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兩條直線的位置關系
教學目標
（1）熟練掌握兩條直線平行與垂直的充要條件，能夠根據直線的方程判斷兩條直線的位置關系．
（2）理解一條直線到另一條直線的角的概念，掌握兩條直線的夾角．
（3）能夠根據兩條直線的方程求出它們的交點坐標．
（4）掌握點到直線距離公式的推導和應用．
（5）進一步掌握求直線方程的方法．
（6）進一步理解直線方程的概念，理解運用直線的方程討論兩條直線位置關系的思想方法．
（7）通過點到直線距離公式的多種推導方法的探求，培養學生發散思維能力，理解數形結合的思想方法．
教學建議
一、教材分析
1．知識結構
2．重點、難點分析
重點是兩條直線的平行與垂直的判斷；兩條直線的夾角；點到直線的距離．
難點是兩條直線垂直條件的推導；一條直線到另一條直線的角的概念和點到直線距離公式的推導．
本節內容與后邊內容聯系十分緊密，兩條直線平行與垂直的條件和點到直線的距離公式在圓錐曲線中都有廣泛的應用，因此非常重要．
（1）平行與垂直
①平行
在討論兩條直線平行的問題時，教材先假定了兩條直線有斜截式方程，根據傾斜角與斜率的對應關系，將初中學過的兩直線平行的充要條件（即判定定理和性質定理）轉化為坐標系中的語言，用斜率和截距重新加以刻畫，教學中應注意斜率不存在的情況．
②垂直
教材上將直線的斜率轉化成方向向量，然后利用向量垂直的條件推出兩條直線垂直的條件．結合斜率不存在的情況，兩條直線垂直的充要條件可敘述為：
或 一個為0，另一個不存在．
（2）夾角
①應正確區分直線 到 的角、直線 到 的角、直線 和 的夾角這三個概念．
到 的角是帶方向的角，它是指 按逆時針方向旋轉到與 重合時所轉的角，它與 到 的角是不同的，如果設前者是 ，后者是 ，則 ＋ ＝ ． 與 所夾的不大于 的角成為 和 的夾角，夾角不帶方向．
當 到 的角為銳角 時，則 和 的夾角也是 ；當 到 的角為鈍角 時，則 和 的夾角也是 ．
②在求直線 到 的角 時，應注意分析圖形的幾何性質，找出 與 ， 的傾斜角 ， 關系，得出 或 ，然后由 ， 聯想差角的正切公式，便可把圖形的幾何性質轉化為坐標語言來表示，推導出
．
再由 與 的夾角與 到 的角之間的關系，而得出夾角計算公式
這種把“形”轉化為“數”的方法，是解析幾何的基本方法，要認真揣摩．
③對于以上兩個求角公式，在解決實際問題時，要注意根據具體情況選用．
（3）交點
①求兩條直線的交點問題就是求它們的方程的公共解的問題，這可以由直線的方程與方程的直線的定義來理解．
②在同一平面內，兩條直線有三種位置關系：相交、平行、重合，相應的由直線方程組成的二元一次方程組的解有三種情況：有惟一解、無解、無數多個解．但在實際判定時，利用直線的斜率和截距更方便．若 ， ，則：
與 相交 ；
且 ；
與 重合 且 ．
（4）點到直線的距離
①點到直線的距離公式是研究點與直線位置關系的重要工具．教科書借助于直角三角形的面積公式，推導出點到直線的距離公式．在推導過程中，把與兩條坐標軸都不平行的線段的長度的計算，轉化為與坐標軸平等或垂直的線段長度的計算，從而簡化了運算過程．
②利用點到直線的距離公式可推出兩平行線 ， 間的距離公式： ．
③點到直線距離公式的推導，有多種方法，應鼓勵同學們思考，下面介紹一種較簡便的方法．
如右圖，設 ，過點 作直線 的垂線，垂足為 ，則有
即
得
，
即 ，
．
當 時，上述公式也成立．
（5）當直線中有一條沒有斜率時，討論平行、垂直、角、距離的問題，不必套用以上結論，這時可結合圖形幾何性質；直接求解．
二、教法建議
1．本節知識與初中所學的平面幾何知識和三角知識聯系非常緊密，教學時應加強啟發和引導．如學生對兩條直線的平行同位角相等的條件已經非常熟悉，因此在研究兩直線平行時，應引導學生迅速建立聯系：同位角—傾斜角—斜率（直線方程）．又如，在求 到 的角 時，根據圖形中角的關系，建立 與傾斜角 和 的聯系（有且只有 或 兩種情況），進而借助三角建立與斜率的關系，得出公式．
2．本節內容中在研究兩直線的垂直條件時，由于采用向量這一更高級的工具來處理，顯得既簡單又深刻．所以教學中應注意向量工具的運用，可讓學生嘗試用向量推導兩直線平行的條件和點到直線距離公式的推導．
3．本節內容新概念不多，但要求推導的內容不少，教學時要堅持啟發式的教學思想，重點放在思路的探求和結論或公式的運用上．本節不少內容可安排學生自學和討論，還要適當增加練習，使學生能熟練地掌握公式，增強學生動手計算的能力．本節還要加強根據已知條件求直線方程的教學．
4．不僅要使學生熟悉用斜率求兩直線夾角的公式，也要掌握根據直線方程系數求夾角的方法（即教材中例6的方法），同時會根據所給條件選用．
5．已知兩直線的方程會求其交點即可，不必研究兩直線方程系數與位置關系之間的關系．
6．在學習點到直線距離公式時，可利用課余時間發動學生尋找更多的推導公式的方法，并通過尋找多種推導公式的方法，鍛煉思維，培養能力．
7．本節學完以后學生可以解決很多較復雜、較綜合的問題，如對稱問題、直線系過定點問題、光路最短與足球射門角度最大等最值問題．教學中應適當安排一些這樣的內容，以訓練學生思維和培養學生分析問題、解決問題的能力．
教學設計方案
課題：點到直線的距離
教學目標：（1）理解點到直線距離公式的推導過程.
（2）會求點到直線的距離.
（3）在探索點到直線距離公式推導思路的過程中，培養學生發散思維、積極探索的精神.
教學用具：計算機
教學方法：啟發引導法，討論法
教學過程（www.baimashangsha.com）：
一、引入
點到直線的距離是指過點 作 的垂線， 與垂足 之間的長度
【問題1】已知點 （-1，2）和直線 ： ，求 點到直線 的距離．
（由學生分析、解答）
分析：先求出過 點和 垂直的直線：
： ，再求出 和 的交點
∴
如果把問題1一般化就有如下問題：
【問題2】已知： 和直線 ： （ 不在直線 上，且 ， ），試求 點到直線 的距離．
二、點到直線距離
分析1：要求 的長度可以象問題1的解法一樣，利用兩點的距離公式可以求 的長度．
∵ 點坐標已知，∴只要求出 點坐標就可以了．
又∵ 點是直線 和直線 的交點
又∵直線 的方程已知
∴只要求出直線 的方程就可以了.
即： ← 點坐標←直線 與直線 的交點←直線 的方程←直線 的斜率←直線 的斜率
（這一解法在課前由學生自學完成，課上進行評價總結）
問：這種解法好不好，為什么?
根據學生討論，教師適時啟發、引導，得出
分析2：如果 垂直坐標軸，則交點和距離都容易求出，那么不妨做出與坐標軸垂直的線段 和 ，如圖1所示，顯然相對而言 ，和 好求一些，事實上，設 到直線的距離為 ， 坐標為 ， 坐標為 ，則易求：
，
所以： ，
所以：
根據三角形面積公式：
所以： （至此問題2已經解決）
公式 的完善.
容易驗證（由學生完成）：
當 ，即 軸時，公式成立；
當 ，即 軸時，公式成立；
當 點在 上時，公式成立．
公式 結構特點
師生一起總結：
（1）分子是 點坐標代入直線方程；
（2）分母是直線未知數 、 系數平方和的算術根．
類似于勾股定理求斜邊的長
三、檢測與鞏固
練習1
（1） 到直線 的距離是________．
（2） 到直線 的距離是_______．
（3）用公式解 到直線 的距離是______．
（4） 到直線 的距離是_________．
訂正答案：（1）5；（2）0；（3） ；（4） ．
練習2
1．求平行直線 和 的距離．
解：在直線 上任取一點，如 ，則兩平行線的距離就是點 到直線 的距離．
因此， ＝ ＝
【問題3】
兩條平行直線的距離是否有公式可以推出呢？求兩條平行直線 與 0的距離．
解：在直線上 任取一點，如
則兩平行線的距離就是點 到直線 的距離，（如圖2）．
因此， ＝ ＝
注意：用公式時，注意一次項系數是否一致．
四、小結作業
1、點到直線的距離公式及其推導；
師生一起總結點到直線距離公式的推導過程：
2、利用公式求點到直線的距離．
3、探索兩平行直線的距離
4、探索“已知點到直線的距離及一條直線求另一條直線距離．
作業：P54 13、14、16思考研究：運用多種方法推導點到直線的距離公式．
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