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參數方程在解題中的廣泛應用

時間：2022-08-07 23:15:00 數學論文我要投稿

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參數方程在解題中的廣泛應用

參數方程在解析幾何中是一個十分重要的內容，而且是高中數學的一個難點。近幾年來高考對參數方程和極坐標的要求稍有降低，但是，可用參數方程求解的問題和內容有所增加且與三角函數聯系緊密。本文以具體的例子闡述參數方程的廣泛應用。

　　一、探求幾何最值問題

　　有時在求多元函數的幾何最值有困難，我們不妨采用參數方程進行轉化，化為求三角函數的最值問題來處理。

　　例1（1984年考題）　在△ABC中，∠A,∠B,∠C所對的邊分別為a、b、c，且c=10,，P為△ABC的內切圓的動點，求點P到頂點A、B、C的距離的平方和的最大值和最小值。

　　解　由，運用正弦定理，可得：

　　∵sinA·cosA=sinB·cosB

　　∴sin2A=sin2B

　　由A≠B，可得2A=π-2B。

　　∴A+B=，則△ABC為直角三角形。

　　又C=10,，可得：

　　a=6,b=8,r=2

　　如圖建立坐標系，則內切圓的參數方程為

　　所以圓上動點P的坐標為(2+2cosα,2+2sinα)，從而=80-8cosα

　　因0≤α＜2π，所以

　　例2　過拋物線　（t為參數，p＞0）的焦點作傾角為θ的直線交拋物線于A、B兩點，設0＜θ＜π，當θ取什么值時，｜AB｜取最小值。

　　解　拋物線　（t為參數）

的普通方程為=2px，其焦點為。

　　設直線l的參數方程為：

　　　（θ為參數）

代入拋物線方程＝2px得：

　　又∵0＜θ＜π

　　∴當θ=時，｜AB｜取最小值2p。

　　二、解析幾何中證明型問題

　　運用直線和圓的標準形式的參數方程中參數的幾何意義，能簡捷地解決有關與過定點的直線上的動點到定點的距離有關的問題。

　　例3　在雙曲線中，右準線與x軸交于A，過A作直線與雙曲線交于B、C兩點，過右焦點F作AC的平行線，與雙曲線交于M、N兩點，求證：｜FM｜·｜FN｜=·｜AB｜·｜AC｜（e為離心率）。

　　證明　設F點坐標為(c,0)，

　　A點坐標為(,0)。

又，設AC的傾角為α，則直線AC與MN的參數方程依次為：

　將①、②代入雙曲線方程，化簡得：

　同理，將③、④代入雙曲線方程整理得：

　　｜FM｜·｜FN｜=

∴｜FM｜·｜FN｜=｜AB｜·｜AC｜。

雙曲線的一條準線與實軸交于P點，過P點引一直線和雙曲線交于A、B兩點，又過一焦點F引直線垂直于AB和雙曲線交于C、D兩點，求證：｜FC｜·｜FD｜=2｜PA｜·｜PB｜。

　　證明　由已知可得。設直線AB的傾角為α，則直線AB

的參數方程為

　　　（t為參數）

代入，可得：

據題設得直線CD方程為　（t為參數）

代入，得：，從而得，

即得｜FC｜·｜FD｜=2｜PA｜·｜PB｜。

　　三、探求解析幾何定值型問題

　　在解析幾何中點的坐標為(x,y)，有二個變元，若用參數方程則只有一個變元，則對于有定值和最值時，參數法顯然比較簡單。

　　例5　從橢圓上任一點向短軸的兩端點分別引直線，求這兩條直線在x軸上截距的乘積。

　　解　化方程為參數方程：

　　　（θ為參數）

　　設P為橢圓上任一點，則P(3cosθ,2sinθ)。

　　于是，直線BP的方程為：

　　直線的方程為：

　　令y=0代入BP,的方程，分別得它們在x軸上的截距為和。

　　故截距之積為：（）·（）=9。

　　四、探求參數的互相制約條件型問題

　　例6　如果橢圓與拋物線=6(x-n)有公共點，試求m、n滿足

的條件。

　　分析　如果本題采用常規的代入消元法，將其轉化為關于x的一元二次方程來解，極易導致錯誤，而且很難發現其錯誤產生的原因。若運用參數方程來解，則可“輕車熟路”，直達解題終點。

　　解　設橢圓的參數方程為

　　拋物線的參數方程為

　　　（t為參數）

　　因它們相交，從而有：

　　由②得：

　　代入①得：

　　配方得：。即
　　
　　∵1≤≤9　∴-2≤n-m≤2

　　所以｜m-n｜≤2為兩曲線有公共點的條件。

注：特別地，當n=3/2時，即為廣東省1985年高考理科第34題。

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