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不能只憑想象

時間：2022-08-05 15:33:20 數學論文我要投稿

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不能只憑想象

有些貌似簡單，似乎不需要通過計算就能得出結論的問題，往往容易使你判斷失誤，造成錯解。我們先看例1。
    例1 有兩塊大小一樣的正方形鋼板，其中一塊沖出4塊大小一樣的圓形鋼片（如圖1（甲）），另一塊沖出 9塊大小一樣的圓形鋼片（如圖1（乙））。問哪一塊鋼板所剩的下腳料多？
    附圖{圖}
    乍一看，圖1（甲）所剩的下腳料多一些，因為圖1（甲）中的空隙大，而圖1（乙）中，每個圓的面積小，填補空隙的能力強，留下的空隙小，似乎很有道理，其實不然。我們先解決一個簡單的問題。如圖2，求正方形內切圓的面積占該正方形面積的百分之幾？
    a
    不妨設這個正方形的邊長為a，則其內切圓的半徑為──，
    2
    a
    3.14×（—）[2]
    2 1
    由────────────＝3.14×──＝78.5％，得正方形內
    a[2] 4
    切圓的面積占該正方形面積的78.5％。
    附圖{圖}
    現將圖1中的（甲）（乙）兩圖添作輔助線，如圖3所示：
    附圖{圖}
    令正方形鋼板的面積為S，由上例立即得到，圖3（甲）中每個圓形
    1 1
    鋼片的面積為──S×78.5％，所剩下腳料的面積為S－──S×78.5％
    4 4
    1
    ×4＝21.5％S。同理，圖3（乙）中每個圓形鋼片的面積為──S×78.5
    9
    1
    ％，所剩下腳料的面積為S－──S×78.5％×9＝21.5％S。綜上所述，
    9兩塊鋼板所剩的下腳料同樣多。
    例2 如圖4，兩只同樣大的硬幣，其中一只固定，另一只沿其周邊滾動（無滑動）。當滾動的一只硬幣沿固定的一只硬幣周邊滾過一圈回到原來的位置時，滾動的那個硬幣轉了幾周？
    附圖{圖}
    對這個問題不仔細考慮，動幣好像轉了一周。但認真加以分析，問題并不那么簡單。為了便于說明問題，在動幣圓周上取一點A（如圖4），考察A轉過的角度，每轉過一個360°為一周。現將此運動分解成兩種簡單運動。第一種運動，如圖5（甲），動幣的軸AB 的方向始終指向定幣的圓心，B點在定幣周邊上滑動一周，此時， A轉過360°；第二種運動，如圖5（乙），動幣沿著與定幣周長相等的一條線段滾動，A又轉過了360°。這樣，以上兩種運動合起來，動幣轉了2周。本題，也可以用動幣圓心軌跡的長除以動幣的周長，求出動幣轉的周數。以上結果，可通過動手操作，直接得到驗證。
    附圖{圖}
    由此看出，對一些似乎能一眼看出答案的題目，不能只憑想象，還要通過分析、計算或實際操作，從而得出正確的結論。現在，你一定能正確的判斷出圖6中從A到B 的兩條路徑（每段弧都是一個半圓）的長短，試試看。

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