與導數的函數題的統一解題技巧分析

與導數有關的函數題的統一解題技巧分析

　　與導數有關的函數題的統一解題技巧分析
　　
　　與導數有關的函數題是各省市檢測和高考年年必考的題目，形式層出不窮，絕大多數還是區分度頗高的壓軸題。許多中上水平的考生往往處理完第一問后，對第二、三問或是匆忙求導眼到手不到形成一堆爛賬，或是寫了一堆解答過程發現走進死胡同再出來，這樣做的結果往往是得分較低，浪費時間，長此以往對科學備考的負面影響較大。究其原因，很多考生表現為不知道自己“起步”錯誤，具體來說就是對哪個函數求導不明確，或為什么要構造新函數F （x）和如何構造函數F （x）不明確。本文結合近兩年的高考題，就解答與導數有關的區分度頗高的函數題，如何走好“動一發而系全身”的第一步，談如何構造函數F （x），給出程序化的構建模式，以達到“好的開始是成功的一半”的目的。
　　
　　一、與導數有關的函數題概述
　　
　　與導數有關的區分度頗高的函數題主要包括：討論含參（一元參數或二元參數）方程根的個數與范圍，含參（一元參數或二元參數）不等式的證明，求含參函數的最值或單調區間，含參（一元參數或二元參數）不等式恒成立時已知含參函數的最值或單調區間求某參數的范圍，已知含參（一元參數或二元參數）方程根的個數和范圍求某參數的范圍等。題目形式雖然千變萬化、層出不窮，但本質上就是一道題。本文為使問題說明得更加方便，不妨以 f（x）≥g（x）的形式來說明。
　　
　　二、程序化構造函數F （x）的統一模式
　　
　　1.直接法：令F （x）= f（x）-g（x）。
　　
　　2.化積法：若 f（x）-g（x）=h（x）k（x），且h（x）≥0,令F （x）= k（x）。
　　
　　3.伸縮法：若 f（x）≥ f1（x），則令F （x）= f1（x）-g（x），其中，f1（x）通常可由熟悉的不等式或前一問中的結論得出。
　　
　　4.控元法：含參問題若已給出參數k的范圍，由單調性控元、消元、消參，構建F （x）（F （x）不含參數）。
　　
　　5.分離變量法：若能分離出變量k≥k（x），則令F （x）=k（x）。
　　
　　三、程序化構造函數F （x）的統一模式在高考題中的運用
　　
　　例1 （2013年高考新課標全國Ⅱ卷理科卷第21題）已知函數f（x）=ex-ln（x+m）。
　　
　　（Ⅰ）設x=0是f（x）的極值點，求m,并討論 f（x）的單調性。
　　
　　（Ⅱ）當m≤2時，證明f（x）>0.
　　
　　（Ⅰ）解：m=1. f（x）在（-1,0）上單調遞減，在（0,+∞）上單調遞增。（解答過程省略）
　　
　　（Ⅱ）證明：當m≤2,x∈（-m,+∞）時，ln（x+2）≥ln（x+m）。記F （x）=ex-ln（x+2），則F ′（x）=ex- .
　　
　　∵F ′′（x）=ex+ >0,∴F ′（x）在（-2,+∞）上單調遞增。
　　
　　∵F ′（0）=1- >0,F ′（-1）= -1<0,即 = ,x0=-ln（x0+2），∴F （x0）= -ln（x0+2）= +x0= >0.
　　
　　當x∈（-2,x0）時，F ′（x）<0,此時函數F （x）單調遞減；當x∈（x0,+∞）時，F ′（x）>0,此時函數F （x）單調遞增。
　　
　　∴ f（x）≥F （x）≥F min（x）=F （x0）>0.
　　
　　小結 本題是一道含參不等式的證明題，考生若不假思索地直接采用構造F （x）=左-右，則在求F ′（x）=0時會走進死胡同。問題出在含參，因此應該控元，將兩個變量變為一個變量，使其常態化。
　　
　　例2 （2012年高考山東理科卷第22題）已知函數f（x）= （k為常數，e=2.71828…是自然對數的底數），曲線y= f（x）在點（1,f（1））處的切線與x軸平行。
　　
　　（Ⅰ）求k的值。
　　
　　（Ⅱ）求 f（x）的單調區間。
　　
　　（Ⅲ）設g（x）=（x2+x） f ′（x），其中 f ′（x）為 f （x）的導函數。證明：對任意x>0,g（x）<1+e-2.
　　
　　（Ⅰ）解：k=1.（解答過程省略）
　　
　　（Ⅱ）解：函數 f（x）在（0,1）上單調遞增，在（1,+∞）上單調遞減。（解答過程省略）
　　
　　（Ⅲ）證明：g（x）=（x2+x）· =（1+x）· .
　　
　　欲證g（x）<1+e-2,即證1-x（ln x+1）< （1+e-2）。①
　　
　　令F 1（x）=1-x（ln x+1），則F （x）=-ln x-2.令F （x）=0,得ln x =-2,∴x = e- 2∈（0,+∞）。
　　
　　當x∈（0,e- 2）時，F （x）>0,此時F 1（x）單調遞增；當x∈（e- 2,+∞）時，F （x）<0,此時F 1（x）單調遞減。∴F 1max（x）=F1 （e- 2）=1+e- 2.
　　
　　令F 2（x）= .∵F （x）= = > 0,∴F 2（x）在（0,+∞）上單調遞增。∴F 2（x）>F 2（0）=1.∴不等式①得證。∴ g（x）<1+e- 2（x>0）。
　　
　　小結 如何構造函數F（x），關鍵在于F ′（x）=0是否易求（或易估）。若直接求g（x），則g′（x）=0的求解將陷入泥潭。
　　
　　例3 （2012年高考遼寧理科卷第21題）設f（x）=ln（x+1）+ +ax+b（a,b∈R,a,b為常數），曲線y= f（x）與直線y= x在（0,0）點相切。
　　
　　（Ⅰ）求a,b的值。
　　
　　（Ⅱ）證明：當0  （Ⅰ）解：a=0,b=-1.（解答過程省略）
　　
　　（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知f（x）=ln（x+1）+ -1.
　　
　　∵ < （0  構造F （x）=ln（x+1）+ - ,則F ′（x）= + - = .
　　
　　當x∈（0,2）時，∵x2+15x-36<0,∴F ′（x）<0.∴F （x）單調遞減。∴F （x）  ∴ln（x+1）+ < .∴ln（x+1）+ -1< ,即f（x）< .
　　
　　小結 本題若直接對f（x）求導，則會在計算f ′（x）=0時碰壁。原因在于對 求導時，既有根式又有分式，而ln（x+1）的導數僅有分式，使得在求f ′（x）=0時眼到手不到。
　　
　　（作者單位：廈門工商旅游學校；廈門英才學校）
　　
　　（責任編校/周峰）
　　
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　　《利用二次求導巧解高考函數壓軸題》
　　
　　隨著課改的不斷深入，導數知識考查的要求逐漸加強，現在已由前幾年高考只在解決問題中起輔助作用，上升為分析與解決問題時不可缺少的工具。

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