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高等數學與小學數學的相天性
一般人認為小學數學與高等數學相差甚遠，事實上它們之間不僅在內容方面，而且在思維形式方面都存在 著密切的聯系。如果站在高等數學的高度來理解小學數學，會使人感到小學數學的博大和精深；如果能把小學 數學的內容放在高等數學這一背景中理解，從某種意義上講小學數學是高等數學的重要組成部分。如果小學數 學教師都能站在高等數學的高度來進行小學數學教學，那將會對小學生學習和理解數學概念起到非常積極的意 義。本文將從內容和思維形式兩個方面來揭示小學數學和高等數學之間的聯系。一、內容的互補性
高等數學中的一些概念是小學數學中一些量的抽象，而小學數學的內容則是高等數學中抽象概念的實例。 如果站在抽象后的高度對小學數學的內容進行解釋，那么小學數學的內容將是有序的、完整的。例如：加、減 、乘、除是小學數學主要的教學內容之一，在高等數學中則是映射（代數運算）的幾個特例而已。如果沒有小 學數學這些實例，那么就不可能理解、抽象出一般的代數運算的概念；如果在掌握了一般的代數運算的概念的 基礎上講解加、減、乘、除，就會把這些概念講活講完整。一般來講，高等數學和小學數學在內容上是從以下 四個方面進行互補的。
１．個別和一般
小學數學中有平均數的計算，平均數在高等數學中就是數學期望值的特例。如果站在數學期望的高度來講 解平均數，教師就會著重強調平均數和各個數之間差異，學生就會知道全班數學平均分數和每個學生的分數， 雖然都是分數，但是它們的意義是完全不同的。反之，如果學生只會計算平均分數，而沒有把平均分數和每個 學生的分數加以區別，那么學生只是多做了一些四則運算的習題。這樣不僅不能活躍學生的思維，而且也不利 于提高學生的學習興趣。再如小學數學中求自然數的正約數的個數問題，則是高等數學中代數基本定理的應用 ，并且求解任一正整數約數個數的計算公式，在高等數學中也有論證。
２．有限和無限
在小學數學中，一般是在有限的范圍內討論問題，有些問題則需要利用高等數學的觀點進行解釋。如小學 數學中數的認識，內容雖然簡單，但是其中數“數”及用“對等”的方法比較兩個集合之間元素個數關系問題 必須讓學生理解。這是因為數“數”的方法是高等數學中研究可列集、不可列集的基本方法；而“對等”的方 法則是比較兩個集合（有限集、無限集）之間元素個數問題的基本方法。又如，小學數學中對于“自然數是無 限的”這一結論，只有用極限的觀點來進行解釋，學生才能正確地理解這一結論。相反，如果教師沒有扎實的 高等數學根底，而是采用一些不正確的方法進行解釋，不僅不能幫助學生準確地理解“自然數是無限的”這一 結論，而且會影響學生今后對極限概念的理解。再如，在小學數學中無限循環小數和分數之間的互化問題，這 一問題是高等數學中級數概念的應用，教師在教學中通過“０．９”、“０．９９…９”和“１”之間關系的 解釋，就會讓學生再一次體會極限的概念。
３．靜止和運動
小學數學中的很多概念如果只強調結果，則是靜止的。如２＋３這一表達式，只討論其和為多少是靜止的 。如果分析這個表達形式，則是運動的。這是因為：若２＝３－１，３＝１＋２，……那么這個表達式變為： ３－１＋１＋２，……；若２、３分別表示２號房間和３號房間里人數之和，那么這個表達式的意義又不同了 。通過這一次次的變化，學生對于數學概念的理解更趨完整，這一次次的變化正是代數思想的雛型。而代數思 想是研究數學的最根本的思想之一。
４．推算和預測
小學數學中有一類問題是已知現在的值，求原來的值。例如：現對甲、乙、丙三個車間的人員進行三次調 整。第一次丙車間不動，甲、乙兩個車間中的一個車間調出８人給另一車間；第二次乙車間不動，甲、丙兩車 間中的一個車間調出８人給另一車間；第三次甲車間不動，乙、丙兩車間中的一個車間調出７人給另一車間。 三次調整后甲車間有７人，乙車間有１２人，丙車間有４人。問各車間原來有多少人。
此題若按調整先后順序來推算，將很繁瑣，而用列表進行推算則十分簡單。
人 數 甲車間 乙車間 丙車間
第三次調整后 ７ １２ ４
第二次調整后 ７ ５ １１
第一次調整后 １５ ５ ３
原來 ７ １３ ３
求解這一類問題的方法是用列表（或作圖）進行的，一般稱這種方法為倒退法。而高等數學中更多的是已 知過去和現在的值，求未來，這一類問題稱為預測，也是通過列表（或作圖）利用統計的方法進行求解的。
二、思維形式的相通性
常用的思維方法有分析和綜合、比較和分類、歸納和演繹、系統等方法。研究和學習高等數學必須以科學 的思維方法作指導，這已達成共識，而很多人則把小學數學看成是以培養技巧為主。從小學數學的內容來看， 如果不強調思維的培養，只是一味地訓練運算技巧，那么小學數學的教學將會變得非�？菰锓ξ丁Ｈ绻谛W 數學中強化科學思維的培養，那么將會產生事半功倍的效果，同時也會提高學生的學習興趣。下面分別敘述四 種常用的思維方法在小學數學和高等數學中的應用。
１．分析和綜合
分析，是將被研究對象的整體分為各個部分、方面、因素和層次，并分別加以考察，從而認識事物本質的 思維方法。綜合，是將已有的關于研究對象的各個部分、方面、因素和層次的認識聯結起來，形成對研究對象 整體性的新認識的思維方法。
分析和綜合是數學中常用的思維方法，“曹沖稱象”這則故事正是分析和綜合方法應用的實例。七歲的小 曹沖以“稱石頭代稱象”，運用的就是一種把整體分成若干較小而簡單的問題，逐個地加以解決，從而使原問 題得以解決的方法。小學數學中運用分析和綜合的方法求解的實例也很多。
例如：某一項建筑工程，由甲、乙兩隊承包，１２／５天可以完成，需支付１８００元；由乙、丙兩隊承 包，１５／４天可以完成，需支付１５００元；由甲、丙兩隊承包，２０／７天可以完成，需支付１６００元 。在保證“一個星期內完成這項工程”的前提下，選擇哪個隊單獨承包費用最少？
解答這個問題必須在“天數”和“錢數”上想辦法。由于同時兼顧二者難以下手，故采取把整體分成個體 分別求解。
從天數考慮，甲、乙、丙三隊每天共做：
（５／１２＋４／１５＋７／２０）÷２＝３１／６０
甲隊每天做：３１／６０－４／１５＝１／４
乙隊每天做：３１／６０－７／２０＝１／６
丙隊每天做：３１／６０－５／１２＝１／１０
即：單獨承包這項工程，甲、乙、丙隊分別需要４天、６天、１０天。
從錢數考慮，甲、乙、丙三隊合做一天共需支付工資：
（７５０＋４００＋５６０）÷２＝８５５（元）
甲隊每天所需：８５５－４００＝４５５（元）
乙隊每天所需：８５５－５６０＝２９５（元）
丙隊每天所需：８５５－７５０＝１０５（元）
綜合列表如下：
單獨承包需要天數 單獨承包每天工資 完成工程工資
甲 ４ ４５５元 １８２０元
乙 ６ ２９５元 １７７０元
丙 １０ １０５元 １０５０元
根據題意可知，在一個星期內完成這項工程，選擇乙隊最理想。
２．比較和分類
比較，是從具有同一性的事物間尋找其差異性，或者從具有差異性的事物間尋找其同一性的思維方法。分 類，是通過比較建立集合的思維方法。
在高等數學中可以利用同態、同構的方法把整數與多項式、矩陣與線性變換、多面體和平面圖等建立聯系 。這就是比較、分類的方法。而小學數學中在學生掌握了自然數的四則運算法則的基礎上，也是通過比較的方 法使學生掌握小數的四則運算的。
３．歸納和演繹
歸納，是從已知個別的或特殊的知識出發，概括出一般性或普遍性結論的思維方法。演繹，是從已知一般 性的或普遍性的知識出發，推斷出個別或特殊的結論的思維方法。
這一方法在小學數學和高等數學中的應用是最為廣泛的，這里就不一一例舉了。
４．系統的方法
系統的方法，就是把研究對象作為整體，從整體的部分與部分、整體與環境的相互聯系、相互作用中綜合 地考察對象的思維方法，即整體思考的思維方法。
高等數學中的集合、向量空間、群等都是系統方法的應用。在小學數學中，如果利用這一思想方法不僅可 以發展學生的思維，而且在解題時，可以化繁為簡，由此及彼。
例如：獵人甲帶著他的獵狗到１２０千米外的獵人乙家去做客，當甲出發時，乙也正好走出家門迎接甲。 甲每小時走１０千米，乙每小時走２０千米，獵狗每小時跑３０千米。當獵狗先與乙相遇后，又返回來迎接甲 ，與甲相遇后，再轉頭去迎接乙。這樣，獵狗在甲、乙之間往返奔跑。試問：當甲乙相遇時，獵狗共跑了多少 路程？
本題可以從問題的整體出發考慮，因為獵狗從出發起到甲、乙相遇止，它就以每小時３０千米的速度整整 跑了１２０÷（１０＋２０）＝４（小時），所以一共跑了３０×４＝１２０（千米）。
綜合所述，高等數學和小學數學之間確實存在著密切的聯系。如果在小學數學的教學過程中能科學地認識 高等數學與小學數學在內容上的互補性，能有意識地運用高等數學與小學數學在思維形式上的相通性，準確地 把握每個知識點的內涵和外延，融會貫通，并且積極發展學生的思維，那么將會對小學數學教學水平的提高起 到一定的推動作用。
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