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數學教案：函數與方程

時間：2023-02-25 17:29:01 數學教案我要投稿

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數學教案：函數與方程

　　作為一無名無私奉獻的教育工作者，通常需要用到教案來輔助教學，編寫教案有利于我們弄通教材內容，進而選擇科學、恰當的教學方法。那么你有了解過教案嗎？下面是小編精心整理的數學教案：函數與方程，希望能夠幫助到大家。

數學教案：函數與方程

數學教案：函數與方程1

　　一、設計思想：

　　函數與方程是中學數學的重要內容，是銜接初等數學與高等數學的紐帶，再加上函數與方程還是中學數學四大數學思想之一，是具體事例與抽象思想相結合的體現，在教學過程中，我采用了自主探究教學法。通過教學情境的設置，讓學生由特殊到一般，有熟悉到陌生，讓學生從現象中發現本質，以此激發學生的成就感，激發學生的學習興趣和學習熱情。在現實生活中函數與方程都有著十分重要的應用，因此函數與方程在整個高中數學教學中占有非常重要的地位。

　　二、教學內容分析：

　　本節課是《普通高中課程標準》的新增內容之一，選自《普通高中課程標準實驗教課書數學I必修本（A版）》第94—95頁的第三章第一課時3、1、1方程的根與函數的的零點。

　　本節通過對二次函數的圖象的研究判斷一元二次方程根的存在性以及根的個數的判斷建立一元二次方程的根與相應的二次函數的零點的聯系，然后由特殊到一般，將其推廣到一般方程與相應的函數的情形、它既揭示了初中一元二次方程與相應的二次函數的內在聯系，也引出對函數知識的總結拓展。之后將函數零點與方程的根的關系在利用二分法解方程中（3、1、2）加以應用，通過建立函數模型以及模型的求解（3、2）更全面地體現函數與方程的關系，逐步建立起函數與方程的聯系、滲透“方程與函數”思想。

　　總之，本節課滲透著重要的數學思想“特殊到一般的歸納思想”“方程與函數”和“數形結合”的思想，教好本節課可以為學好中學數學打下一個良好基礎，因此教好本節是至關重要的。

　　三、教學目標分析：

　　知識與技能：

　　1、結合方程根的幾何意義，理解函數零點的定義；

　　2、結合零點定義的探究，掌握方程的實根與其相應函數零點之間的等價關系；

　　3、結合幾類基本初等函數的圖象特征，掌握判斷函數的零點個數和所在區間的方法

　　情感、態度與價值觀：

　　1、讓學生體驗化歸與轉化、數形結合、函數與方程這三大數學思想在解決數學問題時的意義與價值；

　　2、培養學生鍥而不舍的探索精神和嚴密思考的良好學習習慣；

　　3、使學生感受學習、探索發現的樂趣與成功感

　　教學重點：函數零點與方程根之間的關系；連續函數在某區間上存在零點的判定方法。

　　教學難點：發現與理解方程的根與函數零點的關系；探究發現函數存在零點的方法。

　　四、教學準備：

　　導學案，自主探究，合作學習，電子交互白板。

　　五教學過程設計：

　　（一）、問題引人：

　　請同學們思考這個問題。用屏幕顯示判斷下列方程是否有實根，有幾個實根？

　　學生活動：回答，思考解法。

　　教師活動：第二個方程我們不會解怎么辦？你是如何思考的？有什么想法？我們可以考慮將復雜問題簡單化，將未知問題已知化，通過對第一個問題的研究，進而來解決第二個問題。對于第一個問題大家都習慣性地用代數的方法去解決，我們應該打破思維定勢，走出自己給自己畫定的牢籠！這樣我們先把所依賴的拐杖丟掉，假如第一個方程你不會解，也不會應用判別式，你要怎樣判斷其實根個數呢？

　　學生活動：思考作答。

　　設計意圖：通過設疑，讓學生對高次方程的根產生好奇。

　　（二）、概念形成：

　　預習展示1：

　　你能通過觀察二次方程的根及相應的二次函數圖象，找出方程的根，圖象與軸交點的坐標以及函數零點的關系嗎？

　　學生活動：觀察圖像，思考作答。

　　教師活動：我們來認真地對比一下。用投影展示學生填寫表格

　　一元二次方程

　　方程的根

　　二次函數

　　函數的圖象

　　（簡圖）

　　圖象與軸交點的坐標

　　函數的零點

　　問題1：你能通過觀察二次方程的根及相應的二次函數圖象，找出方程的根，圖象與

　　軸交點的坐標以及函數零點的關系嗎？

　　學生活動：得到方程的實數根應該是函數圖象與x軸交點的橫坐標的結論。

　　教師活動：我們就把使方程成立的實數x稱做函數的零點、（引出零點的概念）

　　根據零點概念，提出問題，零點是點嗎？零點與函數方程的根有何關系？

　　學生活動：經過觀察表格，得出（請學生總結）

　　1）概念：函數的零點并不是“點”，它不是以坐標的形式出現，而是實數。例如函數的零點為x=—1，3

　　2）函數零點的.意義：函數的零點就是方程實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標、

　　3）方程有實數根函數的圖象與軸有交點函數有零點。

　　教師活動：引導學生仔細體會上述結論。

　　再提出問題：如何并根據函數零點的意義求零點？

　　學生活動：可以解方程而得到（代數法）；

　　可以利用函數的圖象找出零點、（幾何法）、

　　設計意圖：由學生最熟悉的二次方程和二次函數出發，發現一般規律，并嘗試的去總結零點，根與交點三者的關系。

　　（三）探究性質：

　　（四）探索研究（可根據時間和學生對知識的接受程度適當調整）

　　討論：請大家給方程的一個解的大約范圍，看誰找得范圍更小？

　　[師生互動]

　　師：把學生分成小組共同探究，給學生足夠的自主學習時間，讓學生充分研究，發揮其主觀能動性。也可以讓各組把這幾個題做為小課題來研究，激發學生學習潛能和熱情。老師用多媒體演示，直觀地演示根的存在性及根存在的區間大小情況。

　　生：分組討論，各抒己見。在探究學習中得到數學能力的提高

　　第五階段設計意圖：

　　一是為用二分法求方程的近似解做準備

　　二是小組探究合作學習培養學生的創新能力和探究意識，本組探究題目就是為了培養學生的探究能力，此組題目具有較強的開放性，探究性，基本上可以達到上述目的。

　　（五）、課堂小結：

　　零點概念

　　零點存在性的判斷

　　零點存在性定理的應用注意點：零點個數判斷以及方程根所在區間

　　（六）、鞏固練習（略）

數學教案：函數與方程2

　　知識與技能

　　1．結合方程根的幾何意義，理解函數零點的定義；

　　2．結合零點定義的探究，掌握方程的實根與其相應函數零點之間的等價關系；

　　3．結合幾類基本初等函數的圖象特征，掌握判斷函數的零點個數和所在區間的方法．

　　過程與方法

　　1．通過化歸與轉化思想的`引導，培養學生從已有認知結構出發，尋求解決棘手問題方法的習慣；

　　2．通過數形結合思想的滲透，培養學生主動應用數學思想的意識；

　　3．通過習題與探究知識的相關性設置，引導學生深入探究得出判斷函數的零點個數和所在區間的方法；

　　4．通過對函數與方程思想的不斷剖析，促進學生對知識靈活應用的能力．

　　情感、態度與價值觀

　　1．讓學生體驗化歸與轉化、數形結合、函數與方程這三大數學思想在解決數學問題時的意義與價值；

　　2．培養學生鍥而不舍的探索精神和嚴密思考的良好學習習慣；

　　3．使學生感受學習、探索發現的樂趣與成功感．

　　教學重點與難點

　　教學重點：零點的概念及零點存在性的判定．

　　教學難點：探究判斷函數的零點個數和所在區間的方法．

　　教學的方法與手段

　　授課類型新授課教學方法啟發式教學、探究式學習.

數學教案：函數與方程3

　　目標：

　　1.讓學生熟練掌握二次函數的圖象，并會判斷一元二次方程根的存在性及根的個數 ;

　　2.讓學生了解函數的零點與方程根的聯系 ;

　　3.讓學生認識到函數的圖象及基本性質(特別是單調性)在確定函數零點中的作用 ;

　　4。培養學生動手操作的能力。

　　二、教學重點、難點

　　重點：零點的概念及存在性的判定;

　　難點：零點的確定。

　　三、復習引入

　　例1:判斷方程 x2-x-6=0 解的存在。

　　分析：考察函數f(x)= x2-x-6, 其

　　圖像為拋物線容易看出，f(0)=-60,

　　f(4)0,f(-4)0

　　由于函數f(x)的圖像是連續曲線，因此，

　　點B (0,-6)與點C(4,6)之間的那部分曲線

　　必然穿過x軸,即在區間(0,4)內至少有點

　　X1 使f(X1)=0;同樣,在區間(-4,0) 內也至

　　少有點X2,使得f( X2)=0,而方程至多有兩

　　個解，所以在(-4,0),(0,4)內各有一解

　　定義:對于函數y=f(x),我們把使f(x)=0的實數 x叫函數y=f(x)的零點

　　抽象概括

　　y=f(x)的圖像與x軸的交點的橫坐標叫做該函數的零點,即f(x)=0的解。

　　若y=f(x)的圖像在[a,b]上是連續曲線，且f(a)f(b)0，則在(a,b)內至少有一個零點，即f(x)=0在 (a,b)內至少有一個實數解。

　　f(x)=0有實根(等價與y=f(x))與x軸有交點(等價與)y=f(x)有零點

　　所以求方程f(x)=0的根實際上也是求函數y=f(x)的零點

　　注意：1、這里所說若f(a)f(b)0,則在區間(a,b)內方程f(x)=0至少有一個實數解指出了方程f(x)=0的實數解的存在性，并不能判斷具體有多少個解;

　　2、若f(a)f(b)0,且y=f(x)在(a,b)內是單調的.，那么，方程f(x)=0在(a,b)內有唯一實數解;

　　3、我們所研究的大部分函數，其圖像都是連續的曲線;

　　4、但此結論反過來不成立，如：在[-2，4]中有根，但f(-2)0, f(4) 0，f(-2) f(4)

　　5、缺少條件在[a,b]上是連續曲線則不成立，如：f(x)=1/ x，有f(-1)xf(1)0但沒有零點。

　　四、知識應用

　　例2:已知f(x)=3x-x2 ,問方程f(x)=0在區間[-1,0]內沒有實數解?為什么?

　　解：f(x)=3x-x2的圖像是連續曲線, 因為

　　f(-1)=3-1-(-1)2 =-2/30, f(0)=30-(0)2 =-10,

　　所以f(-1) f(0) 0,在區間[-1,0]內有零點,即f(x)=0在區間[-1,0]內有實數解

　　練習：求函數f(x)=lnx+2x-6 有沒有零點?

　　例3 判定(x-2)(x-5)=1有兩個相異的實數解，且有一個大于5，一個小于2。

　　解：考慮函數f(x)=(x-2)(x-5)-1,有

　　f(5)=(5-2)(5-5)-1=-1

　　f(2)=(2-2)(2-5)-1=-1

　　又因為f(x)的圖像是開口向上的拋物線，所以拋物線與橫軸在(5，+)內有一個交點，在( -,2)內也有一個交點，所以方程式(x-2)(x-5)=1有兩個相異數解，且一個大于5，一個小于2。

　　練習：關于x的方程2x2-3x+2m=0有兩個實根均在[-1，1]內，求m的取值范圍。

　　五、課后作業

　　p133第2,3題

數學教案：函數與方程4

　　一、本課數學內容的本質、地位、作用分析

　　普通高中課標教材必修1共安排了三章內容，第一章是《集合與函數的概念》，第二章是《基本初等函數(Ⅰ)》，第三章是《函數的應用》。第三章編排了兩塊內容，第一部分是函數與方程，第二部分是函數模型及其應用。本節課方程的根與函數的零點，正是在這種建立和運用函數模型的大背景下展開的。本節課的主要教學內容是函數零點的定義和函數零點存在的判定依據，這兩者顯然是為下節“用二分法求方程近似解”這一“函數的應用”服務的，同時也為后續學習的算法埋下伏筆。由此可見，它起著承上啟下的作用，與整章、整冊綜合成一個整體，學好本節意義重大。

　　函數在數學中占據著不可替代的核心地位，根本原因之一在于函數與其他知識具有廣泛的聯系，而函數的零點就是其中的一個鏈結點,它從不同的角度,將數與形,函數與方程有機地聯系在一起。方程本身就是函數的一部分，用函數的觀點來研究方程，就是將局部放入整體中研究，進而對整體和局部都有一個更深層次的理解，并學會用聯系的觀點解決問題，為后面函數與不等式和數列等其他知識的聯系奠定基礎。

　　二、教學目標分析

　　本節內容包含三大知識點：

　　一、函數零點的定義;

　　二、方程的根與函數零點的等價關系;

　　三、零點存在性定理。

　　結合本節課引入三大知識點的方法，設定本節課的知識與技能目標如下：

　　1.結合方程根的幾何意義，理解函數零點的定義;

　　2.結合零點定義的探究，掌握方程的實根與其相應函數零點之間的等價關系;

　　3.結合幾類基本初等函數的圖象特征，掌握判斷函數的零點個數和所在區間的方法.

　　本節課是學生在學習了函數的性質，具備了初步的數形結合知識的基礎上，通過對特殊函數圖象的分析進行展開的，是培養學生“化歸與轉化思想”，“數形結合思想”，“函數與方程思想”的優質載體。

　　結合本節課教學主線的設計，設定本節課的過程與方法目標如下：

　　1.通過化歸與轉化思想的引導，培養學生從已有認知結構出發，尋求解決棘手問題方法的習慣;

　　2.通過數形結合思想的滲透，培養學生主動應用數學思想的意識;

　　3.通過習題與探究知識的相關性設置，引導學生深入探究得出判斷函數的零點個數和所在區間的方法;

　　4.通過對函數與方程思想的不斷剖析，促進學生對知識靈活應用的能力。

　　由于本節課將以教師引導，學生探究為主體形式，故設定本節課的情感、態度與價值觀目標如下：

　　1.讓學生體驗化歸與轉化、數形結合、函數與方程這三大數學思想在解決數學問題時的意義與價值;

　　2.培養學生鍥而不舍的探索精神和嚴密思考的良好學習習慣。

　　3.使學生感受學習、探索發現的樂趣與成功感。

　　三、教學問題診斷

　　學生具備的認知基礎：

　　1.基本初等函數的圖象和性質;

　　2.一元二次方程的根和相應函數圖象與x軸的聯系;

　　3.將數與形相結合轉化的意識。

　　學生欠缺的實際能力：

　　1.主動應用數形結合思想解決問題的意識還不強;

　　2.將未知問題已知化，將復雜問題簡單化的化歸意識淡薄;

　　3.從直觀到抽象的概括總結能力還不夠;

　　4.概念的內涵與外延的探究意識有待提高。

　　對本節課的教學，教材是利用一組一元二次方程和二次函數的關系來引入函數零點的。這樣處理，主要是想讓學生在原有二次函數的認知基礎上，使其知識得到自然的發生發展。理解了像二次函數這樣簡單的函數零點，再來理解其他復雜的函數零點就會容易一些。但學生對如何解一元二次方程以及二次函數的圖象早就熟練了，這樣的引入過程使學生感到平淡，激發不起他們的興趣，他們對零點的理解也只會浮于表面，也無法使其體會引入函數零點的必要性，理解不了方程根存在的本質原因是零點的存在。

　　教材是通過由直觀到抽象的過程，才得到判斷函數y=f(x)在(a，b)內有零點的'一種條件的，如果不能有效地對該過程進行引導，容易出現學生被動接受，盲目記憶的結果，而喪失了對學生應用數學思想方法的意識進行培養的機會。

　　教材中零點存在性定理只表述了存在零點的條件，但對存在零點的個數并未多做說明，這就要求教師對該定理的內涵和外延要有清晰的把握，引導學生探究出只存在一個零點的條件，否則學生對定理的內容很容易心存疑慮。

　　四、本節課的教法特點以及預期效果分析

　　本節課教法的幾大特點總結如下：

　　1.以問題為主線貫穿始終;

　　2.精心設置引導性的語言放手讓學生探究;

　　3.注重在引導學生探究問題解法的過程中滲透數學思想;

　　4.在探究過程中引入新知識點，在引入新知識點后適時歸納總結，進行探究階段性成果的應用。

　　由于所設置的主線問題具有很高的探究價值，所以預期學生熱情會很高，積極性調動起來，那整節課才能活起來;

　　由于為了更好地組織學生探究所設置的引導性語言，重在去挖掘學生內心真實的想法和他們最真實體會到的困難，所以通過學生活動會更多地暴露他們在基礎知識掌握方面的缺憾，免不了要隨時糾正對過往知識的錯誤理解;

　　因為在探究過程中不斷滲透數學思想，學生對親身經歷的解題方法就會有更深的體會，主動應用數學思想的意識在上升，對于主線問題也應該可以迎刃而解;

　　因為在探究過程中引入新知識點，學生對新知識產生的必要性會有更深刻的體會和認識，同時在新知識產生后，又適時地加以應用，學生對新知識的應用能力不斷提高。