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下學(xué)期 4.7 二倍角的正弦、余弦、正切2

時(shí)間：2022-08-17 03:35:32 高一數(shù)學(xué)教案我要投稿

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4.7二倍角的正弦、余弦、正切（第二課時(shí)）

（一）教學(xué)具準(zhǔn)備
　　投影儀

（二）教學(xué)目標(biāo)
　　1．應(yīng)用倍角公式解決本章開(kāi)頭的一個(gè)應(yīng)用問(wèn)題．
　　2．活用倍角公式，推求半角公式．

（三）教學(xué)過(guò)程
1．設(shè)置情境
　　請(qǐng)同學(xué)看教材第3頁(yè)上的一段文字，它敘述的是一個(gè)生活中的實(shí)際問(wèn)題：
“如圖1，是一塊以點(diǎn) 為圓心的半圓形空地，要在這塊空地上畫出一個(gè)內(nèi)接矩形辟為綠地，使其一邊落在半圓的直徑上，另兩點(diǎn) 、落在半圓的圓周上．已知半圓的半徑為，如何選擇關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱的點(diǎn) 、的位置，可以使矩形的面積最大？”根據(jù)教材提示應(yīng)用所學(xué)的倍角公式，同學(xué)們能嘗試解答它嗎？
2．探索研究
　　分析：要使矩形的面積最大，就必須想辦法把面積表示出來(lái)，不妨利用我們所學(xué)的三角知識(shí)，從角的方面進(jìn)行考慮，設(shè) ，則，，所以可以用表示．
解：設(shè) 則
　　
　　∵ ∴
　　當(dāng) 時(shí)，    即，
　　這時(shí) ，
答：點(diǎn) 、分別位于點(diǎn) 的左、右方處時(shí) 取得最大值．
　　變式：把一段半徑為的圓木鋸成橫截面為矩形的木料，怎樣鋸法才能使橫截面的面積最大？
　　生：根據(jù)上題的結(jié)果可知這時(shí)圓內(nèi)接矩形為內(nèi)接正方形時(shí)面積最大．
　　以上是倍角公式在實(shí)際生活中的運(yùn)用，請(qǐng)同學(xué)們觀察以下例題，并分析、思考后能否得出證明．
3．例題分析
【例1】求證：
　　（1）；（2）；
　　（3）．
思考，討論．
　　我們知道公式中是任意的，所以我們可以用來(lái)替換，這樣就得到
　　
　　
　　即
　　　　
　　上面三式左邊都是平方形式，當(dāng) 的值已知，角的終邊所在象限已知時(shí)，就可以將右邊開(kāi)方，從而求得：
　　
以上兩式相除又得：
　　　　　　
　　這三個(gè)式子稱之為半角公式，“±”號(hào)的取舍得由終邊所在象限確定．

【例2】求證：
　　．
　　分析：從例1引出例2，，右邊是同一個(gè)三角函數(shù)，并且還要附上正負(fù)號(hào)，而所要證明的式子右邊有兩個(gè)三角函數(shù)，不帶正負(fù)號(hào)．故我們不能利用上法，得另想辦法．
　　師：（邊敘述邊板書）
　　
　　
　　∴
　　上式不含根號(hào)也不必考慮“±”號(hào)選取，通常用于化簡(jiǎn)或證明三角恒等式，同樣可作半角公式運(yùn)用．

【例3】已知：，求，，．
　　解：
　　　　
　　　　
　　說(shuō)明：①例1中（1）、（2）兩式使用頻率極高，正、逆使用都非常普遍．習(xí)慣從左到右，常稱“擴(kuò)角降冪公式”，從右到左常謂“縮角升冪公式”，
　　②半角公式是二倍角公式的另一種表達(dá)方式，倍半關(guān)系是相對(duì)的．
練習(xí)（投影）
　　1．已知：（），
　　　求：（1）；（2）．
　　2．若，求：的值．
　　3．求：的值．

參考答案：
解：1．∵
　　兩邊平方得              ∴
　　又∵         ∴
　　　∴          ∴
　　2．∵     ∴
　　　原式
　　（3）
　　　　
　　　　
　　　　
　　　　
另解：設(shè) ……………………①
　　　　　 ……………………②
　　①＋②得 …………………………③
　　①－②得 ……④
　　③＋④得     ∴
4．總結(jié)提煉
　　（1）本節(jié)課我們由倍角公式出發(fā)解決了實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，得出結(jié)論“在一個(gè)圓的所有內(nèi)接矩形中，以內(nèi)接正方形的面積為最大”，另外由倍角公式解答了例1、例2，從而推導(dǎo)出半角公式，公式“±”號(hào)的選取決定于終邊所在的象限，例2的應(yīng)用也很廣泛，大家可根據(jù)題目的條件選擇使用較為方便的形式．
　　（2）從半角公式可以看出，半角的正弦、余弦、正切公式都可以用單角的余弦來(lái)表示．
　　（3）若給出的是象限角，則可根據(jù)下表決定符號(hào)．