等比數列教案（通用15篇）
作為一位優秀的人民教師，就不得不需要編寫教案，教案有助于順利而有效地開展教學活動。快來參考教案是怎么寫的吧！下面是小編為大家收集的等比數列教案，歡迎大家分享。
等比數列教案 1
教學目標
1.理解等比數列的概念，掌握等比數列的通項公式，并能運用公式解決簡單的問題.
（1）正確理解等比數列的定義，了解公比的概念，明確一個數列是等比數列的限定條件，能根據定義判斷一個數列是等比數列，了解等比中項的概念；
（2）正確認識使用等比數列的表示法，能靈活運用通項公式求等比數列的首項、公比、項數及指定的項；
（3）通過通項公式認識等比數列的性質，能解決某些實際問題.
2.通過對等比數列的研究，逐步培養學生觀察、類比、歸納、猜想等思維品質.
3.通過對等比數列概念的歸納，進一步培養學生嚴密的思維習慣，以及實事求是的科學態度.
教材分析
（1）知識結構
等比數列是另一個簡單常見的數列，研究內容可與等差數列類比，首先歸納出等比數列的定義，導出通項公式，進而研究圖像，又給出等比中項的概念，最后是通項公式的應用.
（2）重點、難點分析
教學重點
是等比數列的定義和對通項公式的認識與應用。
教學難點
在于等比數列通項公式的推導和運用.
①與等差數列一樣，等比數列也是特殊的數列，二者有許多相同的性質，但也有明顯的區別，可根據定義與通項公式得出等比數列的`特性，這些是教學的重點.
②雖然在等差數列的學習中曾接觸過不完全歸納法，但對學生來說仍然不熟悉；在推導過程中，需要學生有一定的觀察分析猜想能力；第一項是否成立又須補充說明，所以通項公式的推導是難點.
③對等差數列、等比數列的綜合研究離不開通項公式，因而通項公式的靈活運用既是重點又是難點.
教學建議
（1）建議本節課分兩課時，一節課為等比數列的概念，一節課為等比數列通項公式的應用.
（2）等比數列概念的引入，可給出幾個具體的例子，由學生概括這些數列的相同特征，從而得到等比數列的定義.也可將幾個等差數列和幾個等比數列混在一起給出，由學生將這些數列進行分類，有一種是按等差、等比來分的，由此對比地概括等比數列的定義.
（3）根據定義讓學生分析等比數列的公比不為0，以及每一項均不為0的特性，加深對概念的理解.
（4）對比等差數列的表示法，由學生歸納等比數列的各種表示法. 啟發學生用函數觀點認識通項公式，由通項公式的結構特征畫數列的圖象.
（5）由于有了等差數列的研究經驗，等比數列的研究完全可以放手讓學生自己解決，教師只需把握課堂的節奏，作為一節課的組織者出現.
（6）可讓學生相互出題，解題，講題，充分發揮學生的主體作用.
等比數列教案 2
教學目標
1.通過教學使學生理解等比數列的概念，推導并掌握通項公式.
2.使學生進一步體會類比、歸納的思想，培養學生的觀察、概括能力.
3.培養學生勤于思考，實事求是的精神，及嚴謹的科學態度.
教學重點，難點
重點、難點是等比數列的定義的歸納及通項公式的推導.
教學用具
投影儀，多媒體軟件，電腦.
教學方法
討論、談話法.
教學過程
一、提出問題
給出以下幾組數列，將它們分類，說出分類標準.（幻燈片）
①－2，1，4，7，10，13，16，19，…
②8，16，32，64，128，256，…
③1，1，1，1，1，1，1，…
④243，81，27，9，3，1， ， ，…
⑤31，29，27，25，23，21，19，…
⑥1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…
⑦1，－10，100，－1000，10000，－100000，…
⑧0，0，0，0，0，0，0，…
由學生發表意見（可能按項與項之間的關系分為遞增數列、遞減數列、常數數列、擺動數列，也可能分為等差、等比兩類），統一一種分法，其中②③④⑥⑦為有共同性質的一類數列（學生看不出③的情況也無妨，得出定義后再考察③是否為等比數列）.
二、講解新課
請學生說出數列②③④⑥⑦的共同特性，教師指出實際生活中也有許多類似的例子，如變形蟲分裂問題.假設每經過一個單位時間每個變形蟲都分裂為兩個變形蟲，再假設開始有一個變形蟲，經過一個單位時間它分裂為兩個變形蟲，經過兩個單位時間就有了四個變形蟲，…，一直進行下去，記錄下每個單位時間的變形蟲個數得到了一列數 這個數列也具有前面的幾個數列的共同特性，這是我們將要研究的另一類數列——等比數列. （這里播放變形蟲分裂的多媒體軟件的第一步）
等比數列（板書）
1.等比數列的定義（板書）
根據等比數列與等差數列的名字的區別與聯系，嘗試給等比數列下定義.學生一般回答可能不夠完美，多數情況下，有了等差數列的基礎是可以由學生概括出來的.教師寫出等比數列的定義，標注出重點詞語.
請學生指出等比數列②③④⑥⑦各自的公比，并思考有無數列既是等差數列又是等比數列.學生通過觀察可以發現③是這樣的數列，教師再追問，還有沒有其他的例子，讓學生再舉兩例.而后請學生概括這類數列的'一般形式，學生可能說形如 的數列都滿足既是等差又是等比數列，讓學生討論后得出結論：當 時，數列 既是等差又是等比數列，當 時，它只是等差數列，而不是等比數列.教師追問理由，引出對等比數列的認識：
2.對定義的認識（板書）
（1）等比數列的首項不為0；
（2）等比數列的每一項都不為0，即 ；
問題：一個數列各項均不為0是這個數列為等比數列的什么條件？
（3）公比不為0.
用數學式子表示等比數列的定義.
是等比數列
①.在這個式子的寫法上可能會有一些爭議，如寫成 ，可讓學生研究行不行，好不好；接下來再問，能否改寫為 是等比數列 ？為什么不能？
式子 給出了數列第 項與第 項的數量關系，但能否確定一個等比數列？（不能）確定一個等比數列需要幾個條件？當給定了首項及公比后，如何求任意一項的值？所以要研究通項公式.
3.等比數列的通項公式（板書）
問題：用 和 表示第 項 .
①不完全歸納法
②疊乘法
這 個式子相乘得 ，所以 .
（板書）（1）等比數列的通項公式
得出通項公式后，讓學生思考如何認識通項公式.
（板書）（2）對公式的認識
由學生來說，最后歸結：
①函數觀點；
②方程思想（因在等差數列中已有認識，此處再復習鞏固而已）.
這里強調方程思想解決問題.方程中有四個量，知三求一，這是公式最簡單的應用，請學生舉例（應能編出四類問題）.解題格式是什么？（不僅要會解題，還要注意規范表述的訓練）
如果增加一個條件，就多知道了一個量，這是公式的更高層次的應用，下節課再研究.同學可以試著編幾道題.
三、小結
1.本節課研究了等比數列的概念，得到了通項公式；
2.注意在研究內容與方法上要與等差數列相類比；
3.用方程的思想認識通項公式，并加以應用.
四、作業（略）
五、板書設計
等比數列教案 3
一、教材分析
1、從在教材中的地位與作用來看
《等比數列的前n項和》是數列這一章中的一個重要內容，從教材的編寫順序上來看，等比數列的前n項和是第三章“數列”第五節的內容，一方面它是“等差數列的前n項和”與“等比數列”內容的延續、與前面學習的函數等知識也有著密切的聯系，另一方面它又為進一步學習“數列的極限”等內容作準備。就知識的應用價值上來看，它不僅在現實生活中有著廣泛的實際應用，如儲蓄、分期付款的有關計算等等，而且公式推導過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學生今后學習和工作中必備的數學素養。就內容的人文價值上來看，等比數列的前n項和公式的探究與推導需要學生觀察、分析、歸納、猜想，有助于培養學生的創新思維和探索精神，是培養學生應用意識和數學能力的良好載體。
2、從學生認知角度來看
從學生的思維特點看，很容易把本節內容與等差數列前n項和從公式的形成、特點等方面進行類比，這是積極因素，應因勢利導、不利因素是：本節公式的推導與等差數列前n項和公式的推導有著本質的不同，這對學生的思維是一個突破，另外，對于q = 1這一特殊情況，學生往往容易忽視，尤其是在后面使用的過程中容易出錯。
3、學情分析
教學對象是剛進入高中的學生，雖然具有一定的分析問題和解決問題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但由于年齡的原因，對問題的分析缺乏深刻性和嚴謹性。
4、重點、難點
教學重點：公式的推導、公式的特點和公式的運用。
教學難點：公式的推導方法和公式的靈活運用。
公式推導所使用的“錯位相減法”是高中數學數列求和方法中最常用的方法之一，它蘊含了重要的數學思想，所以既是重點也是難點。
二、目標分析
1、知識與技能目標：理解等比數列的前n項和公式的推導方法；掌握等比數列的前n項和公式并能運用公式解決一些簡單問題。
2、過程與方法目標：通過公式的推導過程，培養學生猜想、分析、綜合的思維能力，提高學生的建模意識及探究問題、分析與解決問題的能力，體會公式探求過程中從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想及轉化思想，優化思維品質。
3、情感態度與價值觀：通過經歷對公式的探索，激發學生的求知欲，鼓勵學生大膽嘗試、勇于探索、敢于創新，磨練思維品質，從中獲得成功的體驗，感受思維的奇異美、結構的對稱美、形式的簡潔美、數學的嚴謹美。用數學的觀點看問題，一些所謂不可理解的事就可以給出合理的解釋，從而幫助我們用科學的態度認識世界。
三、教學方法與教學手段
本節課屬于新授課型，主要利用計算機和實物投影等輔助教學，采用啟發探究，合作學習，自主學習等的教學模式。
四、教學過程分析
學生是認知的主體，也是教學活動的主體，設計教學過程必須遵循學生的認知規律，引導學生去經歷知識的形成與發展過程，結合本節課的特點，我按照自主學習的教學模式來設計如下的教學過程，目的是在教學過程中促使學生自主學習，培養自主學習的習慣和意識，形成自主學習的能力。
1、創設情境，提出問題
在古印度，有個名叫西薩的人，發明了國際象棋，當時的印度國王大舍罕為贊賞，對他說：我可以滿足你的任何要求。西薩說：請給我棋盤的64個方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64格。國王覺得太容易了，就同意了他的要求。國王令宮廷數學家計算，結果出來后，國王大吃一驚。為什么呢？大家想一下，這個國王能夠滿足宰相的要求嗎？
【教師提問】
同學們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？引導學生寫出麥粒總數。帶著這樣的問題，學生會動手算了起來，他們想到用計算器依次算出各項的值，然后再求和、這時我對他們的這種思路給予肯定。
2、學生探究，解決情境
263在肯定他們的思路后，我接著問：1，2，2，2是什么數列？有何特征？應歸結為什么數學問題呢？
探討1：，記為（1）式，注意觀察每一項的特征，有何聯設s=1+2+22+23++26364系？（學生會發現，后一項都是前一項的2倍）
探討2：如果我們把每一項都乘以2，就變成了它的后一項，（1）式兩邊同乘以2則2s64=2+22+23++263+264，記為（2）式、比較（1）（2）兩式，你有什么發現？有
【設計意圖】留出時間讓學生充分地比較，等比數列前n項和的公式推導關鍵是變“加”為“減”，在教師看來這是很顯然的事，但在學生看來卻是“不可思議”的，因此教學中應著力在這兒做文章，從而培養學生的辯證思維能力。
解決情境問題：經過比較、研究，學生發現：（1）、（2）兩式有許多相同的項，把兩式相減，相同的項就可以消去了，得到：。老師強調指出：這就是錯位相減法，并2要求學生縱觀全過程，反思：為什么（1）式兩邊要同乘以2呢？
【設計意圖】經過繁難的計算之苦后，突然發現上述解法，不禁驚呼：真是太簡潔了，讓學生在探索過程中，充分感受到成功的情感體驗，從而增強學習數學的興趣和學好數學的信心，同時也為推導一般等比數列前n項和提供了方法。
3、類比聯想，解決問題
這時我再順勢引導學生將結論一般化，設等比數列為an，公比為q，如何求它的前n項和？讓學生自主完成，然后對個別學生進行指導。
一般等比數列前n項和：Sna1a2a3an1an？
即Sna1a1qa1q2a1qn2a1qn1？
方法1：錯位相減法
2n2a1qn1Sna1a1qa1qa1q 23n1na1qqSna1qa1qa1qa1qa1（1qn）（1q）Sna1a1q1q這里的q能不能等于1？等比數列中的公比能不能為1？q=1時是什么數列？此時sn=？
na1（1qn）Sn1qna1q1
q1na1a1qn在學生推導完成之后，我再問：由（1q）Sna1a1q得Sn
1q【設計意圖】在教師的'指導下，讓學生從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，讓學生自己探究公式，從而體驗到學習的愉快和成就感。
4、討論交流，延伸拓展
探究等比數列前n項和公式，還有其它方法嗎？我們知道，sn=a1+a1q+a1q2++a1qn—1=a1+q（a1+a1q++a1qn—2）那么我們能否利用這個關系而求出Sn呢？方法2：提取公比q Sna1a1qa1q2a1qn2a1qn1 a1q（a1a1qa1qn2）a1q（Sna1qn1）（1q）Sna1a1qn
根據等比數列的定義又有呢？
方法3：利用等比定理
a2a3a4an=====q，能否聯想到等比定理從而求出sna1a2a3an—13
aaa2a34nq a1a2a3an1a2a3anSa1qn（1q）Sna1anq
Saa1a2an1nn
【設計意圖】以疑導思，激發學生的探索欲望，營造一個讓學生主動觀察、思考、討論的氛圍。以上兩種方法都可以化歸到Sna1qsn1，這其實就是關于Sn的一個遞推式，遞推數列有非常重要的研究價值，是研究性學習和課外拓展的極佳資源，它源于課本，又高于課本，對學生的思維發展有促進作用。領悟數學應用價值，從特殊到一般，從模仿到創新，有利于學生的知識遷移和能力提高。
5、鞏固提高，深化認識
（1）口答：
在公比為q的等比數列{an}中
若a12，q1，則Sn________，若a11，q1，則Sn________ 33若a1=—15，a4=96，求q及S4，若a31，S34（2）判斷是非：
1（12n）①1248（2）
（）12n23n1（12）②12222
（）
12③若c0且c1，則
n1121，求a1及q。2cccc2462nc2[1（c2）n]1c
2（）
【設計意圖】對公式的再認識，剖析公式中的基本量及結構特征，識記公式，并加強計算能力的訓練。
6、例題講解，形成技能
例1、求和
1aaaa
1111例2、求等比數列，的第5項到第10項的和。
24816方法1：觀察、發現：a5a6a10S10S4。
方法2：此等比數列的連續項從第5項到第10項構成一個新的等比數列：首項為a516，公比為q2，項數為n6。
23n1111變式1：求11，2，3，4，5的前n項和、248163212345變式2：求，的前n項和。
2481632【設計意圖】采用變式教學設計題組，深化學生對公式的認識和理解，通過直接套用公4式、變式運用公式、研究公式特點這三個層次的問題解決，促進學生新的數學認知結構的形成、通過以上形式，讓全體學生都參與教學，以此培養學生自主學習的意識、解題時，以學生分析為主，教師適時給予點撥。
7。總結歸納，加深理解
以問題的形式出現，引導學生回顧公式、推導方法，鼓勵學生積極回答，然后老師再從知識點及數學思想方法兩方面總結。
【設計意圖】以此培養學生的口頭表達能力，歸納概括能力。
8、課后作業，分層練習
必做：P129練習3（1）習題3、5第1題選作：思考題（1）：求和x+2x2+3x3++nxn。（2）畫一個邊長為2cm的正方形，再將這個正方形各邊的中點相連得到第2個正方形，依此類推，這樣一共畫了10個正方形，求這10個正方形的面積的和。
【設計意圖】布置彈性作業以使各個層次的學生都有所發展。讓學有余力的學生有思考的空間，便于學生開展自主學習。
五、評價分析
本節課通過三種推導方法的研究，使學生從不同的思維角度掌握了等比數列前n項和公式。錯位相減：變加為減，等價轉化；遞推思想：縱橫聯系，揭示本質；等比定理：回歸定義，自然樸實、學生從中深刻地領會到推導過程中所蘊含的數學思想，培養了學生思維的深刻性、敏銳性、廣闊性、批判性。同時通過精講一題，發散一串的變式教學，使學生既鞏固了知識，又形成了技能，在此基礎上，通過民主和諧的課堂氛圍，培養了學生自主學習、合作交流的學習習慣，也培養了學生勇于探索、不斷創新的思維品質，形成學習能力。
六、教學設計說明
1、情境設置生活化。本著新課程的教學理念，考慮到高一學生的心理特點以及初、高中教學的銜接，讓學生學生初步了解“數學來源于生活”，采用故事的形式創設問題情景，意在營造和諧、積極的學習氣氛，激發學生主動探究的欲望。
2、問題探究活動化。
教學中本著以學生發展為本的理念，充分給學生想的時間、說的機會以及展示思維過程的舞臺，通過他們自主學習、合作探究，展示學生解決問題的思想方法，共享學習成果，體驗數學學習成功的喜悅。通過師生之間不斷合作和交流，發展學生的數學觀察能力和語言表達能力，培養學生思維的發散性和嚴謹性。
3、辨析質疑結構化。
在理解公式的基礎上，及時進行正反兩方面的“短、平、快”填空和判斷是非練習。通過總結、辨析和反思，強化了公式的結構特征，促進學生主動建構，有助于學生形成知識模塊，優化知識體系。
4、鞏固提高梯度化。
例題通過公式的正用和逆用進一步提高學生運用知識的能力；由教科書中的例題改編而成，并進行適當的變式，可以提高學生的模式識別的能力，培養學生思維的深刻性和靈活性。
5、思路拓廣數學化。
從整理知識提升到強化方法，由課內鞏固延伸到課外思考，變“知識本位”為“學生本位”，使數學學習成為提高學生素質的有效途徑。以生活中的實例作為思考，讓學生認識到數學來源于生活并應用于生活，生活中處處有數學。
6、作業布置彈性化。
通過布置彈性作業，為學有余力的學生提供進一步發展的空間，有利于豐富學生的知識，拓展學生的視野，提高學生的數學素養。
等比數列教案 4
教學目標
熟悉與數列知識相關的背景，如增長率、存款利息等問題，提高學生閱讀理解能力、抽象轉化的能力以及解答實際問題的能力，強化應用儀式。
教學重難點
熟悉與數列知識相關的背景，如增長率、存款利息等問題，提高學生閱讀理解能力、抽象轉化的能力以及解答實際問題的能力，強化應用儀式。
教學過程
【復習要求】熟悉與數列知識相關的背景，如增長率、存款利息等問題，提高學生閱讀理解能力、抽象轉化的能力以及解答實際問題的能力，強化應用儀式。
【方法規律】應用數列知識界實際應用問題的關鍵是通過對實際問題的綜合分析，確定其數學模型是等差數列，還是等比數列，并確定其首項，公差或公比等基本元素，然后設計合理的計算方案，即數學建模是解答數列應用題的關鍵。
一、基礎訓練
1、某種細菌在培養過程中，每20分鐘一次一個為兩個，經過3小時，這種細菌由1個可繁殖成
A、511 B、512 C、1023 D、1024
2、若一工廠的生產總值的.月平均增長率為p，則年平均增長率為
A、B、C、D、
二、典型例題
例1：某人每期期初到銀行存入一定金額A，每期利率為p，到第n期共有本金nA，第一期的利息是nAp，第二期的利息是n—1Ap……，第n期即最后一期的利息是Ap，問到第n期期末的本金和是多少？
評析：此例來自一種常見的存款叫做零存整取。存款的方式為每月的某日存入一定的金額，這是零存，一定時期到期，可以提出全部本金及利息，這是整取。計算本利和就是本例所用的有窮等差數列求和的方法。用實際問題列出就是：本利和=每期存入的金額[存期+1/2存期存期+1利率]
例2：某人從1999到20xx年間，每年6月1日都到銀行存入m元的一年定期儲蓄，若每年利率q保持不變，且每年到期的存款本息均自動轉為新的一年定期，到20xx年6月1日，此人到銀行不再存款，而是將所有存款的本息全部取回，則取回的金額是多少元？
例3、某地區位于沙漠邊緣，人與自然進行長期頑強的斗爭，到1999年底全地區的綠化率已達到30%，從2000年開始，每年將出現以下的變化：原有沙漠面積的16%將栽上樹，改造為綠洲，同時，原有綠洲面積的4%又被侵蝕，變為沙漠。問經過多少年的努力才能使全縣的綠洲面積超過60%。
例4、流行性感冒簡稱流感是由流感病毒引起的急性呼吸道傳染病。某市去年11月分曾發生流感，據資料記載，11月1日，該市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于該市醫療部門采取措施，使該種病毒的傳播得到控制，從某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染著減少30人，到11月30日止，該市在這30天內感染該病毒的患者共有8670人，問11月幾日，該市感染此病毒的新的患者人數最多？并求這一天的新患者人數。
等比數列教案 5
【教學目標】
知識目標：正確理解等比數列的定義，了解公比的概念，明確一個數列是等比數列的限定條件，能根據定義判斷一個數列是等比數列，了解等比數列在生活中的應用。
能力目標：通過對等比數列概念的歸納，培養學生嚴密的思維習慣；通過對等比數列的研究，逐步培養學生觀察、類比、歸納、猜想等思維能力并進一步培養學生善于思考，解決問題的能力。
情感目標：培養學生勇于探索、善于猜想的學習態度，實事求是的科學態度，調動學生的積極情感，主動參與學習，感受數學文化。
【教學重點】
等比數列定義的'歸納及運用。
【教學難點】
正確理解等比數列的定義，根據定義判斷或證明某些數列是否為等比數列
【教學手段】
多媒體輔助教學
【教學方法】
啟發式和討論式相結合，類比教學.
【課前準備】
制作多媒體課件，準備一張白紙，游標卡尺。
【教學過程】
【導入】
復習回顧：等差數列的定義。
創設問題情境，三個實例激發學生學習興趣。
1、 利用游標卡尺測量一張紙的厚度.得數列a，2a，4a，8a，16a，32a.(a>0)
2、 一輛汽車的售價約15萬元，年折舊率約為10%，計算該車5年后的價值。得到數列 15 ，15×0.9 ，15×0.92 ，15×0.93 ，…，15×0.95。
3、 復利存款問題，月利率5%，計算10000元存入銀行1年后的本利和。得到數列10000×1.05，10000×1.052，…，10000×1.0512.
學生探究三個數列的共同點，引出等比數列的定義。
【新課講授】
由學生根據共同點及等差數列定義，自己歸納等比數列的定義，再由老師分析定義中的關鍵詞句，并啟發學生自己發現等比數列各項的限制條件：等比數列各項均不為零，公比不為零。
等差數列:
一般地，如果一個數列從第二項起，每一項減去它的前一項所得的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，通常用d表示.數學表達式： an+1-an=d
等比數列:
一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列就叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，通常用q表示.數學表達式： anx1anxq
知曉定義的基礎上，帶領學生看書p29頁，書上前面出現的關于等比數列的實例。讓學生了解等比數列在實際生活中的應用很廣泛，要認真學好。
在學生對等比數列的定義有了初步了解的基礎上，講解例一。給出具體的數列，會利用定義判斷是否為等比數列。對（1）（5）兩小題著重分析.
等比數列教案 6
一、教學內容：
等差、等比數列的綜合應用
二、教學目標：
綜合運用等差、等比數列的定義式、通項公式、性質及前n項求和公式解決相關問題.
三、要點：
（一）等差數列
1. 等差數列的前 項和公式1：
2. 等差數列的前 項和公式2：
3. （m， n， p， q ∈N ）
5. 對等差數列前n項和的最值問題有兩種：
（1）利用 >0，d<0，前n項和有最大值，可由 ≤0，求得n的值。
當 ≤0，且 二次函數配方法求得最值時n的值。
（二）等比數列
1、等比數列的前n項和公式：
∴當 ① 或 ②
當q=1時， 時，用公式②
2、 是等比數列 不是等比數列
②當q≠－1或k為奇數時， 仍成等比數列
3、等比數列的性質：若m n=p k，則
【典型例題
例1. 在等差數列{ ＋ ＋ ＋ 。
解：由等差中項公式： ＋ ， ＝2 ＋ ＋ ＝450， ＋ ＝180
＝（ ＋ ＋ ）＋（ ）＋＝9 為 項的和。
解：（用錯項相消法）
①-② 時，當 時，例3. 設數列 項之和為 ，若 ，問：數列 ，∴
即： ，∴ ，∴即：
例4. 設首項為正數的等比數列，它的前 項之和為80，前 項中數值最大的項為54，求此數列。
解：由題意
代入（1）， ，從而
∴ 項中數值最大的項應為第 項
∴ ∴
∴
∴此數列為
例5. 求集合M={mm=2n－1，n∈N，且m＜60＝的元素個數及這些元素的和。
，又∵n∈N
∴滿足不等式n＜ = =900
答案：集合M中一共有30個元素，其和為900。
【模擬
1. 已知等比數列的公比是2，且前四項的和為1，那么前八項的和為 （ ）
A. 15 B. 17 C. 19 D. 21
2. 已知數列{an=3n－2，在數列{an}中取ak2，akn ，… 成等比數列，若k1=2，k2=6，則k4的值 （ ）
A. 86 B. 54 C. 160 D. 256
3. 數列A. 750 B. 610 C. 510 D. 505
4.<0的最小的`n值是 （ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
5. 若一個等差數列前3項的和為34，最后3項的和為146，且所有項的和為390，則這個數列有 （ ）
A. 13項 B. 12項 C. 11項 D. 10項
6. 數列 并且 。則數列的第100項為（ ）
A. C. 7. 在等差數列{ ＝－15，公差d＝3，求數列{ 的元素個數，并求這些元素的和。
9. 設
（1）問數列 是否是等差數列？（2）求 ＝ ＋3d，∴ －15＝ ＋9， ＝－24，∴ ＝－24n＋ ＝ [（n－ － 最小時， 最小，即當n＝8或n＝9時， ＝－108最小
等比數列教案 7
教學內容：
人教版小學數學教材六年級下冊第107～108頁例2及相關練習。
教學目標：
1、在學習過程中引導學生探索研究數與形之間的聯系，尋找規律，發現規律，學會利用圖形來解決一些有關數的問題。
2、讓學生經歷猜想與驗證的過程，體會和掌握數形結合、歸納推理、極限等基本數學思想。
重點難點：
探索數與形之間的聯系，尋找規律，并利用圖形來解決有關數的問題。
教學準備：
教學課件。
教學過程：
一、直接導入，揭示課題
同學們，上節課我們探究了圖形中隱藏的數的規律，今天我們繼續研究有關數與圖形之間的聯系。（板書課題：數與形）
【設計意圖】直奔主題，簡潔明了，有利于學生清楚本節課學習的內容和方向。
二、探索發現，學習新知
（一）教師與學生比賽算題
1、教師：你知道等于多少嗎？（學生：）
教師：那等于多少呢？（學生計算需要時間）教師緊接著說：我已經算好了，是，不信你算算。
2、只要按照這個分子是1，分母依次擴大2倍的規律寫下去，不管有多少個分數相加，我都能立馬算出結果。有的同學不相信是嗎？咱們試試就知道。為了方便，我請我們班計算最快的同學跟我一起算，看看結果是否相同。誰來出題？
在學生出題后，老師都能立刻算出結果，并且是正確的，學生感到很驚奇。
3、知道我為什么算得那么快嗎？因為我有一件神秘的法寶，你們也想知道嗎？
【設計意圖】一方面，教師通過與學生比賽計算速度，且每次老師勝利，使學生產生好奇心，再通過教師幽默的語言，吸引學生的注意力，激發學生的學習興趣和求知欲。另一方面，為接下來學習例題做好鋪墊。
（二）借助正方形探究計算方法
1、這件法寶就是（師邊說邊課件出示一個正方形），讓我們來把它變一變，聰明的同學們一定能看明白是怎么回事了。
2、進行演示講解。
（1）演示：用一個正方形表示“1”，先取它的一半就是正方形的（涂紅），再剩下部分的一半就是正方形的（涂黃）。
想一想：正方形中表示的涂色部分與空白部分和整個正方形之間有什么關系呢？（涂色部分等于“1”減去空白部分）空白部分占正方形的幾分之幾？（）那么涂色部分還可以怎么算呢？（），也就是說。
（2）繼續演示，誰知道除了通分，還可以怎么算？
根據學生回答，板書。
（3）演示：那么計算就可以得到？（）。
3、看到這兒，你發現什么規律了嗎？
4、小結：按照這樣的規律往下加，不管加到幾分之一，只要用1減去這個幾分之一就可以得到答案了。
5、這個法寶怎么樣？誰來說說它好在哪里？你學會了嗎？
6、嘗試練習
【設計意圖】將復雜的數量運算轉化為簡單的圖形面積計算，轉繁為簡，轉難為易，引導學生探索數與圖形的.聯系，讓學生體會到數形結合、歸納推理的數學思想方法。
（三）知識提升，探索發現
1、感受極限。
（1）剛才我們已經從一直加到了，如果我繼續加，加到，得數等于？（）再接著加，一直加到，得數等于？（）隨著不斷繼續加，你發現得數越來越？（大）無數個這樣的數相加，和會是多少呢？
（2）這時候你心中有沒有一個大膽的猜想？（學生猜想：這樣一直加下去，得數會不會就等于1了。）
（3）想象一下，如果我們在剛才加的過程中在正方形上不斷涂色，那空白部分的面積就越來越？（小）而涂色部分的面積越來越接近？
1也就是求和的得數越來越接近？
2最終得數是1嗎？你有什么方法來證明得數就是1？
（學情預設：學生提出書本的圓形圖和線段圖，若沒有學生提出，教師自己提出。）
2、利用線段圖直觀感受相加之和等于“1”。
（1）書本上有兩幅圖，我們一起來看看（課件出示）。一幅是圓形圖，一幅是線段圖，你能看懂它的意思嗎？請你想一想，然后告訴大家你的想法。
（2）學生看書思考。
（3）全班交流，課件演示，得出結論：這些分數不斷加下去，總和就是1。
【設計意圖】利用數與形的結合，讓學生直觀體會極限數學思想，并讓學生經歷猜想得數等于“1”，到數形結合證明得數等于“1”的過程，激發學生學習興趣，培養學生探索新知的精神。
3、課堂小結。
對于這種借用圖形來幫助我們解決問題的方法，你有什么感受？
教師小結：是的，“數”與“形”有著緊密的聯系，在一定條件下可以相互轉化。當用數形結合的方法解決問題時，你會發現許多難題的解決變得很簡單。
4、舉一反三。
其實在以前的學習中，我們也常用到到數形結合的數學方法幫助我們解題，你能想到些例子嗎？（如學生有困難，教師舉例：一年級加法，分數的認識，復雜的路程問題線段圖等。）
等比數列教案 8
一、概述
教材內容:等比數列的概念和通項公式的推導及簡單應用 教材難點：靈活應用等比數列及通項公式解決一般問題 教材重點：等比數列的概念和通項公式
二、教學目標分析
1. 知識目標
1）掌握等比數列的定義
2）理解等比數列的通項公式及其推導
2、能力目標
1）學會通過實例歸納概念
2）通過學習等比數列的通項公式及其推導學會歸納假設
3）提高數學建模的能力
3、情感目標：
1）充分感受數列是反映現實生活的模型
2）體會數學是來源于現實生活并應用于現實生活
3）數學是豐富多彩的而不是枯燥無味的
三、教學對象及學習需要分析
1、 教學對象分析：
1）高中生已經有一定的學習能力，對各方面的知識有一定的'基礎，理解能力較強。并掌握了函數及個別特殊函數的性質及圖像，如指數函數。之前也剛學習了等差數列，在學習這一章節時可聯系以前所學的進行引導教學。
2）對歸納假設較弱，應加強這方面教學
2、學習需要分析：
四. 教學策略選擇與設計
1.課前復習
1）復習等差數列的概念及通向公式
2）復習指數函數及其圖像和性質
2、情景導入。
等比數列教案 9
教學目標
1、通過教學使學生理解等比數列的概念，推導并掌握通項公式。
2、使學生進一步體會類比、歸納的思想，培養學生的觀察、概括能力。
3、培養學生勤于思考，實事求是的精神，及嚴謹的科學態度。
教學重點，難點
重點、難點是等比數列的定義的歸納及通項公式的推導。
教學用具
投影儀，多媒體軟件，電腦。
教學方法
討論、談話法。
教學過程
一、提出問題
給出以下幾組數列，將它們分類，說出分類標準。（幻燈片）
①-2，1，4，7，10，13，16，19，②8，16，32，64，128，256，③1，1，1，1，1，1，1，④243，81，27，9，3，1，⑤31，29，27，25，23，21，19，⑥1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，⑦1，-10，100，-1000，10000，-100000，⑧0，0，0，0，0，0，0，由學生發表意見（可能按項與項之間的關系分為遞增數列、遞減數列、常數數列、擺動數列，也可能分為等差、等比兩類），統一一種分法，其中②③④⑥⑦為有共同性質的一類數列（學生看不出③的情況也無妨，得出定義后再考察③是否為等比數列）。
二、講解新課
請學生說出數列②③④⑥⑦的共同特性，教師指出實際生活中也有許多類似的例子，如變形蟲分裂問題假設每經過一個單位時間每個變形蟲都分裂為兩個變形蟲，再假設開始有一個變形蟲，經過一個單位時間它分裂為兩個變形蟲，經過兩個單位時間就有了四個變形蟲，一直進行下去，記錄下每個單位時間的變形蟲個數得到了一列數。
這個數列也具有前面的幾個數列的共同特性，這是我們將要研究的另一類數列等比數列。（這里播放變形蟲分裂的多媒體軟件的.第一步）
判斷下列數列是否為等比數列？若是，找出公比；不是，請說明理由、
（1）1， 4， 16， 32、
（2）0， 2， 4， 6， 8.
（3）1，－10，100，－1000，10000、
（4）81， 27， 9， 3， 1.
（5）a， a， a， a， a.
講解例二，進一步熟悉定義，根據定義求數列未知項。最后的小例一為了由利
用定義的求解轉到利用定義證明，二為了讓學生發現等比數列隔項同號的規律。
例題二
求出下列等比數列中的未知項:
（1）2， a， 8;
（2）-4， b， c，？；
？已知數列2， x， d， y，8，是等比數列
①證明數列2， d， 8.仍是等比數列。
②求未知項d.
通過兩道例題的講解，讓學生有個緩沖，做個鞏固練習。當然此練習的安排，也是為了進一步挖掘等比數列定義的本質，辨析找尋等差數列與等比數列的關系，將具體問題再推廣到一般，并要求學生理解并掌握等比數列的判斷證明方法。
練習
判斷下列數列是等差數列還是等比數列？
（1）22，2，1，2-1， 2-2 。
（2）3，34，37， 310 。
引申：已知數列{an}是等差數列，而bn·2n證明數列{bn}是等比數列。
由最后一例的證明，說明給出通項公式后可由定義判斷該數列是否為等比數列。反過來若數列已經是等比數列了，能否由定義導出數列通項公式呢？為下節課做鋪墊。
【課堂小結】
由學生通過一堂課的學習，做個簡單的歸納小結。
1、理解。等比數列的定義，判斷或證明數列是否為等比數列要用定義判斷
2、等比數列公比q≠0，任意一項都不為零。
3、學習等比數列可以對照等差數列類比做研究。
【作業】
書p48. No.1，2;
等比數列教案 10
一、教學目標：
1.知識與技能：理解并掌握等比數列的性質并且能夠初步應用。
2.過程與方法：通過觀察、類比、猜測等推理方法，提高我們分析、綜合、抽象、概括等邏輯思維能力。
3.情感態度價值觀：體會類比在研究新事物中的作用，了解知識間存在的共同規律。
二、重點：等比數列的性質及其應用。
難點：等比數列的性質應用。
三、教學過程。
同學們，我們已經學習了等差數列，又學習了等比數列的基礎知識，今天我們繼續學習等比數列的性質及應用。我給大家發了導學稿，讓大家做了預習，現在找同學對照下面的表格說說等差數列和等比數列的差別。
數列名稱 等差數列 等比數列
定義 一個數列，若從第二項起 每一項減去前一項之差都是同一個常數，則這個數列是等差數列。 一個數列，若從第二項起 每一項與前一項之比都是同一個非零常數，則這個數列是等比數列。
定義表達式 an-an-1=d (n≥2)
(q≠0)
通項公式證明過程及方法
an-an-1=d; an-1-an-2=d，…a2-a1=d
an-an-1+ an-1-an-2+…+a2-a1=(n-1)d
an=a1+(n-1)d
累加法 ; …….
an=a1q n-1
累乘法
通項公式 an=a1+(n-1)d an=a1q n-1
多媒體投影(總結規律)
數列名稱 等差數列 等比數列
定 義 等比數列用“比”代替了等差數列中的“差”
定 義
表
達 式 an-an-1=d (n≥2)
通項公式證明
迭加法 迭乘法
通 項 公 式
加-乘
乘—乘方
通過觀察，同學們發現：
等差數列中的 減法、加法、乘法，等比數列中升級為 除法、乘法、乘方.
四、探究活動。
探究活動1：小組根據導學稿內容研討等比數列的性質，并派學生代表上來講解練習1;等差數列的性質1;猜想等比數列的性質1;性質證明。
練習1 在等差數列{an}中，a2= -2，d=2，求a4=_____..(用一個公式計算) 解：a4= a2+(n-2)d=-2+(4-2)2=2
等差數列的性質1： 在等差數列{an}中， a n=am+(n-m)d.
猜想等比數列的性質1 若{an}是公比為q的等比數列，則an=amqn-m
性質證明 右邊= amqn-m= a1qm-1qn-m= a1qn-1=an=左邊
應用 在等比數列{an}中，a2= -2 ，q=2，求a4=_____. 解：a4= a2q4-2=-222=-8
探究活動2：小組根據導學稿內容研討等比數列的性質，并派學生代表上來講解練習2;等差數列的性質2;猜想等比數列的性質2;性質證明。
練習2 在等差數列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=450，則a2+a8的值為 . 解：a3+a4+a5+a6+a7=(a3+ a7)+(a4+ a6)+ a5= 2a5+2a5+a5=5 a5=450 a5=90 a2+a8=2×90=180
等差數列的性質2： 在等差數列{an}中， 若m+n=p+q，則am+an=ap+aq 特別的，當m=n時，2 an=ap+aq
猜想等比數列的性質2 在等比數列{an} 中，若m+n=s+t則aman=asat 特別的，當m=n時，an2=apaq
性質證明 右邊=aman= a1qm-1 a1qn-1= a12qm+n-1= a12qs+t-1=a1qs-1 a1qt-1= asat=左邊 證明的方向:一般來說，由繁到簡
應用 在等比數列{an}若an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=36，則a3+a5=_____. 解：a2a4+2a3a5+a4a6= a32+2a3a5+a52=(a3+a5)2=36
由于an>0，a3+a5>0，a3+a5=6
探究活動3：小組根據導學稿內容研討等比數列的性質，并派學生代表上來講解練習3;等差數列的性質3;猜想等比數列的性質3;性質證明。
練習3 在等差數列{an}中，a30=10，a45=90，a60=_____. 解：a60=2 a45- a30=2×90-10=170
等差數列的性質3： 若an-k，an，an+k是等差數列{an}中的三項， 則這些項構成新的等差數列，且2an=an-k+an+k
an即時an-k，an，an+k的等差中項
猜想等比數列的性質3 若an-k，an，an+k是等比數列{an}中的三項，則這些項構成新的等比數列，且an2=an-kan+k
an即時an-k，an，an+k的等比中項
性質證明 右邊=an-kan+k= a1qn-k-1 a1qn+k-1= a12qn-k-1+n+k-1= a12q2n-2=(a1qn-1) 2t=an2左邊 證明的方向:由繁到簡
應用 在等比數列 {an}中a30=10，a45=90，a60=_____.
解：a60= = =810
應用 等比數列{an}中，a15=10， a45=90，a60=________. 解：
a30= = = 30
A60=
探究活動4：小組根據導學稿內容研討等比數列的性質，并派學生代表上來講解練習4;等差數列的性質4;猜想等比數列的性質4;性質證明。
練習4 設數列{an} 、{ bn} 都是等差數列，若a1+b1=7，a3+b3=21，則a5+b5=_____. 解：a5+b5=2(a3+b3)-(a1+b1)=221-7=35
等差數列的性質4： 設數列{an} 、{ bn} 是公差分別為d1、d2的等差數列，則數列{an+bn}是公差d1+d2的等差數列 兩個項數相同的等差數列的和任然是等差數列
猜想等比數列的性質4 設數列{an} 、{ bn} 是公比分別為q1、q2的等比數列，則數列{anbn}是公比為q1q2的等比數列 兩個項數相同的等比數列的和比一定是等比數列，兩個項數相同的等比數列的.積任然是等比數列。
性質證明 證明：設數列{an}的首項是a1，公比為q1; {bn}的首項為b1，公比為q2，設cn=anbn那么數列{anbn} 的第n項與第n+1項分別為：
應用 設數列{an} 、{ bn} 都是等比數列，若a1b1=7，a3b3=21，則a5b5=_____. 解：由題意可知{anbn}是等比數列，a3b3是a1b1;a5b5的等比中項。
由(a3b3)2= a1b1 a5b5 212= 7 a5b5 a5b5=63
(四個探究活動的設計充分尊重學生的主體地位，以學生的自主學習，自主探究為主題，以教師的指導為輔，開展教學活動)
五、等比數列具有的單調性
(1)q<0，等比數列為 擺動 數列， 不具有 單調性
(2)q>0(舉例探討并填表)
a1 a1>0 a1<0
q的范圍 0 q=1 q>1 0 q=1 q>1
{an}的單調性 單調遞減 不具有單調性 單調遞增 單調遞增 不具有單調性 單調遞減
讓學生舉例說明，并查驗有多少學生填對。(真確評價)
六、課堂練習：
1、已知各項均為正數的等比數列{an}中，a1a2a3=5，a7a8a9=10，則a4a5a6等于( ).
A. B.7 C.6 D.
解析:由已知得a32=5， a82=10，∴a4a5a6=a53= = =5 .
答案:A
2、已知數列1，a1，a2，4是等比數列，則a1a2= .
答案:4
3、 +1與 -1兩數的等比中項是( ).
A.1 B.-1 C. D.±1
解析：根據等比中項的定義式去求。答案:選D
4、已知等比數列{an}的公比為正數，且a3a9=2 ，a2=1，則a1等于( ).
A.2 B. C. D.
解析:∵a3a9= =2 ，∴ =q2=2，∵q>0，∴q= .故a1= = = .
答案:C
5練習題：三個數成等比數列，它們的和等于14，它們的積等于64，求這三個數。
分析：若三個數成等差數列，則設這三個數為a-d，a，a+d.
由類比思想的應用可得，若三個數成等比數列，則設這三個數
為： 根據題意
再由方程組可得：q=2 或
既這三個數為2，4，8或8，4，2。
七、小結
本節課通過觀察、類比、猜測等推理方法，研究等比數列的性質及其應用，從而培養和提高我們綜合運用分析、綜合、抽象、概括，邏輯思維解決問題的能力。
八、等比數列的性質及應用
性質一：若{an}是公比為q的等比數列，則an=amqn-m
性質二：在等比數列{an} 中，若m+n=s+t則aman=asat
性質三：若an-k，an，an+k是等比數列{an}中的三項，則這些
項構成新的等比數列，且 an2=an-kan+k
性質四：設數列{an} 、{ bn} 是公比分別為q1、q2的等比
數列，則數列{anbn}是公比為q1q2的等比數列
板書設計
九、反思
略。
等比數列教案 11
教學要求：
探索并掌握等比數列的前n項和的公式；
結合等比數列的.通項公式研究等比數列的各量；
在具體的問題情境中，發現數列的等比關系，能用有關知識解決相應問題。
教學重點：
等比數列的前n項和的公式及應用
教學難點：
等比數列的前n項和公式的推導過程。
教學過程：
一、復習準備：
提問：等比數列的通項公式；
等比數列的性質；
等差數列的前n項和公式；
二、講授新課：
1、教學：
思考：一個細胞每分鐘就變成兩個，那么經過一個小時，它會分裂成多少個細胞呢？
分析：公比，因為，一個小時有60分鐘
思考：那么經過一個小時，一共有多少個細胞呢？
又因為
所以，則=1152921504
則一個小時一共有1152921504個細胞
2、練習：
列1（解略）
列2（解略）
在等比數列中：已知求已知求
在等比數列中，xx，則xx
三、小結：等比數列的前n項和公式
四、作業：P66，1題
等比數列教案 12
一、教材分析
從教材的編寫順序上來看，等比數列的前n項和是第三章“數列”第五節的內容，一方面它是“等差數列的前n項和”與“等比數列”內容的延續、與前面學習的函數等知識也有著密切的聯系，另一方面它又為進一步學習“數列的極限”等內容作準備。
就知識的應用價值上來看，它是從大量數學問題和現實問題中抽象出來的一個模型，在公式推導中所蘊涵的數學思想方法如分類討論等在各種數列求和問題中有著廣泛的應用；另外它在如“分期付款”等實際問題的計算中也經常涉及到。
就內容的人文價值上來看，等比數列的前n項和公式的探究與推導需要學生觀察、分析、歸納、猜想，有助于培養學生的創新思維和探索精神，是培養學生應用意識和數學能力的良好載體。
教師教學用書安排“等比數列的前n項和”這部分內容授課時間2課時，本節課作為第一課時，重在研究等比數列的前n項和公式的推導及簡單應用，教學中注重公式的形成推導過程并充分揭示公式的結構特征和內在聯系。
二、教學目標
依據課程標準，結合學生的認知水平和年齡特點，確定本節課的.教學目標如下：
知識與技能目標：理解等比數列的前n項和公式的推導方法；掌握等比數列的前n項和公式并能運用公式解決一些簡單問題。
過程與方法目標：通過公式的推導過程，提高學生的建模意識及探究問題、分析與解決問題的能力，體會公式探求過程中從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想及轉化思想，優化思維品質。
情感與態度目標：通過經歷對公式的探索，激發學生的求知欲，鼓勵學生大膽嘗試、勇于探索、敢于創新，磨練思維品質，從中獲得成功的體驗，感受思維的奇異美、結構的對稱美、形式的簡潔美、數學的嚴謹美。
三、教學重點和難點
重點：等比數列的前 項和公式的推導及其簡單應用。從教材體系來看，它為后繼學習提供了知識基礎，具有承上啟下的作用；從知識特點而言，蘊涵豐富的思想方法；就能力培養來看，通過公式推導教學可培養學生的運用數學語言交流表達的能力。
突出重點方法：“抓三線、突重點”，即
（一）知識技能線：問題情境→公式推導→公式運用；
（二）過程與方法線：特殊到一般、猜想歸納→ 錯位相減法等→轉化、方程思想；
（三）能力線：觀察能力→數學思想解決問題能力→靈活運用能力及嚴謹態度。
難點：等比數列的前 項和公式的推導。從學生認知水平來看，學生的探究能力和用數學語言交流的能力還有待提高。從知識本身特點來看，等比數列前n項和公式的推導方法和等差數列的的前n項和公式的推導方法可比性低，無法用類比的方法進行，它需要對等比數列的概念和性質能充分理解并融會貫通，而知識的整合對學生來說恰又是比較困難的，而且錯位相減法是第一次碰到，對學生來說是個新鮮事物。
突破難點手段：“抓兩點，破難點”，即一抓學生情感和思維的興奮點，激發他們的興趣，鼓勵學生大膽猜想、積極探索，及時地給以鼓勵，使他們知難而進；二抓知識選擇的切入點，從學生原有的認知水平和所需的知識特點入手，教師在學生主體下給予適當的提示和指導。
等比數列教案 13
一、教學背景分析
1、教學內容分析
本節課是高中數學（北師大版必修5）第一章第3節第二課時，是“等差數列的前n項和”與“等比數列”內容的延續，與函數等知識有著密切的聯系，也為以后學數列的求和，數學歸納法等做好鋪墊。而且公式推導過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學生今后學習和工作中必備的數學素養，如在“分期付款”等實際問題中也經常涉及到。本節以數學文化背境引入課題有助于提升學生的創新思維和探索精神，是提高數學文化素養和培養學生應用意識的良好載體。
2、學情分析
從學生的思維特點看，很容易把本節內容與等差數列前n項和從公式的形成、特點等方面進行類比，這是積極因素，應因勢利導。不利因素是，本節公式的推導與等差數列前n項和公式的推導有著本質的不同，這對學生的思維是一個突破，另外，對于q = 1這一特殊情況，學生往往容易忽視，尤其是在后面使用的過程中容易出錯。教學對象是高二理科班的學生，雖然具有一定的分析問題和解決問題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但由于年齡的原因，思維盡管活躍、敏捷，卻缺乏冷靜、深刻，因此片面、不完全。
二、教學目標
依據新課程標準及教材內容，結合學生的認知發展水平和心理特點，確定本節課的教學目標如下：
1.知識與技能目標: 理解等比數列前n項和公式推導方法；掌握等比數列前n項和公式并能運用公式解決一些簡單問題。
2、過程與方法目標：感悟并理解公式的推導過程，感受公式探求過程所蘊涵的從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想及轉化思想，優化思維品質，初步提高學生的建模意識和探究、分析與解決問題的能力。
3.情感與態度目標：通過經歷對公式的探索過程，對學生進行思維嚴謹性的訓練，激發學生的求知欲，鼓勵學生大膽嘗試、勇于探索、敢于創新，磨練思維品質，從中獲得成功的體驗，感受數學的奇異美、結構的對稱美、形式的簡潔美和數學的嚴謹美。
三、重點，難點
教學重點：等比數列前“等比數列的前n項和”項和公式的推導及其簡單應用。
教學難點：公式的推導思想方法及公式應用中q與1的關系。
四、教學方法
啟發引導，探索發現，類比。
五、 教學過程
（一）借助數學文化背境提出問題
在古印度，有個名叫西薩的人，發明了國際象棋，當時的印度國王大為贊賞，對他說：我可以滿足你的任何要求。西薩說：請給我棋盤的64個方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64格。國王令宮廷數學家計算，結果出來后，國王大吃一驚。為什么呢？
【設計意圖】：設計這個數學文化背境目的是在引入課題的`同時激發學生的興趣，調動學習的積極性。故事內容也緊扣本節課的主題與重點。
問題1：同學們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？
引導學生寫出麥粒總數“等比數列的前n項和”
（二）師生互動，探究問題
問題2：“等比數列的前n項和”
有些學生會說用計算器來求（老師當然肯定這種做法，但學生很快發現比較難求。）
問題3：同學們，我們來分析一下這個和式有什么特征？
（學生會發現，后一項都是前一項的2倍）
問題4：如果我們把（1）式每一項都乘以2，就變成了它的后一項，那么我們若在此等式兩邊同以2，得到（2）式：
“等比數列的前n項和”
比較（1）(2）兩式，你有什么發現？（學生經過比較發現：（1）、（2）兩式有許多相同的項）
問題5：將兩式相減，相同的項就消去了，得到什么呢？。（學生會發現：“等比數列的前n項和”
【設計意圖】：這五個問題層層深入，剖析了錯位相減法中減的妙用，使學生容易接受為什么要錯位相減，經過繁難的計算之后，突然發現上述解法，也讓學生感受到這種方法的神奇。
問題6：老師指出這就是錯位相減法，并要求學生縱觀全過程，反思為什么（1）式兩邊要同乘以2呢？
【設計意圖】：經過繁難的計算之苦后，突然發現上述解法，讓學生對錯位相減法有一個深刻的認識，也為探究等比數列求和公式的推導做好鋪墊。
（三）類比聯想，構建新知
這時我再順勢引導學生將結論一般化。
問題7：如何求等比數列“等比數列的前n項和”的前“等比數列的前n項和”項和“等比數列的前n項和”：
即:“等比數列的前n項和”
(學生相互合作，討論交流，老師巡視課堂，并請學生上臺板演。)
注：學生已有上面問題的處理經驗，肯定有不少學生會想到“錯位相減法”，教師可放手讓學生探究。
將“等比數列的前n項和”兩邊同時乘以公比“等比數列的前n項和”后會得到“等比數列的前n項和”，兩個等式相減后，哪些項被消去，還剩下哪些項，剩下項的符號有沒有改變？這些都是用錯位相減法求等比數列前“等比數列的前n項和”項和的關鍵所在，讓學生先思考，再討論，最后師在突出強調，加深印象。
兩式作差得到“等比數列的前n項和”時，肯定會有學生直接得到“等比數列的前n項和”，不忙揭露錯誤，后面再反饋這個易錯點，從而掌握公式的本質。
【設計意圖】：在教師的指導下，讓學生從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，讓學生自己探究公式，從而體驗到學習的成就感。增強學習數學的興趣和學好數學的信心。
問題8:由 “等比數列的前n項和” 得 “等比數列的前n項和”對不對呢？這里的“等比數列的前n項和”能不能等于1呀？等比數列中的公比能不能為1？那么“等比數列的前n項和”時是什么數列？此時“等比數列的前n項和”？你能歸納出等比數列的前n項和公式嗎？ （這里引導學生對“等比數列的前n項和” 進行分類討論，得出公式，同時為后面的例題教學打下基礎。）
再次追問：結合等比數列的通項公式“等比數列的前n項和” ，如何把“等比數列的前n項和” 用“等比數列的前n項和” 、“等比數列的前n項和” 、“等比數列的前n項和” 表示出來？（引導學生得出公式的另一形式）
公式：
“等比數列的前n項和”
注：公式的理解
知三求二：n q a1 an Sn ；
n的含義：項數（通項公式是qn－1）；
q的含義：公比（注意q=1，分類討論）；
錯位相減法：乘公比（作用是構造許多相同項）后錯開一項后再減。
【設計意圖】：通過反問學生歸納，一方面使學生加深對知識的認識，完善知識結構，另一方面使學生由簡單地模仿和接受，變為對知識的主動認識，從而進一步提高分析、類比和綜合的能力。這一環節非常重要，盡管僅僅幾句話，然而卻有畫龍點睛之妙用。
（四）討論交流，延伸拓展
問題9: 探究等比數列前n項和公式，還有其它方法嗎？
“等比數列的前n項和”（學生討論交流，老師指導。依學生的認知水平可能會有以下幾種方法）
（1）錯位相減法
“等比數列的前n項和”（2）提出公比q
“等比數列的前n項和”（3）累加法
【設計意圖】：以疑導思，激發學生的探索欲望，營造一個讓學生主動觀察、思考、討論的氛圍. 這有非常重要的研究價值，是研究性學習和課外拓展的極佳資源，它源于課本，又高于課本，對學生的思維發展有促進作用.
(五) 應用公式，深化理解
例1：在等比數列{ an }中，(1)已知a1＝3，q＝2，n＝6，求Sn；
(2)已知a1=8，q=1/2，an =1/2，求Sn；
(3)已知a1=－1.5，a4=96，求q與S4；
(4)已知a1=2，S3＝26，求q與a3。
【設計意圖】：初步應用公式，理解等比數列的基本量也可“知三求二”，體會方程思想。
例2：等比數列{ an }中，已知a3＝3/2，S3＝9/2，求a1與q。
【設計意圖】：注意公式中的分類討論思想。
例3：求數列{n+ }的前n項和。
【設計意圖】：將未知問題轉化為已知問題，進一步體會等比數列前n項和公式的應用。
練習1：求等比數列“等比數列的前n項和”前8項和；
練習2：a3= ，S9= ，求a1和q；
練習3：求數列{n+an}的前n項和。
（先由學生獨立求解，然后抽學生板演，教師巡視、指導，講評學生完成情況，尋找學生中的閃光點，給予適時的表揚。)
【設計意圖】：通過練習，深化認識，增加思維的梯度的同時，提高學生的模式識別能力，滲透轉化思想、
（六）總結歸納，加深理解
問題10:這節課你有什么收獲？學到了哪些知識和方法？
【設計意圖】：以問題的形式出現，引導學生回顧公式、推導方法，鼓勵學生積極回答，然后老師再從知識點及數學思想方法等方面總結。以此培養學生的口頭表達能力，歸納概括能力。
（學生小結歸納，不足之處老師補充說明。）
1、公式：等比數列前n項和
當q≠1時，Sn= =
當q=1時， Sn=na1
2、方法：錯位相減法（乘以公比）
3、思想：分類討論（公式選擇）
（七）故事結束，首尾呼應
最后我們回到故事中的問題，可以計算出國王獎賞的小麥約為1.84×1019粒，大約7000億噸，用這么多小麥能從地球到太陽鋪設一條寬10米、厚8米的大道，大約是全世界一年糧食產量的459倍，顯然國王兌現不了他的承諾了。
【設計意圖】：把引入課題時的懸念給予釋疑，有助于學生克服疲倦、繼續積極思維。
（八）課后作業，分層練習
（1）閱讀本節內容，預習下一節內容；
（2） 書面作業：習題P30 8 .10；
（3）拓展作業：求和：“等比數列的前n項和”
【設計意圖】：出選作題的目的是注意分層教學和因材施教，讓學有余力的學生有思考的空間。
等比數列教案 14
一、設計思想
1、設計理念
本課的教學設計基于“人人都能獲得必要得數學”即平等性的考慮，堅持面向全體學生，努力設計“適合學生發展得數學教育”，體現“人人學數學”，“不同的人學不同的數學”的理念。教學中強調“培養學生情感、態度與價值觀”的重要性，注重引導學生主動地進行探索，從而幫助學生樹立正確的數學觀，但又與教師的設計問題與活動的引導密切結合，強調“活動”的內化，即在頭腦中實現必要的重構或認知結構的重組，從而引起真正的數學思維，提高思維的效益。通過聯系學生的生活實際使其真正感到數學是有意義的，一方面培養學生的社會意識，明確肯定“日常數學”的合理性等，另一方面，再調動學生生活經驗的同時，又應努力幫助他們清楚地去熟悉生活經驗并上升到“學校數學”的必要性。
2、設計背景
傳統的數學作業單調枯燥，脫離生活和學生實際，不利于學生個性和能力的發展。在新課程標準的'理念下，重新認識作業的意義和價值，突破傳統，改變現狀，樹立正確的作業觀，創新作業方式，激發興趣，發展學生數學素質，既注重基礎知識的鞏固，更要注重學生思維和能力的發展，既要創新又要保證其科學有效，使學生在做作業的過程中體驗快樂、形成能力、學會合作、體驗自主。
3、教材的地位與作用
本節教材在學生學習過等比數列的概念與性質的基礎上，學習等比數列n前項和公式，能用等比數列的前n項和公式解決相關求和問題。探索公式的推導、體會錯位相減法以及分類討論的思想方法。本節內容基礎知識和基本技能非常重要，涉及的數學思想、方法較為豐富，因此是重點內容之一。本設計是第一課時的教學內容。
二、學習目標
⑴知識與技能
掌握等比數列的前n項和公式，能用等比數列的前n項和公式解決相關問題。
⑵過程與方法
通過等比數列的前n項和公式的推導過程，體會錯位相減法以及分類討論的思想方法。
⑶情感、態度與價值觀
通過對等比數列的學習，發展數學應用意識，逐步認識數學的科學價值、應用價值，發展數學的理性思維。
錯位相減法以及分類討論的思想方法的掌握。
三、教學設想：
本節課采用探究式課堂教學模式，即在教學過程中，在教師的啟發引導下，以學生獨立自主和合作交流為前提，以“正弦定理的發現”為基本探究內容，以四周世界和生活實際為參照對象，為學生提供充分自由表達、質疑、探究、討論問題的機會，讓學生通過個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動，將自己所學知識應用于對任意三角形性質的深入探討。讓學生在“活動”中學習，在“主動”中發展，在“合作”中增知，在“探究”中創新。設計思路如下：
四、教學過程
（一）創設問題情景
課前給出復習：等比數列的定義及性質
課首給出引例：“一個窮人到富人那里去借錢，原以為富人不愿意，哪知富人一口答應了下來，但提出了如下條件：在30天中，富人第一天借給窮人1萬元，第二天借給窮人2萬元，以后每天所借的錢數都比上一天多1萬;但借錢第一天，窮人還1分錢，第二天還2分錢，以后每天所還的錢數都是上一天的兩倍，30天后互不相欠.窮人聽后覺得挺劃算，本想定下來，但又想到此富人是吝嗇出了名的，怕上當受騙，所以很為難。”請在座的同學思考討論一下，窮人能否向富人借錢
[設計一個學生比較感愛好的實際問題，吸引學生注重力，使其馬上進入到研究者的角色中來！]
（二）啟發引導學生數學地觀察問題，構建數學模型。
學生直覺認為窮人可以向富人借錢，教師引導學生自主探求，得出：窮人30天借到的錢：S301230，窮人需要還的錢：S301222229(130)302 465（萬元）[直覺先行，思辨引路，在矛盾沖突中引發學生積極的思維!]
教師緊接著把如何求S301222229？的問題讓學生探究，S301222229 ①若用公比2乘以上面等式的兩邊，得到2S30222229230②
若②式減去①式，可以消去相同的項，得到：S3023011073741823(分) ≈1073(萬元)＞465（萬元）
答案:窮人不能向富人借錢
（三）引導學生用“特例到一般”的研究方法，猜想數學規律。
提出問題:如何推導等比數列前n項和公式？（學生很自然地模仿以上方法推導）
等比數列教案 15
一、教材分析：
等比數列的前n項和是高中數學必修五第二章第3.3節的內容。它是“等差數列的前n項和”與“等比數列”內容的延續。這部分內容授課時間2課時，本節課作為第一課時，重在研究等比數列的前n項和公式的推導及簡單應用，教學中注重公式的形成推導過程并充分揭示公式的結構特征和內在聯系。意在培養學生類比分析、分類討論、歸納推理、演繹推理等數學思想。在高考中占有重要地位。
二、教學目標
根據上述教學內容的地位和作用，結合學生的認知水平和年齡特點，確定本節課的教學目標如下：
1.知識與技能：理解等比數列的前n項和公式的推導方法；掌握等比數列的前n項和公式并能運用公式解決一些簡單問題。
2.過程與方法：通過公式的推導過程，提高學生的建模意識及探究問題、類比分析與解決問題的能力，培養學生從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想及轉化思想，優化思維品質。
3.情感與態度：通過自主探究，合作交流，激發學生的求知欲，體驗探索的艱辛，體味成功的喜悅，感受思維的奇異美、結構的對稱美、形式的簡潔美、數學的.嚴謹美。
三、教學重點和難點
重點：等比數列的前項和公式的'推導及其簡單應用。
難點：等比數列的前項和公式的推導。
重難點確定的依據：從教材體系來看，它為后繼學習提供了知識基礎，具有承上啟下的作用；從知識本身特點來看，等比數列前n項和公式的推導方法和等差數列的的前n項和公式的推導方法可比性低，無法用類比的方法進行，它需要對等比數列的概念和性質能充分理解并融會貫通；從學生認知水平來看，學生的探究能力和用數學語言交流的能力還有待提高。
四、教法學法分析
通過創設問題情境，組織學生討論，讓學生在嘗試探索中不斷地發現問題，以激發學生的求知欲，并在過程中獲得自信心和成功感。強調知識的嚴謹性的同時重知識的形成過程。
五、教學過程
（一）創設情境，引入新知
從故事入手：傳說，波斯國王下令要獎賞國際象棋的發明者，發明者對國王說，在棋盤的第一格內放上一粒麥子，在第二格內放兩粒麥子，第三格內放4粒，第四格內放8米，……按這樣的規律放滿64格棋盤格。結果是國王傾盡國家財力還不夠支付。同學們，這幾粒麥子，怎能會讓國王賠上整個國家的財力？
關鍵就在于計算麥粒的總數。很明顯，這是一個以1為首項，以2為公比的等比數列前64項和的問題，即如何計算1+2+22+……+263？
（二）師生討論、探究新知
總結歸納：當q=1時，Sn=na1
當q≠1時，公式說明：①對等比數列{an}而言，a1，an，Sn，n，q知三可求二②運用公式時要根據條件選取適當的公式，特別注意的是，在公比不知道的情況下要分類討論；③錯位相減的思想方法。
（三）例題講解，形成技能
例1：等比數列{an}中，①已知a1=－4，q=1/2，求S10 ②已知a1=1，an=243，q=3，求Sn
③已知a1=2，S3=26，求q。
通過例題一，滲透知三求二的思想。
練習：求等比數列1，－1/2，1/4,－1/8，…，－1/512的各項的和。
例2. 等比數列{an}中，已知a1=3，S3=9，求q，an。
練習：等比數列{an}中，若S3=7/2,S6=63/2，求an、S9。
通過練習得出等比數列前項和的一個性質：成等比數列。
例3：（1）求數列1+1/2，2+1/4,3+1/8，… n+，…的前n項和。
首先由學生分析思路，觀察出這組數列的特點，它既不是等差數列，也不是等比數列，而是等差加等比。歸納出這類數列求和的方法。
思考：求和：1+a+a2+a3+…+an
（四）課堂小結
以問題的形式出現，引導學生回顧公式、推導方法，鼓勵學生積極回答，然后老師再從知識點及數學思想方法兩方面總結。
設計意圖：以此培養學生的口頭表達能力，歸納概括能力。
六、板書設計
略
七、課后記
本節課的設計體現呢“以學生為主體，教師是課堂活動的組織者、引導者和參與者”的現代教育理念。在教學的每一個環節中軍設計了問題，始終以教師提出問題，引導學生解決問題的方式進行，讓課堂活動變得生動而愉悅。
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