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對一道思考題及其“答案”的思考
人教版小學實驗課本《數學》第六冊第１４４頁有這樣一道思考題：“在釘子板上圍圖形。通過３個釘子可圍幾種不同的形狀？通過４個釘子可以圍幾種不同的形狀？”
（附圖 {圖}）
對這道題，“教參”（人教版《小學數學第六冊教師教學用書》）給的答案（下稱“參考答案”）是：
“通過３個釘子：三角形（直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形。其中可能有等腰三角形，但不可能圍 出等邊三角形。）
通過４個釘子：四邊形（一般四邊形、正方形、長方形、平行四邊形等。）
以上每種圖形，由于大小不同，可能會有很多，只要學生圍出即可。”
下面談一談，筆者對上述思考題及參考答案的幾點思考。
思考一 參考答案對不對？
筆者認為，參考答案是有毛病的。因為：第一，小學三年級學生還沒有學習“直（銳、鈍）角三角形”和 “等腰（等邊）三角形”等概念（這些概念是四年級的學習內容）。因此他們是看不懂上述參考答案的。第二 、參考答案對“不同的形狀”的含義有曲解之嫌。我們知道，形狀相同（或不同）的圖形一般是指相似（或不 相似）的圖形，因此，對思考題所提“可以圍幾種不同的形狀”的問題，就應該理解為“可以圍幾種不相似的 圖形”。而不應該理解為“可以圍幾種不同類別的圖形”（因為同類別的圖形不一定同形狀。例如，圖１中的 ３個三角形是同屬“鈍角三角形”這一類圖形的，但卻不相似即不同形狀）。容易看出，參考答案就是這后一 種理解的產物，這樣的答案是難以令人置信的。第三、對思考題所提“可以圍幾種不同的形狀”的問題，理當 以確切的數據給予回答，但參考答案最后卻以“可能會有很多”一言以蔽之，這也是不妥的。
思考二 不同形狀知多少？
前述思考題是一個頗為復雜的問題。下面我們來看，通過３個釘子可以圍幾種不同形狀即不相似的三角形 。
為敘述方便，我們把釘子板上的釘子記為點Ａ［，ｉｊ］（下標ｉ和ｊ分別為行序號和列序號，ｉ＝１， ２，…６，ｊ＝１，２，…，６。如點Ａ［，３２］即表示位于第三行第二列的那個釘子），并把同行（列） 相鄰兩點間距離設為“１”。
可以看出，所圍三角形可分為下列幾類：
（Ⅰ）短邊長為１的三角形
（附圖 {圖}）
這類三角形為數甚多是顯然的。我們關心的是：它們共有幾種不同的形狀？這可以通過尋找“代表”（每 一種形狀找一個三角形充當“代表”）的途徑來解決。這個尋找“代表”的工作是一項十分細致且設計性很強 的工作（要保證所尋“代表”不漏不重）。此處，我們可以取以線段Ａ［，１１］Ａ［，２１］為邊、圖２中 的任一加圈點“⊙”為頂點的三角形為“代表”。容易看出，這樣的代表共有１０個，它們是互不相似即形狀 互不相同的。并且，在短邊長為１的這一類三角形中，已不再存在形狀不同于這１０個“代表”的其它三角形 了。由此可知，這類三角形共有１０種不同的形狀。
（附圖 {圖}）
在這類三角形中，不同形狀的“代表”一共也能找到１０個（以線段Ａ［，２１］Ａ［，１２］為邊、圖 ３中任一加圈點“⊙”為頂點的三角形以及△Ａ［，２２］Ａ［，４１］Ａ［，１３］、△Ａ［，２２］Ａ［ ，６１］Ａ［，１３］、△Ａ［，２３］Ａ［，５１］Ａ［，１４］、△Ａ［，２４］Ａ［，６１］Ａ［，１ ５］）。因此，這類三角形也有１０種不同的形狀。
（附圖 {圖}）
在這類三角形中，不同形狀的“代表”一共有１２個（以線段Ａ［，２１］Ａ［，１３］為邊、圖４中任 一加圈點“⊙”為頂點的三角形以及△Ａ［，１４］Ａ［，２２］Ａ［，５１］、△Ａ［，１４］Ａ［，２２ ］Ａ［，６１］、△Ａ［，１６］Ａ［，３１］Ａ［，２４］、△Ａ［，２４］Ａ［，４１］Ａ［，１６］） 。因此，這類三角形共有１２種不同的形狀。
（附圖 {圖}）
在這類三角形中，不同形狀的“代表”一共有７個（以線段Ａ［，２１］Ａ［，１４］為邊、圖５中任一 加圈點“⊙”為頂點的三角形以及△Ａ［，１５］Ａ［，２２］Ａ［，６１］、△Ａ［，１６］Ａ［，２３］ Ａ［，５１］）。因此，這類三角形共有７種不同的形狀。
（附圖 {圖}）
在這類三角形中，不同形狀的“代表”一共有３個（以線段）Ａ［，３１］Ａ［，１４］為邊、圖６中任 一加圈點“⊙”為頂點的三角形）。因此，這類三角形共３種不同的形狀。
（附圖 {圖}）
在這類三角形中，不同形狀的“代表”一共也有３個（以線段Ａ［，２１］Ａ［，１５］為邊、圖７中任 一加圈點“⊙”為頂點的三角形）。
（Ⅶ）短邊長為５的三角形
（附圖 {圖}）
這類三角形只有一種形狀，圖８中的三角形是它們的“代表”。
容易看出，通過３個釘子的三角形只有上述七類。在這七類三角形中，我們一共找到了（１０＋１０＋１ ２＋７＋３＋３＋１）即４６個“代表”。現在的問題是：在這４６個代表中，盡管“同類代表”（產生于上 述某一類三角形中的代表）的形狀是互異的，但那些“不同類代表”（產生于上述某幾類三角形中的代表）的 形狀是否互異呢？細細審察可以發現：上述（Ⅲ）中的代表△Ａ［，１３］Ａ［，２１］Ａ［，４２］、△Ａ ［，１４］Ａ［，２２］Ａ［，５１］分別與（Ⅰ）中的代表△Ａ［，１１］Ａ［，２１］Ａ［，２２］、△ Ａ［，１１］Ａ［，２１］Ａ［，３２］相似；（Ⅴ）中的代表△Ａ［，１１］Ａ［，３１］Ａ［，６３］和 （Ⅵ）中的代表△Ａ［，１５］Ａ［，２１］Ａ［，６２］均與（Ⅰ）中的代表△Ａ［，１１］Ａ［，２１］ Ａ［，２２］相似。因此，就上述七類三角形之總體而言，不同形狀的代表應該是（４６—４）即４２個。
至此即知，通過３個釘子一共可以圍４２種不同形狀的三角形。
通過４個釘子圍圖形，情況會更復雜一些，此處就不細述了。
思考三 如何處置這道題
由上述討論顯而易見，將前述思考題編排在小學三年級課本中是絕對不合適的。那么，這道題究竟如何處 置為宜呢？筆者覺得，下列幾點意見是值得考慮的。
（１）保持原題的文字部分，而將示意圖中的點由３６個改變為９個（三行三列）。將這一改編題仍舊放 在前述課本的第１４４頁作思考題；
（２）不改變示意圖，而將原題所提問題改變為“通過３（或４）個釘子可以圍出哪幾類三角（或四邊） 形？”將這一改編題放在四年級第七冊課本“練習四十一”的末尾（此時，學生剛好學習了“三角形的分類” 、一般四邊形和幾種特殊四邊形等內容）作思考題為宜；
（３）不改變示意圖，將原題中“不同的形狀”之文字改變為“互不相似的圖形”之文字，這一改編題（ 實為原題，文字上的一點變動旨在使題意明朗而避免爭議）只能編排到某些中學（甚至大學）課外讀物上去才算適宜。
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