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左刪失右截斷數據的分位數的固定寬度序貫置信區間估計
一、引言在生存分析研究中，一些個體生存時間的開始點在試驗開始之前，所以人們無法觀察到這些個體在進入試驗之前的數據。這樣所獲得的個體數據就是左截斷數據。如果個體一旦進入試驗，人們可能在試驗結束之前未能完全觀察到這個個體的全部過程，因此引起了右刪失的數據。這樣的左截斷右刪失數據是生存分析中常常遇到的數據之一。具體地說，設(X,T,Y)表示三維的隨機變量，其中X為感興趣的隨機變量，具有連續的分布函數F；T是左截斷隨機變量具有分布函數G，以及Y是右刪失隨機量具有分布L。假定X是與(T,Y)獨立的，但T和Y可以是相關的。所謂左截斷右刪失數據是：如果Z≥T,(Z,T,δ)是可以觀察的，其中Z=X∧Y=min(X,Y)和δ=I(X≤Y)。而當Z＜T時，人們無法觀察到任何數據。不失一般性，設α≡P(T≤Z)＞0和W表示Z的分布函數，即有1-W=(1-F)(1-L)。在文中，設(Z[,i],T[,i],δ[,i])是一列獨立同分布的觀察樣本且與(Z,T,δ),i=1,2,…,n具有相同的分布。又設表示分布函數的累積風險函數。周知，累積風險函數Λ與分布函數F是一對一的關系，具有如下表示式
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容易證明
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在左截斷右刪失數據下，固定寬度的分位數序貫置信區間估計是生存分析中的重要研究對象之一，一個例子是基于分位數估計對研究對象進行分類。有關的真實數據是心臟病的心率數據（數據見[8]），目的是進行它和正常人數據的比較，由于沒有足夠多的數據和所獲數據的不完全性，難于對分位數進行準確估計。因此準確分類也是不可能的。但一個重要而有效的解決方法是進行序貫試驗，在給定所要求的精度下，適當增加試驗樣本。在獨立同分布情況下，Choudhury,Serfling[9]研究了相類似的固定長度的序貫置信區間。在右刪失數據下，Gijbels,Veraverbeke[10,11]以及Wang,Hettmansperger[12]研究了這樣的置信區間，Gürler,Stute,Wang[4]考慮了左截斷的情況。
在生存分析中，序貫方法是生物統計中一種廣泛應用的方法之一，它的優點是節約成本和試驗時間，在試驗中可以由它來控制所需的時間和成本進行抽樣。在實際工作中，試驗者往往要求在給定的置信水平和滿足一定的精度下，對所感興趣的量進行統計估計和推斷，同時不要浪費太多的資源。因此，此時的序貫區間估計就是一種很好的選擇。具體體現是，人們首先要求統計推斷滿足一定精度，即是給定固定區間的長度，當置信水平已知（即給定某個置信水平）的情況下進行抽樣。這些方法在大多數的應用中是很乎合實際要求的。這就是所謂固定寬度的序貫置信區間估計。本文就在這方面進行研究。
為了證明分位數的固定寬度序貫置信區間的漸近性質，我們給出一個擴展的p[,n]分位估計的Bahadur的強表示定理，其中p[,n]可以是一個隨機量。當ξ[,pn]是ξ[,p]強相合估計。在某些簡單的條件下，的Bahadur表示是
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其中f=F'和R[,n]是剩余項。在下一節，我們給出剩余項R[,n]的幾乎處處漸近收斂速度，其中是一列收斂于p的隨機變量。對于特別的應用，p[,n]一般定義為乘積限估計的漸近方差的泛函。此表示定理在推導分位數估計的大樣本性質上具有廣泛的應用，此結果是[13]中重要結果的推廣。為了獲得分位數的置信區間估計，這種推廣是必要的。在此節的最后，給出相合的漸近方差估計。為方便，假設Y和T是非負的隨機變量。在本文，我們多次用到如下的積分條件，對于任意T＜T[,W]，
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根據[7]的結果，我們表述如下的引理
引理1.1 假定a[,G]＜a[,W]或a[,G]=a[,W]和(3)成立。當a[,W]＜x≤b＜b[,W]，一致地有
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其中表示概率收斂。
在右刪失數據下，Cheng[14],Aly,,Horváth[15],Lo,Singh[16]研究了Bahadur表示中剩余項R[,n](p)的幾乎處處收斂速度。Gijbels,Veraverbeke[10,11]給出了Ghosh型的弱表示定理。Zhou[17]考慮了光滑分位數估計和給出了其一致Bahadur表示定理。Padgett[18]獲得了些核光滑的分位數估計的漸近性質。Gürler,Stute,Wang[4]首先考慮了左截數據下的分位數估計的各種漸近性質。
二、Bahadure表示定理及固定長度置信區間
在這節，給出分位數估計表示式(2)的結果。為些我們需要如下的條件。
條件(i) 對于T＜T[,W]，
附圖
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雖然f的估計容易獲得，但是卷入麻煩的窗寬選擇，因此盡量不用其非參數估計。使用Y[,i]的次序統計量可以簡單地構造分位數的置信區間，克服使用f的非參數估計的窗寬選擇的麻煩。這置信區間是
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關于固定長度的序貫區間方法(11)及其所要求的隨機樣本大小τ，我們容易推導出如下定理。
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在這里，我們進行一個小的計算機模型試驗，目的是在左截斷右刪失數據下，檢驗分位數估計序貫方法的有效性，以及在給定精度下，如何有效地進行序貫試驗，即在更短的試驗時間里，獲得合乎精度要求的分位數估計。我們的隨機試驗是在如下的條件下進行的。設(X,T,Y)分別來自指數分布的隨機變量，對應于指數分布的參數分別是θ[,1],θ[,2],θ[,3]，它們的值分別取1,1.5,0.25。共進行500次試驗，每次產生樣本數分別是100,200和500。因此，在這些設計下，被刪失的數據占20%而且被截斷的占45%。獲得的結果如上表。其它參數的組合下進行了同樣的模擬試驗，所獲結果與此情況相似，故略。在此我們僅列出樣本為200的結果，其它情況略。
表中的是指數分布p-分位數的估計，對于每個分位數的序貫估計分別取3種不同的精度。d[,1]的取法是全樣本下的分位數估計值除以1.96,d[,2]是d[,1]的一半。而d[,3]是全樣本估計的標準差乘以1.96的兩倍再除于,n是全部樣本的數量。sd(Q)(se)指的是標準方差和在括號里面的是500次分位估計值的標準方差。Bias是估計相對誤差。n(d)是序貫方法所使用的樣本數。Covag是分位數估計落入95%的置信區間的次數。這個數值越靠近95%越好。從表中我們可以看出，序貫估計是相當精確的。同時，我們可以從下面p-分位數估計的直方圖中可以看出，不管是全樣本還是部分樣本的分位數估計的分布形狀近似于正態分布，而且它們是非常相近。最后，從表中看出當分位點靠近分布的尾部時，標準差估計不足，這主要是在方差估計中我們使用了(1-p)[2]這個因子。相信適當的修改改進這個估計。
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分位點p=0.5，指數分布p分位數的真值是0.6928。圖(a)是全樣本分位數估計，估計值是0.690，圖(b)是在區間長度的精度為d[,1]=0
.30下，分位數序貫估計，估計值是0.653。圖(c)是在區間長度的精度為d[,2]=0.15下，分位數序貫估計，估計值是0.653。圖(d)是在區間長度的精度為d[,3]=0.10下，分位數序貫估計，估計值是0.689。
三、定理的證明
下面的一些引理具有獨立的應用意義。首先我們擴展p-分位數的定義到p=0和p=1。
證 這個引理的證明與周勇[13]中的引理2類似，故略。
命題2.1的證明 注意到
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證 周知，僅要證明對于某個d[,0]＞0，有
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4.由引理3.5，隨機變量是一致可積的，因此(22)取均值仍成立。最后，因為一致可積性可推得，因此有Eτ＜∞,d＞0。定理2.2獲證。
【責任編輯】彭非
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