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不等式的解法舉例
教學(xué)目標(biāo)
（1）能熟練運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)來(lái)解不等式；
（2）在鞏固一元一次不等式和一元一次不等式組、一元二次不等式的解法基礎(chǔ)上，掌握分式不等式、高次不等式的解法；
（3）能將較復(fù)雜的絕對(duì)值不等式轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的絕對(duì)值不等式、一元二次不等式（組）來(lái)解；
（4）通過(guò)解不等式，要向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、換元、分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想；
（5）通過(guò)解各種類(lèi)型的不等式，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、比較及概括能力，培養(yǎng)學(xué)生的勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．
教學(xué)建議
一、知識(shí)結(jié)構(gòu)
本節(jié)內(nèi)容是在高一研究了一元一次不等式，一元二次不等式，簡(jiǎn)單的絕對(duì)值不等式及分式不等式的解法基礎(chǔ)上，進(jìn)一步深入研究較為復(fù)雜的絕對(duì)值不等式及分式不等式的解法.求解的基本思路是運(yùn)用不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理、法則，將這些不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為一次不等式（組）或二次不等式的求解，具體地說(shuō)就是含有絕對(duì)值符號(hào)的不等式去掉絕對(duì)值符號(hào)，無(wú)理不等式有理化，分式不等式整式化，高次不等式一次化.其基本模式為：
;
;
;
二、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
本節(jié)的重點(diǎn)和一個(gè)難點(diǎn)是不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化.解不等式與解方程有類(lèi)似之處,但其二者的區(qū)別更要加以重視.解方程所產(chǎn)生的增根是可以通過(guò)檢驗(yàn)加以排除的,由于不等式的解集一般都是無(wú)限集,如果產(chǎn)生了增根卻是無(wú)法檢驗(yàn)加以排除的,所以解不等式的過(guò)程一定要保證同解,所涉及的變換一定是等價(jià)變換.在學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中另一個(gè)難點(diǎn)是不等式 的求解.這個(gè)不等式其實(shí)是一個(gè)不等式組的簡(jiǎn)化形式,當(dāng) 為一元一次式時(shí),可直接解這個(gè)不等式組,但當(dāng) 為一元二次式時(shí),就必須將其改寫(xiě)成兩個(gè)一元二次不等式的形式,分別求解在求交集.
三、教學(xué)建議
(1)在學(xué)習(xí)新課之前一定要復(fù)習(xí)舊知識(shí),包括一元二次不等式的解法,簡(jiǎn)單的絕對(duì)值不等式的解法,簡(jiǎn)單的分式不等式的解法,不等式的性質(zhì),實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則等.特別是對(duì)于基礎(chǔ)比較差的學(xué)生,這一環(huán)節(jié)不可忽視.
(2)在研究不等式 的解法之前,應(yīng)先復(fù)習(xí)解不等式組的基本思路以及不等式 的解法,然后提出如何求不等式 的解集,啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用換元思想將 替換成 ,從而轉(zhuǎn)化一元二次不等式組的求解.
(3)在教學(xué)中一定讓學(xué)生充分討論,明確不等式組“ ”中的兩個(gè)不等式的解集間的交并關(guān)系，“ ” 兩個(gè)不等式的解集間的交并關(guān)系.
(4)建議表述解不等式的過(guò)程中運(yùn)用符號(hào)“ ”.
(5)建議在研究分式不等式的解法之前,先研究簡(jiǎn)單高次不等式(一端為0,另一端是若干個(gè)一次因式乘積形式的整式)的解法.可由學(xué)生討論不同解法,師生共同比較諸法的優(yōu)劣,最后落實(shí)到區(qū)間法.
(6)分式不等式 與高次不等式 的等價(jià)原因, 可以認(rèn)為是不等式 兩端同乘以正數(shù) ,不等號(hào)不改變方向所得;也可以認(rèn)為是 與 符號(hào)相同所得.
(7)分式不等式求解時(shí)不能盲目地去分母，但當(dāng)分母恒為正數(shù)(如分母是 )時(shí)，應(yīng)將其去掉，從而使不等式化簡(jiǎn).
(8)建議補(bǔ)充簡(jiǎn)單的無(wú)理不等式 的解法,其中 為一次式.教學(xué)中先由學(xué)生研究探索得到求解的基本思路及方法,再由教師概括總結(jié),得出結(jié)論后一定要強(qiáng)調(diào)不等號(hào)的方向?qū)?sub> 的影響,即 保證了 ,而 卻不能保證這一點(diǎn),所以要分 和 兩種情況進(jìn)行討論.
(9)求解不等式不僅要重視思路的理解,更要重視表述的規(guī)范,作為教師應(yīng)給學(xué)生做出示范,學(xué)生通過(guò)模仿掌握書(shū)寫(xiě)格式,這樣才有可能保證運(yùn)算的合理性與結(jié)果的準(zhǔn)確性.
教學(xué)設(shè)計(jì)示例
分式不等式的解法
教學(xué)目標(biāo)
1．掌握分式不等式向整式不等式的轉(zhuǎn)化；
2．進(jìn)一步熟悉并掌握數(shù)軸標(biāo)根法；
3．掌握分式不等式基本解法.
教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)
重點(diǎn)是分式不等式解法
難點(diǎn)是分式不等式向整式不等式的轉(zhuǎn)化
教學(xué)方法
啟發(fā)式和引導(dǎo)式
教具準(zhǔn)備
三角板、幻燈片
教學(xué)過(guò)程（www.baimashangsha.com）
1．復(fù)習(xí)回顧：
前面，我們學(xué)習(xí)了含有絕對(duì)值的不等式的基本解法，還了解了數(shù)軸標(biāo)根法的解題思路，本節(jié)課，我們將繼續(xù)研究分式不等式的解法.
2．講授新課：
例3 解不等式 ＜0.
分析：這是一個(gè)分式不等式，其左邊是兩個(gè)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式的商，根據(jù)商的符號(hào)法則，它可以化成兩個(gè)不等式組：
因此，原不等式的解集就是上面兩個(gè)不等式組的解集的并集，此種解法從課本可以看到.
另解：根據(jù)積的符號(hào)法則，可以將原不等式等價(jià)變形為（x2－3x＋2）(x2－2x－3)＜0
即（x＋1）(x－1)(x－2)(x－3)＜0
令（x＋1）(x－1)(x－2)(x－3)=0
可得零點(diǎn)x=－1或1，或2或3，將數(shù)軸分成五部分（如圖）.
由數(shù)軸標(biāo)根法可得所求不等式解集為：
{x|－1＜x＜1或2＜x＜3}
說(shuō)明：（1）讓學(xué)生注意數(shù)軸標(biāo)根法適用條件；
（2）讓學(xué)生思考 ≤0的等價(jià)變形.
例4 解不等式 ＞1
分析：首先轉(zhuǎn)化成右端為0的分式不等式，然后再等價(jià)變形為整式不等式求解.
解：原不等式等價(jià)變形為：
－1＞0
通分整理得： ＞0
等價(jià)變形為：（x2－2x＋3）(x2－3x＋2)＞0
即：（x＋1）(x－1)(x－2)(x－3)＞0
由數(shù)軸標(biāo)根法可得所求不等式解集為：
{x|x＜－1或1＜x＜2或x＞3}
說(shuō)明：此題要求學(xué)生掌握較為一般的分式不等式的轉(zhuǎn)化與求解.
3．課堂練習(xí)：
課本P19練習(xí)1.
補(bǔ)充：（1） ≥0；
（2）x(x－3)(x＋1)(x－2)≤0.
課堂小結(jié)
通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家在進(jìn)一步掌握數(shù)軸標(biāo)根法的基礎(chǔ)上，掌握分式不等式的基本解法，即轉(zhuǎn)化為整式不等式求解.
課后作業(yè)
習(xí)題6.4 3,4.
板書(shū)設(shè)計(jì)
●教學(xué)后記
探究活動(dòng)
試一試用所學(xué)知識(shí)解下列不等式：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
答案： （1）原式
觀察這個(gè)不等式組，由于要求 ，同時(shí)要求 ，所以①式可以不解．
∴ 原式
如下圖
∴
（2）分析 當(dāng) 時(shí)，不等式兩邊平方，當(dāng) 時(shí)，在 有意義的前提下恒成立．
原式 （Ⅰ）
或（Ⅱ）
由于同時(shí)滿足（2）、（3）式，所以（1）式免解．
∴ （Ⅰ）式
（Ⅱ）式 ．
綜合（Ⅰ）、（Ⅱ），得 ．
（3）分析 當(dāng) 時(shí)，不等式兩邊平方，當(dāng) 時(shí)，原式解集為 ．
原式
觀察不等式組，設(shè)有可以免解的不等式．
原式
如下圖
∴
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