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簡單的線性規(guī)劃二

時間：2022-08-17 03:40:06 高二數(shù)學教案我要投稿

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簡單的線性規(guī)劃（二）

線性規(guī)劃教學設(shè)計方案（二）

教學目標

　　鞏固二元一次不等式和二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，能用此來求目標函數(shù)的最值．

重點難點

　　理解二元一次不等式表示平面區(qū)域是教學重點．

　　如何擾實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，并給出解答是教學難點．

教學步驟

【新課引入】

　　我們知道，二元一次不等式和二元一次不等式組都表示平面區(qū)域，在這里開始，教學又翻開了新的一頁，在今后的學習中，我們可以逐步看到它的運用．

【線性規(guī)劃】

　　先討論下面的問題

　　設(shè)，式中變量x、y滿足下列條件

①

　　求z的最大值和最小值．

　　我們先畫出不等式組①表示的平面區(qū)域，如圖中內(nèi)部且包括邊界．點（0，0）不在這個三角形區(qū)域內(nèi)，當時，，點（0，0）在直線上．

　　作一組和平等的直線

　　可知，當l在的右上方時，直線l上的點滿足．

即，而且l往右平移時，t隨之增大，在經(jīng)過不等式組①表示的三角形區(qū)域內(nèi)的點且平行于l的直線中，以經(jīng)過點A（5，2）的直線l，所對應的t最大，以經(jīng)過點的直線，所對應的t最小，所以

　　在上述問題中，不等式組①是一組對變量x、y的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，所以又稱線性約束條件．

是欲達到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，叫做目標函數(shù)，由于又是x、y的解析式，所以又叫線性目標函數(shù)，上述問題就是求線性目標函數(shù)在線性約束條件①下的最大值和最小值問題．

　　線性約束條件除了用一次不等式表示外，有時也有一次方程表示．

　　一般地，求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題，滿足線性約束條件的解叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域，在上述問題中，可行域就是陰影部分表示的三角形區(qū)域，其中可行解（5，2）和（1，1）分別使目標函數(shù)取得最大值和最小值，它們都叫做這個問題的最優(yōu)解．

【應用舉例】

　　例1 解下列線性規(guī)劃問題：求的最大值和最小值，使式中的x、y滿足約束條件

　　解：先作出可行域，見圖中表示的區(qū)域，且求得．

　　作出直線，再將直線平移，當的平行線過B點時，可使達到最小值，當的平行線過C點時，可使達到最大值．

　　通過這個例子講清楚線性規(guī)劃的步驟，即：

　　第一步：在平面直角坐標系中作出可行域；

　　第二步：在可行域內(nèi)找出最優(yōu)解所對應的點；

　　第三步：解方程的最優(yōu)解，從而求出目標函數(shù)的最大值或最小值．

　　例2 解線性規(guī)劃問題：求的最大值，使式中的x、y滿足約束條件．

　　解：作出可行域，見圖，五邊形OABCD表示的平面區(qū)域．

　　作出直線將它平移至點B，顯然，點B的坐標是可行域中的最優(yōu)解，它使達到最大值，解方程組得點B的坐標為（9，2）．

　　∴

　　這個例題可在教師的指導下，由學生解出．在此例中，若目標函數(shù)設(shè)為，約束條件不變，則z的最大值在點C（3，6）處取得．事實上，可行域內(nèi)最優(yōu)解對應的點在何處，與目標函數(shù)所確定的直線的斜率有關(guān)．就這個例子而言，當的斜率為負數(shù)時，即時，若（直線的斜率）時，線段BC上所有點都是使z取得最大值（如本例）；當時，點C處使z取得最大值（比如：時），若，可請同學思考．

隨堂練習

1．求的最小值，使式中的滿足約束條件

2．求的最大值，使式中滿足約束條件

答案：1．時，．

　　　2．時，．

總結(jié)提煉

1．線性規(guī)劃的概念．

2．線性規(guī)劃的問題解法．

布置作業(yè)

1．求的最大值，使式中的滿足條件

2．求的最小值，使滿足下列條件

答案：1．

　　　2．在可行域內(nèi)整點中，點（5，2）使z最小，

探究活動

利潤的線性規(guī)劃

　　［問題］某企業(yè)1997年的利潤為5萬元，1998年的利潤為7萬元，1999年的利潤為81元，請你根據(jù)以上信息擬定兩個不同的利潤增長直線方程，從而預2001年企業(yè)的利潤，請問你幫該企業(yè)預測的利潤是多少萬？

　　［分析］首先應考慮在平面直角坐標系中如何描述題中信息：“1997年的利潤為5萬元，1998年的利潤為7萬元，1999年的利潤為8萬元”，在確定這三點坐標后，如何運用這三點坐標，是僅用其中的兩點，還是三點信息的綜合運用，運用時要注意有其合理性、思考的方向可以考慮將通過特殊點的直線、平行某個線段的直線、與某些點距離最小的直線作為預測直線等等．

　　建立平面直角坐標系，設(shè)1997年的利潤為5萬元對應的點為（0，5），1998年的利潤為 7萬元及1999年的利潤為 8萬元分別對應點（1，7）和（2，8），那么

　　①若將過兩點的直線作為預測直線，其方程為：，這樣預測2001年的利潤為13萬元．

　　②若將過兩點的直線作為預測直線，其方程為：，這樣預測2001年的利潤為11萬元．

　　③若將過兩點的直線作為預測直線，其方程為：，這樣預測2001年的利潤為10萬元．

　　④若將過及線段的中點的直線作為預測直線，其方程為：，這樣預測2001年的利潤為11．667萬元．

　　⑤若將過及的重心（注：為3年的年平均利潤）的直線作為預測直線，其方程為：，這樣預測2001年的利潤為11．667萬元．

　　⑥若將過及的重心的直線作為預測直線，其方程為：，這樣預測2001年的利潤為10．667萬元．

　　⑦若將過且以線段的斜率為斜率的直線作為預測直線，則預測直線的方程為：，這樣預測2001年的利潤為9萬元．

　　⑧若將過且以線段的斜率為斜率的直線作為預測直線，則預測直線的方程為：，這樣預測2001年的利潤為11.5萬元.

　　⑨若將過點且以線段的斜率為斜率的直線，作為預測直線，則預測直線的方程為；，這樣預測2001年的利潤為12萬元．

　　⑩若將過且以線段的斜率與線段的斜率的平均數(shù)為斜率的直線作為預測直線，則預測直線的方程為：，這樣預測2001年的利潤為12萬元．

　　如此這樣，還有其他方案，在此不—一列舉．