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下學期 4．6 兩角和與差的正弦、余弦、正切2

時間：2022-08-17 03:35:09 高一數學教案我要投稿

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4．6兩角和與差的正弦、余弦、正切（第二課時）

（一）教學具準備

　　投影儀

（二）教學目標

　　1．掌握利用得到的兩角和與差的正弦公式．

　　2．運用公式進行三角式的求值、化簡及證明．

（三）教學過程

1．已知兩角，我們可以利用的三角函數去計算復合角的余弦，那么，我們能否用的三角函數去表達復合角的正弦呢？本節課將研究這一問題．

2．探索研究

（1）請一位同學在黑板上寫出，的展開式．

　　．

　　由于公式中的是任意實數，故我們對實施特值代換后并不影響等號成立，為此我們曾令，得到，

　　兩個熟悉的誘導公式，請同學們嘗試一下，能否在中對選取特殊實數代換，使誘變成呢？或者說能否把改成用余弦函數來表示呢？請同學回答．

　　生：可以，因為

　　該同學的思路非常科學，這樣就把新問題問題化歸為老問題：．

　　事實上：（視“ ”為）

　　這樣，我們便得到公式．

　　簡化為．

　　由于公式中的仍然是一切實數，請同學們再想一下，如何獲得的展開式呢？請同學回答．

　　生：只要在公式中用代替，就可得到：

　　即

　　師：由此得到兩個公式：

　　對于公式還可以這樣來推導：

說明：

　　（1）上述四個公式，雖然形式、結構不同，但它們本質是相同的，因為它們同出一脈：

　　這樣我們只要牢固掌握“中心”公式的由來及表達方式，就掌握了其他三個公式了．這要作為一種數學思想、一個數學方法來仔細加以體會．

　　（2）、是用的單角函數表達復合角的正、余弦．反之，我們不得不注意，作為公式的逆用，我們也可以用復合角的三角函數來表達單角三角函數．諸如：，，及四種表達式，實質上是方程思想的體現：

　　由得：

　　　　　①

　　由得

　　　　　　②

　　由，得：

　　　　　　③

　　由得：

　　　　　　④

　　等式①、②、③、④在求值、證明恒等式中無疑作用是十分重大的．

（2）例題分析

【例1】不查表，求，的值．

　　解：

　　說明：我們也可以用系統來做：

【例2】已知，，，，求，．

　　分析：觀察公式和本題的條件，必須先算出，

　　解：由，得

　　又由，得

　　∴

【例3】不查表求值：

（1）；

（2）．

解：（1）

（2）

練習（投影）

　　（1），，則．

　　（2）在△ 中，若，則△ 是___________．

參考答案：

（1）∴

　　∴

（2）由，

　　∴

　　∴ ，為鈍角，即△ 是鈍角三角形．

【例4】求證：．

　　分析：我們從角入手來分析，易見左邊有復角（即兩角和與差）右邊全是單角，所以思路明確，就是要把復角變單角．

　　證明：

　　左邊

　　右 ∴原式成立

　　如果我們本著逆用公式來看待本題，那么還可這樣想：

　　由

　　令，則

　　 ①

　　至于

我們可這樣分析：

　　∵

　　令得

　　同理

　　∴①可進一步改寫為：

　　∴ ……②

　　又∵

　　 ……③

由②、③得

　　本題還可以從函數名稱來分析，左邊是正、余弦函數，右邊是正切函數，故可考慮從右邊入手用化弦法，請同學們自己把上面過程反過來，從右邊推出左邊．

【例5】求證：

　　師：本題我們可以從角的形式來分析，左邊是單角，右邊是復角，如果從右邊證左邊則要把復角變單角（即利用和角公式）；如果從左邊證右邊則須配一個角，所以本題起碼有兩種證法．

　　證法1：右邊

　　左邊

　　∴原式成立

　　師：另一種證法根據剛才的分析要配出角，怎樣配？大家仔細觀察證法一就不難發現了．

　　證法2：（學生板書）

　　左邊

　　　　右邊 ∴原式成立

3．演練反饋（投影）

（1）化簡

（2）已知，則的值（）

　　A．不確定，可在［0、1］內取值　　B．不確定，可在［－1、1］中取值

　　C．確定，等于1　　　　　　　　　 D．確定，等于1或－1

參考答案：

（1）原式

（2）C

4．總結提煉

　　（1）利用“拆角”“湊角”變換是進行三角函數式求值、證明、化簡的常用技巧，如：，，．在三角形中，，等變換技巧，同學們應十分熟悉．

　　（2）本節課的例5，代表著一類重要題型，同學們要學習它的湊角方法，一般地，其中．

　　（3）在恒等式中，實施特值代換，是一類重要的數學方法——母函數法，這種方法在數學的其他學科中，均有用武之地。它反映的是特殊與一般的辨證統一關系．

（四）板書設計

　　課題：兩角和與差的正弦

1．公式推導

　　①

　　＝……

　　得到公式………

　　把公式中換成得公式………

2．公式的結構特點

　　用單角函數表示復角函數

　　右邊中兩個積的函數名稱不同

　　 ……運算符號同左邊括號

　　中的運算符號一致（區別于、）

3．折、湊角技巧

例1

例2

例3

例4

例5

　　演練反饋

　　總結提煉

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