一節(jié)習(xí)題課的嘗試

一節(jié)習(xí)題課的嘗試

一節(jié)習(xí)題課的嘗試 深圳市竹林中學(xué)/甘繼鳳 摘自：《初中數(shù)學(xué)教藝網(wǎng)》 八年級(jí)數(shù)學(xué)（下）北師大版第六章第216頁(yè)布置了兩道習(xí)題，即A組第6題和B組第2題。編者在這里設(shè)置了兩級(jí)引導(dǎo)學(xué)生探究的好臺(tái)階，提供了教師發(fā)掘教材的好機(jī)會(huì)。可是，很多師生只是把它們作為兩道習(xí)題，一解而過，而沒有去探究、去挖掘，沒有從這里體會(huì)數(shù)學(xué)曲徑通幽處的奧妙，無異于入寶山而空手歸。而我也是大姑娘上轎----頭一回嘗試去這樣上習(xí)題課。 走上講臺(tái)，我像以往一樣，面帶微笑，眼睛掃視了一遍課室。接著我先疏通有關(guān)知識(shí)，然后，出示了這樣一道題： 如圖（1），直線MA∥NB，點(diǎn)P在MA和NB之間，求證：∠APB=∠MAP+∠NBP。學(xué)生很快就作出來了。 接著，我又問當(dāng)點(diǎn)P在MA和NB之外時(shí)[如圖（2）]又會(huì)有什么結(jié)果？ 沒一會(huì)，學(xué)生就得出了結(jié)論：∠MAP=∠NBP+∠APB（證明略）。我又問當(dāng)點(diǎn)P位置不同時(shí),你們還能就本題作出什么猜想？同學(xué)們這時(shí)議論紛紛。有同學(xué)提出來：當(dāng)點(diǎn)P在MA和NB之間[如圖（3）]時(shí)，有∠MAP+∠PBN+∠APB=360°。 有同學(xué)補(bǔ)充道：當(dāng)點(diǎn)P在MA和NB之外時(shí)[如圖（4）]，有∠NBP=∠MAP+∠APB。 師：很好。請(qǐng)同學(xué)們對(duì)比圖（2）與圖（4），看看它們有什么相同和不同？ 生：雖然兩個(gè)結(jié)論形式上不一樣，但它們沒有本質(zhì)的不同。 師：可看作是同一種類型嗎？。 生：我想應(yīng)該可以。 師：那我們就把它們歸結(jié)為一種類型好了。 課上到這里，同學(xué)們認(rèn)為這道習(xí)題也差不多了。我話鋒一轉(zhuǎn)，請(qǐng)同學(xué)們?cè)傧胍幌肴绻�在MA和NB之間有兩個(gè)點(diǎn)P₁、P₂呢？你又會(huì)發(fā)現(xiàn)什么樣的結(jié)論呢？ 同學(xué)們有的盯著黑板，有的低頭思考，個(gè)個(gè)若有所思。 這時(shí)有同學(xué)悄悄說道（雖然聲音很小，但我還是聽見了）：好像有兩種不同的情況。 那請(qǐng)你們想一想，每種情況下有什么結(jié)論？ 同學(xué)們又議論開了，積極性好像比開始更高了。過了幾分鐘后，有同學(xué)舉手回答：P₁、P₂兩點(diǎn)有兩種不同的位置關(guān)系,如圖（5）和圖（6）所示： 在圖（5）中，添加了如圖所示的輔助線（用虛線表示）有∠AP₁P₂+∠P₁P₂B--∠MAP₁--∠NBP₂=180°。 以下虛線都表示輔助線，限于篇幅，證明過程這里略寫。 在圖（6）中，有∠MAP₁+∠AP₁P₂+∠P₁P₂B+∠NBP₂=540° 我說：很好！P₁、P₂兩點(diǎn)的位置還有沒有別的情況呢？ 這時(shí)，有同學(xué)補(bǔ)充道：P₁、P₂兩點(diǎn)的位置還可能是如圖（7）或圖（8）所示， 在圖（7）中，有∠NBP₂+∠P₁P₂B+∠MAP₁－∠AP₁P₂=180° 在圖（8）中，有∠MAP₁+∠AP₁P₂+∠NBP₂－∠P₁P₂B=180° 師：非常好！這兩種情況有沒有共同地方？ 一陣沉默以后，有學(xué)生答道：從式子的結(jié)構(gòu)看形式是一樣的。 那么，P₁、P₂兩點(diǎn)的位置除了在MA和NB之間外，還有沒有其他情況呢？我又問道。 學(xué)生又是議論紛紛，過了一會(huì)兒有學(xué)生說：P₁、P₂兩點(diǎn)的位置還可能是如圖（9）所示,這時(shí)有∠MAP₁+∠AP₁P₂+∠P₁P₂B－∠NBP₂=180°。當(dāng)點(diǎn)P₁、P₂在NB下面時(shí)，也有同樣的結(jié)論。 一堂課到這里時(shí)間也差不多了，所得結(jié)果早已超出了我的想象。雖然這節(jié)課只講了兩道題，但從這兩道題上學(xué)生所學(xué)到的數(shù)學(xué)方法與知識(shí)遠(yuǎn)不是兩道題這么簡(jiǎn)單。同學(xué)們積極參與，通過動(dòng)腦、動(dòng)手、自主探究、互相合作，獲得了知識(shí)，進(jìn)一步感受到了分類、歸納、對(duì)比等數(shù)學(xué)方法的魅力。這正是新課標(biāo)的目的與要求。快下課了，我要同學(xué)們簡(jiǎn)單歸納這節(jié)課的收獲就準(zhǔn)備下課，可看到同學(xué)們似乎還意猶未盡，為了進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，我又提出：如果增加到3個(gè)點(diǎn)、4個(gè)點(diǎn)……n個(gè)點(diǎn)，情況又會(huì)是怎樣的呢？有興趣的同學(xué)不妨試試看。 幾天后，幾個(gè)對(duì)數(shù)學(xué)非常感興趣的“尖子生”說他們已經(jīng)探索出了規(guī)律。現(xiàn)把他們的思想整理后在這里與大家交流。 隨著點(diǎn)的增多，并考慮到規(guī)律性，主要分為三種類型： 第一種：如圖（1）和圖（5）所示的這一類型。 當(dāng)MA和NB之間有3個(gè)點(diǎn)（1、2個(gè)點(diǎn)的情況上面已討論）P₁、P₂、P₃時(shí)，如圖（10），這時(shí)有： ∠AP₁P₂+∠P₁P₂P₃+∠P₂P₃B－∠MAP₁－∠NBP₃=360°=（3－1）180° 當(dāng)MA和NB之間有4個(gè)點(diǎn)P₁、P₂、P₃、P₄時(shí)，如圖（11） 這時(shí)有： ∠AP₁P₂+∠P₁P₂P₃+∠P₂P₃P₄+∠P₃P₄B－∠MAP₁－∠NBP₄=540°=（4－1）180°…… 依此類推，當(dāng)MA和NB之間有n個(gè)點(diǎn)P₁、P₂、P₃、P₄……P_n（順次連接點(diǎn)A、P₁、P₂、P₃、P₄……P_n、B、A所組成的多邊形為凸n邊形）時(shí),有∠AP₁P₂+∠P₁P₂P₃+∠P₂P₃P₄+……+∠P_n－1P_nB－∠MAP₁－∠NBP_n=（n－1）180°(Ⅰ)，顯然當(dāng)n=1、2時(shí)(Ⅰ)式都成立。 第二種：如圖（3）和圖（6）所示的這一類型。 當(dāng)MA和NB之間有3個(gè)點(diǎn)（1、2個(gè)點(diǎn)的情況上面已討論）P₁、P₂、P₃時(shí)，如圖（12），有∠MAP₁+∠AP₁P₂+∠P₁P₂P₃+∠P₂P₃B+∠NBP₃=720°=（3+1）180° 當(dāng)MA和NB之間有4個(gè)點(diǎn)P₁、P₂、P₃、P₄時(shí)，如圖（13），有 ∠MAP₁+∠AP₁P₂+∠P₁P₂P₃+∠P₂P₃P₄+∠P₃P₄B+∠NBP₄=900°=（4+1）180°…… 依此類推，當(dāng)MA和NB之間有n個(gè)點(diǎn)P₁、P₂、P₃、P₄……P_n（順次連接點(diǎn)A、P₁、P₂、P₃、P₄……P_n、B、A所組成的多邊形為凸n邊形）時(shí),有 ∠MAP₁+∠AP₁P₂+∠P₁P₂P₃+∠P₂P₃P₄+……+∠P_n－1P_nB+∠NBP_n=（n+1）180°(Ⅱ) 顯然當(dāng)n=1、2時(shí)(Ⅱ)式都成立。 第三種：如圖（4）和圖（9）所示的這一類型。當(dāng)MA和NB之外有3個(gè)點(diǎn)P₁、P₂、P₃時(shí)，如圖（14），有 ∠MAP₁+∠AP₁P₂+∠P₁P₂P₃+∠P₂P₃B－∠NBP₃=360°=（3－1）180° 當(dāng)MA和NB之間有4個(gè)點(diǎn)P₁、P₂、P₃、P₄時(shí)，如圖（15）有： ∠MAP₁+∠AP₁P₂+∠P₁P₂P₃+∠P₂P₃P₄+∠P₃P₄B－∠NBP₄=540°=（4－1）180°…… 依此類推，當(dāng)MA和NB之間有n個(gè)點(diǎn)P₁、P₂、P₃、P₄……P_n（順次連接點(diǎn)A、P₁、P₂、P₃、P₄……P_n、B、A所組成的多邊形為凸n邊形）時(shí),有 ∠MAP₁+∠AP₁P₂+∠P₁P₂P₃+∠P₂P₃P₄+……+∠P_n－1P_nB－∠NBP_n=（n－1）180°(Ⅲ)，顯然當(dāng)n=1、2時(shí)(Ⅲ)式都成立。 以上是我在教學(xué)中的一些收獲。雖然只是初次嘗試，甚至學(xué)生的探究結(jié)論還是不很完善，但我已經(jīng)非常滿足了！面對(duì)我們這些很一般的孩子能有這樣的“成果”，這已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出我的想象了，對(duì)我來說看著這些孩子一天天成長(zhǎng)、成熟、進(jìn)步，心里真是比吃了蜜還甜。從這節(jié)習(xí)題課的教學(xué)中讓我深深體會(huì)到，只要老師深入挖掘教材，在課堂上合理創(chuàng)設(shè)問題情境，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，敢于大膽嘗試，也許孩子們會(huì)給我們帶來更多的驚喜！讓老師和同學(xué)們都能親身經(jīng)歷成功的感覺，何樂而不為？！

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