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含有絕對(duì)值的不等式
教學(xué)目標(biāo)
（1）掌握絕對(duì)值不等式的基本性質(zhì)，在學(xué)會(huì)一般不等式的證明的基礎(chǔ)上，學(xué)會(huì)含有絕對(duì)值符號(hào)的不等式的證明方法；
（2）通過(guò)含有絕對(duì)值符號(hào)的不等式的證明，進(jìn)一步鞏固不等式的證明中的由因?qū)Ч?zhí)要溯因等數(shù)學(xué)思想方法；
（3）通過(guò)證明方法的探求，培養(yǎng)學(xué)生勤于思考，全面思考方法；
（4）通過(guò)含有絕對(duì)值符號(hào)的不等式的證明，可培養(yǎng)學(xué)生辯證思維的方法和能力，以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神。
教學(xué)建議
一、知識(shí)結(jié)構(gòu)
二、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
① 本節(jié)重點(diǎn)是性質(zhì)定理及推論的證明．一個(gè)定理、公式的運(yùn)用固然重要，但更重要的是要充分挖掘吸收定理公式推導(dǎo)過(guò)程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與方法，通過(guò)證明過(guò)程的探求，使學(xué)生理清思考脈絡(luò)，培養(yǎng)學(xué)生勤于動(dòng)腦、勇于探索的精神．
② 教學(xué)難點(diǎn)一是性質(zhì)定理的推導(dǎo)與運(yùn)用；一是證明含有絕對(duì)值的不等式的方法選擇．在推導(dǎo)定理中進(jìn)行的恒等變換與不等變換，相對(duì)學(xué)生的思維水平是有一定難度的；證明含有絕對(duì)值的不等式的方法不外是比較法、分析法、綜合法以及簡(jiǎn)單的放縮變換，根據(jù)要證明的不等式選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法是無(wú)疑學(xué)生學(xué)習(xí)上的難點(diǎn)．
三、教學(xué)建議
（1）本節(jié)內(nèi)容分為兩課時(shí)，第一課時(shí)為含有絕對(duì)值的不等式性質(zhì)定理的證明及簡(jiǎn)單運(yùn)用，第二課時(shí)為含有絕對(duì)值的不等式的證明舉例．
（2）課前復(fù)習(xí)應(yīng)充分．建議復(fù)習(xí)：當(dāng) 時(shí)
；
；
以及絕對(duì)值的性質(zhì)：
，為證明例1做準(zhǔn)備．
（3）可先不給出含有絕對(duì)值的不等式性質(zhì)定理，提出問(wèn)題讓學(xué)生研究： 是否等于 ？大小關(guān)系如何？ 是否等于 ？等等．提示學(xué)生用一些數(shù)代入計(jì)算、比較，以便歸納猜想一般結(jié)論．
（4）不等式 的證明方法較多，也應(yīng)放手讓學(xué)生去探討．
（5）用向量加減法的三角形法則記憶不等式及推論 ．
（6）本節(jié)教學(xué)既要突出教師的主導(dǎo)作用，又要強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體作用，課上盡量讓全體學(xué)生參與討論，由基礎(chǔ)較差的學(xué)生提出猜想，由基礎(chǔ)較好的學(xué)生幫助證明，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)結(jié)協(xié)作的團(tuán)隊(duì)精神．
教學(xué)設(shè)計(jì)示例
含有絕對(duì)值的不等式
教學(xué)目標(biāo)
理解 及其兩個(gè)推論，并能應(yīng)用它證明簡(jiǎn)單含有絕對(duì)值不等式的證明問(wèn)題。
教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)
重點(diǎn)是理解掌握定理及等號(hào)成立的條件，絕對(duì)值不等式的證明。
難點(diǎn)是定理的推導(dǎo)過(guò)程的探索，擺脫絕對(duì)值的符號(hào)，通過(guò)定理或放縮不等式。
教學(xué)過(guò)程（www.baimashangsha.com）
一、復(fù)習(xí)引入
我們?cè)诔踔袑W(xué)過(guò)絕對(duì)值的有關(guān)概念，請(qǐng)一位同學(xué)說(shuō)說(shuō)絕對(duì)值的定義。
當(dāng) 時(shí)，則有：
那么 與 及 的大小關(guān)系怎樣？
這需要討論 當(dāng)
當(dāng)
當(dāng)
綜上可知：
我們已學(xué)過(guò)積商絕對(duì)值的性質(zhì)，哪位同學(xué)回答一下？
.
當(dāng) 時(shí)，有： 或 .
二、引入新課
由上可知，積的絕對(duì)值等于絕對(duì)值的積；商的絕對(duì)值等于絕對(duì)值的商。
那么和差的絕對(duì)值等于絕對(duì)值的和差嗎？
1．定理探索
和差的絕對(duì)值不一定等于絕對(duì)值的和差，我們猜想
.
怎么證明你的結(jié)論呢？
用分析法，要證 .
只要證
即證
即證 ，
而 顯然成立，
故
那么怎么證 ？
同樣可用分析法
當(dāng) 時(shí)，顯然成立，
當(dāng) 時(shí)，要證
只要證 ，
即證
而 顯然成立。
從而證得 .
還有別的證法嗎？（學(xué)生討論，教師提示）
由 與 得 .
當(dāng)我們把 看作一個(gè)整體時(shí)，上式逆用 可得什么結(jié)論？
。
能用已學(xué)過(guò)得的 證明 嗎？
可以 表示為 .
即 （教師有計(jì)劃地板書學(xué)生分析證明的過(guò)程）
就是含有絕對(duì)值不等式的重要定理，即 .
由于定理中對(duì) 兩個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值，那么三個(gè)實(shí)數(shù)和的絕對(duì)值呢？ 個(gè)實(shí)數(shù)和的絕對(duì)值呢？
亦成立
這就是定理的一個(gè)推論，由于定理中對(duì) 沒有特殊要求，如果用 代換 會(huì)有什么結(jié)果？（請(qǐng)一名學(xué)生到黑板演）
，
用 代 得 ，
即 。
這就是定理的推論 成立的充要條件是什么？
那么 成立的充要條件是什么？
.
例1 已知 ，求證 . （由學(xué)生自行完成，請(qǐng)學(xué)生板演）
證明：
例2 已知 ，求證 .
證明：
點(diǎn)評(píng)：這是為今后學(xué)習(xí)極限證明做準(zhǔn)備，要習(xí)慣和“配湊”的方法。
例3 求證 .
證法一：（直接利用性質(zhì)定理）在 時(shí)，顯然成立.
當(dāng) 時(shí)，左邊
.
證法二：（利用函數(shù)的單調(diào)性）研究函數(shù) 在 時(shí)的單調(diào)性。
設(shè) ，
, 在 時(shí)是遞增的.
又 ，將 ， 分別作為 和 ，則有
（下略）
證法三：（分析法）原不等式等價(jià)于 ，
只需證 ，
即證
又 ，
顯然成立.
原不等式獲證。
還可以用分析法證得 ，然后利用放縮法證得結(jié)果。
三、隨堂練習(xí)
1．①已知 ，求證 .
②已知 求證 .
2．已知 求證：
① ；
② .
3．求證 .
答案：1. 2. 略
3． 與 同號(hào)
四、小結(jié)
1．定理 . 把 、 、 看作是三角形三邊，很象三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，這樣理解便于記憶，此定理在后面學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)時(shí)，可以推廣到比較復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)，并有其幾何意義，有時(shí)也稱其為“三角形不等式”.
2．平方法能把絕對(duì)值不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式，但應(yīng)注意兩邊非負(fù)時(shí)才可平方，有些證明并不容易去掉絕對(duì)值符號(hào)，需用定理 及其推論。
3．對(duì) 要特別重視.
五、布置作業(yè)
1．若 ，則不列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．設(shè) 為滿足 的實(shí)數(shù)，那么（ ）
A． B．
C． D．
3．能使不等式 成立的正整數(shù) 的值是__________.
4．求證：
（1） ；
（2） .
5．已知 ，求證 .
答案：1． D 2． B 3．1、2、3
4．
5．
=
注：也可用分析法.
六、板書設(shè)計(jì)
6.5含有絕對(duì)值的不等式（一）
1．復(fù)習(xí)
2．定理
推論
例1
例2
例3
課堂訓(xùn)練
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