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下學(xué)期 4.8 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)2
4.8 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)（第二課時(shí)）
（一）教學(xué)具準(zhǔn)備
直尺，投影儀．
（二）教學(xué)目標(biāo)
1．掌握 ， 的定義域、值域、最值、單調(diào)區(qū)間．
2．會(huì)求含有 、 的三角式的定義域．
（三）教學(xué)過程
1．設(shè)置情境
研究函數(shù)就是要討論一些性質(zhì)， ， 是函數(shù)，我們當(dāng)然也要探討它的一些屬性．本節(jié)課，我們就來研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最基本的兩條性質(zhì)．
2．探索研究
師：同學(xué)們回想一下，研究一個(gè)函數(shù)常要研究它的哪些性質(zhì)？
生：定義域、值域，單調(diào)性、奇偶性、等等．
師：很好，今天我們就來探索 ， 兩條最基本的性質(zhì)——定義域、值域．（板書課題正、余弦函數(shù)的定義域、值域．）
師：請(qǐng)同學(xué)看投影，大家仔細(xì)觀察一下正弦、余弦曲線的圖像．
師：請(qǐng)同學(xué)思考以下幾個(gè)問題：
（1）正弦、余弦函數(shù)的定義域是什么？
（2）正弦、余弦函數(shù)的值域是什么？
（3）他們最值情況如何？
（4）他們的正負(fù)值區(qū)間如何分？
（5） 的解集如何？
師生一起歸納得出：
（1）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是 ．
（2）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是 即 ， ，稱為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性．
（3）取最大值、最小值情況：
正弦函數(shù) ，當(dāng) 時(shí)，（ ）函數(shù)值 取最大值1，當(dāng) 時(shí)，（ ）函數(shù)值 取最小值－1．
余弦函數(shù) ，當(dāng) ，（ ）時(shí)，函數(shù)值 取最大值1，當(dāng) ，（ ）時(shí)，函數(shù)值 取最小值－1．
（4）正負(fù)值區(qū)間：
（ ）
（5）零點(diǎn)： （ ）
（ ）
3．例題分析
【例1】求下列函數(shù)的定義域、值域：
（1） ； （2） ； （3） ．
解：（1） ，
（2）由 （ ）
又∵ ，∴
∴定義域?yàn)?（ ），值域?yàn)?．
（3）由 （ ），又由
∴
∴定義域?yàn)?（ ），值域?yàn)?．
指出：求值域應(yīng)注意用到 或 有界性的條件．
【例2】求下列函數(shù)的最大值，并求出最大值時(shí) 的集合：
（1） ， ； （2） ， ；
（3） （4） ．
解：（1）當(dāng) ，即 （ ）時(shí)， 取得最大值
∴函數(shù)的最大值為2，取最大值時(shí) 的集合為 ．
（2）當(dāng) 時(shí)，即 （ ）時(shí)， 取得最大值 ．
∴函數(shù)的最大值為1，取最大值時(shí) 的集合為 ．
（3）若 ， ，此時(shí)函數(shù)為常數(shù)函數(shù)．
若 時(shí)， ∴ 時(shí)，即 （ ）時(shí)，函數(shù)取最大值 ，
∴ 時(shí)函數(shù)的最大值為 ，取最大值時(shí) 的集合為 ．
（4）若 ，則當(dāng) 時(shí)，函數(shù)取得最大值 ．
若 ，則 ，此時(shí)函數(shù)為常數(shù)函數(shù)．
若 ，當(dāng) 時(shí)，函數(shù)取得最大值 ．
∴當(dāng) 時(shí)，函數(shù)取得最大值 ，取得最大值時(shí) 的集合為 ；當(dāng) 時(shí)，函數(shù)取得最大值 ，取得最大值時(shí) 的集合為 ，當(dāng) 時(shí)，函數(shù)無最大值．
指出：對(duì)于含參數(shù)的最大值或最小值問題，要對(duì) 或 的系數(shù)進(jìn)行討論．
思考：此例若改為求最小值，結(jié)果如何？
【例3】要使下列各式有意義應(yīng)滿足什么條件？
（1） ； （2） ．
解：（1）由 ，
∴當(dāng) 時(shí)，式子有意義．
（2）由 ，即
∴當(dāng) 時(shí)，式子有意義．
4．演練反饋（投影）
（1）函數(shù) ， 的簡(jiǎn)圖是（ ）
（2）函數(shù) 的最大值和最小值分別為（ ）
A．2，－2 B．4，0 C．2，0 D．4，－4
（3）函數(shù) 的最小值是（ ）
A． B．－2 C． D．
（4）如果 與 同時(shí)有意義，則 的取值范圍應(yīng)為（ ）
A． B． C． D． 或
（5） 與 都是增函數(shù)的區(qū)間是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
（6）函數(shù) 的定義域________，值域________， 時(shí) 的集合為_________．
參考答案：1．B 2．B 3．A 4．C 5．D
6． ； ；
5．總結(jié)提煉
（1） ， 的定義域均為 ．
（2） 、 的值域都是
（3）有界性：
（4）最大值或最小值都存在，且取得極值的 集合為無限集．
（5）正負(fù)敬意及零點(diǎn)，從圖上一目了然．
（6）單調(diào)區(qū)間也可以從圖上看出．
（五）板書設(shè)計(jì)
1．定義域
2．值域
3．最值
4．正負(fù)區(qū)間
5．零點(diǎn)
例1
例2
例3
課堂練習(xí)
課后思考題：求函數(shù) 的最大值和最小值及取最值時(shí)的 集合
提示：
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