抓不變量解題

抓不變量解題

有些數學應用題因為數量關系較為復雜，在進行求解時會有一定的難度，這時可抓住諸多量中一個不變的量進行分析與解答。

例1、某工程，由甲先做了12天，再由甲、乙兩人合做，完成任務時，甲做了這項工程的5/8 ，甲每天的工作量是乙的 2/3 ，如果這項工程由甲單獨做，幾天完工？

分析與解答： 從題中條件可知，這項工程在由甲先做了12天后，剩下的工程是由甲、乙兩人合做，才完成剩下的工程，甲、乙兩人做的時間是相等的，這是一個不變的量。另外由題意知道，甲每天的工作量是乙的2/3 ，因為這項工程，甲做了其中的5/8 ，乙則做了其中的：1－5/8 ＝3/8 ，在乙完成這項工程的3/8 這段時間里，甲只能完成這項工程的：3/8 × 2/3 ＝1/4 ，即可得，在甲先做的12天的這段時間里，完成了工程的：5/8－1/4 ，因此可得，甲單獨完成這項工程用的時間是：12÷（5/8 －1/4 ）= 32（天）。

例2、甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發，相向而行。出發時，甲、乙兩車的速度比是4∶3。相遇后，兩車繼續前進，乙車每小時比原來多行35千米。結果兩車同時到達目的地，求甲車每小時行多少千米？

分析與解答：甲、乙兩車同時出發，相向而行。出發時，甲、乙兩車的速度比是4∶3，到相遇時用的時間相等，因此可得，這時兩車行的路程比也是4∶3，兩車相遇后，兩車到達目的地的行程比則變為3∶4，如設乙車的速度為“1” ，則甲車的速度為4/3，設乙 車原來的速度為X，乙車現在的速度則為：X+35，甲車的速度則為4/3X，因為兩車在相遇后，又繼續前進，并且兩車同時到達目的地，這時兩車行的時間又是相等的，時間一定，路程和速度成正比例，因此可得：4∶（X+35）=3∶4/3X，解得，X=45，即乙車原來的速度為每小時行45千米，甲車的速度則為：45×4/3 = 60（千米）。

例3、把一個長25厘米，寬10厘米，高4厘米的長方體木塊鋸成若干個小正方體，然后拼成一個大正方體，求這個大正方體的表面積。

分析與解答：因為將這個長方體鋸成若干個小正方體，然后再拼成一個大正方體，這個大正方體的體積和原來長方體的體積是相等的。因此，我們可抓住大正方體的體積和原來長方體的體積相等這個關鍵進行解答。

原來長方體的體積為：25×10×4＝1000（立方厘米），因此可得，將這個長方體鋸成若干個小正方體然后再拼成一個大正方體的體積也為1000立方厘米。而1000＝10×10×10＝10 3，因此可得，這個大正方體的棱長為10厘米，這個大正方體的表面積則為：10×10×6＝600（平方厘米）。

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