作能完成面積計算的任務。所以他們的下一步動作會是模仿上一節課的做法，想辦法切割三角形的某一角移動填補另一角，變三角形成長方形或平行四邊形。按這個說法，學生在尋找計算三角形面積的方法時，他首先會在他手中所拿的三角形卡片上琢磨，對這個三角形進行加工處理。在不得要領，或是找到了辦法，問題解決了，但心有余味，繼續探索下去時才會考慮到利用其他內容擴展思考空間，再找一個一樣的三角形牽線搭橋，把思路引到問題的外面。

教材中還有一點缺失：學生在教師的引導下用兩個“全等”三角形進行拼接時，是一個嘗試的過程。教材舉例說：小華拼出了一個長方形一個平行四邊形。小林拼出了兩個三角形——一個人拼的全是能利用的，一個人拼的全是不能用的，兩個人的對比太大。我們想這不是教材的疏漏，是為了突出教學任務和目標。另外，教材舉的例子是兩個三角形能拼成一個長方形和一個平行四邊形。但實際上能拼成兩個平行四邊形，加上長方形就是有三個圖形是已經學習過的，都能用來推算三角形面積。教材忽略這個沒有列出的平行四邊形，我們猜可能是因為它的傾斜度過大，在視覺上有一種要“倒”的感覺。如果學生受視覺效果的影響，注意力分散，會影響到他們分析兩種圖形的底、高和面積的關系。也可能是基于簡單化原則，有兩個就夠了，何必要三個。但是按這個說法，要一個就夠了，何必兩個。

按照教材設定的思路，我們可以設想：學生手拿三角形，聽老師布置完任務。怎么拼，能拼出什么都不太清楚，只能先隨便的拼一下試試。如果運氣好或者預想能力較強，可能直接拼出平行四邊形和長方形。學生在試驗時，會發現不等邊拼接沒有后續效果，因為這些組合圖形都不規則，不能把握。然后，學生會把注意力放在那些特殊圖形上。一類是那些中心對稱的平行四邊形，這是學習過的內容；一類是那些左右對稱的凸多邊形，這是好奇心驅使，隨后即會放棄。學生的試驗，開始可能是無序狀態，隨著注意的集中，目標一個一個的出現，學生的意識中必定會對自己剛才的所有拼接進行回顧（很多時候這個回顧是無意識的），找到拼出所有圖形的方法得出兩個全等三角形能順次拼出三個形狀不同的平行四邊形的結論，使自己的思維進入有序狀態。

教材把這個過程縮減了，有些教師則更希望把它壓縮成一個或幾個動作，為后面的講解和練習擠出時間，不愿把時間精力浪費在這個非目標、非重點、也非難點的中間環節上。認為只要知道了轉換的道理，就有了“等底等高，面積2倍”這個重點的突破。在動手操作上延長時間，勢必影響教學目標的講解和強調。

其實這是個誤解。公式的推導過程本身也是對公式的熟悉過程，過程熟悉了，結果也就熟悉了。以后也就無須用多的嚇人的練習題讓學生做，把公式強印到學生的腦子中。舉一個化學上的例子：兩種物質能發生反應，這是先決條件。但是反應所需要的環境如加熱、電擊、攪拌或是放在溶液中使其反應更充分，以及催化劑等這些控制反應進行的因素也很重要，甚至是必須的。學生在探尋知識的過程中所取得的經驗和教訓就是知識發揮作用的控制因素。一般上，我們認為把知識放在問題中，解決問題，知識的作用就發揮出來了。但是，問題從何而來？來自思維。思考什么？思考我們看到的，感覺到的。如果對周圍事物的發展、變化、規律、聯系、相互作用、矛盾沖突以及相似性、特殊點（這些名詞、概念確實存在于我們的意識和思維中）沒有任何的反應，就不會產生問題、提出問題。不會發現問題的人，一般也不會主動回答別人的問題。讓學生自己動手就是為了訓練學生的動手能力觀察能力和感受性。

如果學生在圖形的拼接過程中能集中注意力，邊拼接邊總結，最后達到能快速有節奏的拼出所有圖形的程度。那么學生至少有兩點除直接為教學目標服務之外的收獲。其一是實驗精神，這種品質是在面臨所有新問題時都必須具備的。這一點不必多說。

第二點是個技巧：要想拼出所有圖形，必須以排列組合的方式按照一定的順序，挨著個的來。如果我們能對這個技巧善加培養，就會形成一種能力或是一種精神品質。在許多新編的實驗教材中都安排了很多這樣類型的訓練內容。這些訓練的目的，并不在這些具體的問題本身，而在于讓學生擴展自己的思維空間。思維空間的擴展并不是說讓學生知道更多的東西，而是說讓學生忘記自己已知道的、已掌握的東西——需要的時候，能馬上從意識中提取。想達到這種水平，需要做到體系化和結構化。人的思想無限廣大，但是如果其中的內容雜亂無章，互無聯系，就等于有限的物質占據了無限的空間。就象是如果沒有天體星系之間的吸引力和運動造成的動態平衡，就會宇宙大亂。人類就不可能認識這個世界。會毀在這種無序狀態之中。但運動能看的見，吸引力卻難捉摸。

在我們所有的認識活動中，都有一個從混沌到有序，從不明所以的細節認識到把握事物的結構，確定各部分間的聯系和作用方式的整體感知的過程。如果學生擁有了這個過程的心理體驗，就會促使他們在個性發展上形成一種良好的精神品質。就會心理堅定，動作迅速，思維敏捷。但我們卻常常在課堂上打斷學生的這個思維過程，系之以我們認為最佳的知識體系。卻不知單純以邏輯作聯結的知識在學生看來只是內容上的堆砌，會對學生造成巨大的精神壓力。只有以心理體驗做基礎才能真正將知識內化，達到“有”既是“無”的空明之境。自己的努力常被別人打斷的人，有一種受制于人的感覺。經常這樣，學生會變的沒有自信，心浮氣燥，嘗試過程中會產生否定心理：否定錯誤，固執己見；否定問題：這個問題不可能有解；甚至否定自己：我做不出來了，再努力也是白費工夫。

推導三角形的面積公式，大致有五種方式。根據各種推導方式的不同特點，我們可以幫助學生設定兩種學習思路。

第一種：前三種推導方式，適合用“先確定探求目標，然后從已知經驗中借鑒和搜尋解決方法”的學習方式：學生手拿一個具體的三角形卡片，經過怎么辦，怎么變，怎么算等思維過程，然后通過驗證，將怎么變舍去，把怎么算壓縮概括為一個計算程序，這就是公式。第二種：用后兩種推導方式，可以這樣引導學生“長方形和平行四邊形的面積公式除了能計算平行四邊形和長方形的面積，還可以計算其他圖形的面積。大家可以嘗試一下……”。學生手拿長方形和平行四邊形，經過折疊、剪切逐步轉化為三角形和梯形，再總結成公式。這兩種引導方式是不應該混雜在一起呈現給學生的。

無論是那一種方法，只要真正是學生的動手操作和思維的成果——教師的責任和義務是導引而非強行推進——對學生來說都有非常重大的意義。除知識的累積外，尚有許多教師可以講清卻無法給予的心理體驗和能力。比如：

前面提到的試驗精神和以排列組合的方式對事件的發展進行調控，增強思維的有序性。

建立數學模型，把實踐問題數學化。這是許多人不了解數學為何物的關鍵之處。

估算和預想。學生拿著三角形和剪刀，不會直接下手，會先進行比對和預想：從這里下刀，向這個角度截下的角能補到哪？能把頂角補齊嗎？估計相差不大，試一下……有許多解決問題和創造活動的前期準備都是在頭腦中預演的。預演的過程雖不十分準確，但節奏快，內容多，可以跳過許多不必要的中間程序。

動手能力。這是大家都非常重視的一個詞。證據之一：小孩子在玩沙時，大人有耐心看著他們完成自己的作品，直至失去興趣。在課堂上我們為學生準備了許多學具。這些學具，是根據我們想要學生完成的操作動作精心設計的。能最大限度的體現老師的要求。學生在用學具對老師進行模仿，或參照課本完成老師的細致要求時。時常被我們的“好了！大家停一下。坐好了！”或“現在我們來看……”一類的聲音打斷。學生們一聽到這些話，就會習慣性的把手拿開放到背后。許多老師要求學生坐直，抬頭挺胸，手放背后。而且時不時來一句“看誰坐的直！”。學生坐好以后，對自己的勞動成果不再看一眼，眼睛直盯著黑板和老師。就好象桌子上什么東西都沒有，剛才自己什么也沒做過一樣。畢竟，動手能力沒有注意聽講重要。

證據之二：有時候我們會很自豪的說：如果學生不會，我就手把手地教。實際上，手把手的作用并不大：老師拿著學生的手，學生的注意和力量被分散了。老師的力量加在學生手上，學生會自然的產生反作用力。但他明白他應該順應老師所以他要控制自己的反作用力。學生的一部分精力就用在了二者的協調上。學生不可能在手把手的過程中真正體會到老師是如何用力的。感覺只能是自己產生，別人能給的只是外部刺激。手把手的好處可能是能對那些自信心不足的學生以安慰和鼓舞，以及提醒學生模仿參照老師，想象體會老師的感覺。

試驗過程中規律和直感經驗的應用和把握。在截切三角形時第一次會用較多的時間，失敗的可能性很大。第二次找截切點和角度的速度會加快。也可能，第二次還沒有進行完，學生就得出結論：這一次是失敗的，準確位置應該在那兒。速度加快和直接下刀，表明學生已經感知這個截切點的特殊性，應該就在三角形的半腰處。右邊是這樣，左邊也應該……

前三種用割補法變三角形為平行四邊形，利用的是以前的經驗，模仿的形式。想到后兩種填充法和拼接法，應該算是通過觀察問題存在的周邊環境而找到的方法，創造的成份比較多。這是把事件或問題放在背景和環境中考慮，是一種整體認知的意識和能力。既如荀子在《勸學》中說的“善假于物也”，此“物”既存于人的經驗意識和周邊環境中。

如果發揮學生的主體意識，學生找到后兩種推導方法的心理機制比較復雜，我們還難以把握。學生可能是誤打誤撞找到的，也可能是因為學生有生活方面的此類經驗，遷移能力較強。不管學生是怎樣找到的，也不論是學生的功勞還是教師的指導，這幾種方法所攜帶的辨證觀念是我們應該特別關注的。即便是因為學生的年齡特點不能給予形式內容上的加強，起碼可以給學生以精神自由和意志自由，做到不防礙它的發展。

   精神意志的自由雖不能直接激發思維和創造，卻可以產生真正的積極性和主動性。學生不把自己當學生，當成探索生活和世界的強者，教師不把自己當教師，當作合作者（尤其是備課的時候），由此思想自由而產生的創造，要比我們用裝腔作勢、花樣翻新來吸引學生注意力，以集體、榮譽、表揚、攀比、別人的眼光來束縛學生的思想，以教鞭、紀律來規范學生的言行，高潮迭起、節奏緊湊、有聲有色，學生卻象是提線木偶的課堂來得徹底、來得有效率。

阿基米德說：給我一個支點，我能把地球翹起來。找到支點和作用方式學生的力量是巨大的。學習知識、掌握技巧、提高能力的作用點不在于緊盯目標和任務，下死工夫塞到頭腦里。就好象翹起地球的支點不會在地球上，必須到太空中尋找一樣，提高學習效率的支點應該存在于學生們比太空還充實還廣漠的精神世界里。它的充實之處在于，學生能隨時找到前進道路上的踏腳基石。廣漠之處在于，學生愿意并能吸收容納更多更新的體驗。學生課堂學習的基礎是他們的精神世界，他們的精神世界植根于生活。所以說提高學習效率的根本方法從豐富多彩的生活中凝練思想。

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