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上學(xué)期 1.5 一元二次不等式的解法
教學(xué)目標(biāo)
（1）掌握一元二次不等式的解法；
（2）知道一元二次不等式可以轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組；
（3）了解簡(jiǎn)單的分式不等式的解法；
（4）能利用二次函數(shù)與一元二次方程來(lái)求解一元二次不等式，理解它們?nèi)咧g的內(nèi)在聯(lián)系；
（5）能夠進(jìn)行較簡(jiǎn)單的分類討論，借助于數(shù)軸的直觀，求解簡(jiǎn)單的含字母的一元二次不等式；
（6）通過(guò)利用二次函數(shù)的圖象來(lái)求解一元二次不等式的解集，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；
（7）通過(guò)研究函數(shù)、方程與不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到事物是相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的，樹(shù)立辨證的世界觀．
教學(xué)重點(diǎn)：一元二次不等式的解法；
教學(xué)難點(diǎn)：弄清一元二次不等式與一元二次方程、二次函數(shù)的關(guān)系．
教與學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)
第一課時(shí)
Ⅰ．設(shè)置情境
問(wèn)題：
①解方程
②作函數(shù) 的圖像
③解不等式
【置疑】在解決上述三問(wèn)題的基礎(chǔ)上分析，一元一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式之間的關(guān)系。能通過(guò)觀察一次函數(shù)的圖像求得一元一次不等式的解集嗎？
【回答】函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為方程的根，不等式 的解集為函數(shù)圖像落在x軸上方部分對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)。能。
通過(guò)多媒體或其他載體給出下列表格。扼要講解怎樣通過(guò)觀察一次函數(shù)的圖像求得一元一次不等式的解集。注意色彩或彩色粉筆的運(yùn)用
在這里我們發(fā)現(xiàn)一元一次方程，一次不等式與一次函數(shù)三者之間有著密切的聯(lián)系。利用這種聯(lián)系（集中反映在相應(yīng)一次函數(shù)的圖像上！）我們可以快速準(zhǔn)確地求出一元一次不等式的解集，類似地，我們能不能將現(xiàn)在要求解的一元二次不等式與二次函數(shù)聯(lián)系起來(lái)討論找到其求解方法呢？
Ⅱ．探索與研究
我們現(xiàn)在就結(jié)合不等式 的求解來(lái)試一試。（師生共同活動(dòng)用“特殊點(diǎn)法”而非課本上的“列表描點(diǎn)”的方法作出 的圖像，然后請(qǐng)一位程度中下的同學(xué)寫出相應(yīng)一元二次方程及一元二次不等式的解集。）
【答】方程 的解集為
不等式 的解集為
【置疑】哪位同學(xué)還能寫出 的解法？（請(qǐng)一程度差的同學(xué)回答）
【答】不等式 的解集為
我們通過(guò)二次函數(shù) 的圖像，不僅求得了開(kāi)始上課時(shí)我們還不知如何求解的那個(gè)第（5）小題 的解集，還求出了 的解集，可見(jiàn)利用二次函數(shù)的圖像來(lái)解一元二次不等式是個(gè)十分有效的方法。
下面我們?cè)賹?duì)一般的一元二次不等式 與 來(lái)進(jìn)行討論。為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，暫只考慮 的情形。請(qǐng)同學(xué)們思考下列問(wèn)題：
如果相應(yīng)的一元二次方程 分別有兩實(shí)根、惟一實(shí)根，無(wú)實(shí)根的話，其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù) 的圖像與x軸的位置關(guān)系如何？（提問(wèn)程度較好的學(xué)生）
【答】二次函數(shù) 的圖像開(kāi)口向上且分別與x軸交于兩點(diǎn)，一點(diǎn)及無(wú)交點(diǎn)。
現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們觀察表中的二次函數(shù)圖，并寫出相應(yīng)一元二次不等式的解集。（通過(guò)多媒體或其他載體給出以下表格）
【答】 的解集依次是
的解集依次是
它是我們今后求解一元二次不等式的主要工具。應(yīng)盡快將表中的結(jié)果記住。其關(guān)鍵就是抓住相應(yīng)二次函數(shù) 的圖像。
課本第19頁(yè)上的例1．例2．例3．它們均是求解二次項(xiàng)系數(shù) 的一元二次不等式，卻都沒(méi)有給出相應(yīng)二次函數(shù)的圖像。其解答過(guò)程雖很簡(jiǎn)練，卻不太直觀。現(xiàn)在我們?cè)谡n本預(yù)留的位置上分別給它們補(bǔ)上相應(yīng)二次函數(shù)圖像。
（教師巡視，重點(diǎn)關(guān)注程度稍差的同學(xué)。）
Ⅲ．演練反饋
1．解下列不等式：
（1） （2）
（3） （4）
2．若代數(shù)式 的值恒取非負(fù)實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是 。
3．解不等式
（1） （2）
參考答案：
1．（1） ；（2） ；（3） ；（4）R
2．
3．（1）
（2）當(dāng) 或 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)，
當(dāng) 或 時(shí)， 。
Ⅳ．總結(jié)提煉
這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了二次項(xiàng)系數(shù) 的一元二次不等式的解法，其關(guān)鍵是抓住相應(yīng)二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)，再對(duì)照課本第39頁(yè)上表格中的結(jié)論給出所求一元二次不等式的解集。
（五）、課時(shí)作業(yè)
（P20．練習(xí)等3、4兩題）
（六）、板書設(shè)計(jì)
第二課時(shí)
Ⅰ．設(shè)置情境
（通過(guò)講評(píng)上一節(jié)課課后作業(yè)中出現(xiàn)的問(wèn)題，復(fù)習(xí)利用“三個(gè)二次”間的關(guān)系求解一元二次不等式的主要操作過(guò)程。）
上節(jié)課我們只討論了二次項(xiàng)系數(shù) 的一元二次不等式的求解問(wèn)題。肯定有同學(xué)會(huì)問(wèn)，那么二次項(xiàng)系數(shù) 的一元二次不等式如何來(lái)求解？咱們班上有誰(shuí)能解答這個(gè)疑問(wèn)呢？
Ⅱ．探索研究
（學(xué)生議論紛紛．有的說(shuō)仍然利用二次函數(shù)的圖像，有的說(shuō)將二次項(xiàng)的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)后再求解，……．教師分別請(qǐng)持上述見(jiàn)解的學(xué)生代表進(jìn)一步說(shuō)明各自的見(jiàn)解．）
生甲：只要將課本第39頁(yè)上表中的二次函數(shù)圖像次依關(guān)于x軸翻轉(zhuǎn)變成開(kāi)口向下的拋物線，再根據(jù)可得的圖像便可求得二次項(xiàng)系數(shù) 的一元二次不等式的解集．
生乙：我覺(jué)得先在不等式兩邊同乘以－1將二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)后直接運(yùn)用上節(jié)課所學(xué)的方法求解就可以了．
師：首先，這兩種見(jiàn)解都是合乎邏輯和可行的．不過(guò)按前一見(jiàn)解來(lái)操作的話，同學(xué)們則需再記住一張類似于第39頁(yè)上的表格中的各結(jié)論．這不但加重了記憶負(fù)擔(dān)，而且兩表中的結(jié)論容易搞混導(dǎo)致錯(cuò)誤．而按后一種見(jiàn)解來(lái)操作時(shí)則不存在這個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)同學(xué)們閱讀第19頁(yè)例4．
（待學(xué)生閱讀完畢，教師再簡(jiǎn)要講解一遍．）
[知識(shí)運(yùn)用與解題研究]
由此例可知，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)的一元二次不等式是將其通過(guò)同解變形化為 的一元二次不等式來(lái)求解的，因此只要掌握了上一節(jié)課所學(xué)過(guò)的方法。我們就能求
解任意一個(gè)一元二次不等式了，請(qǐng)同學(xué)們求解以下兩不等式．（調(diào)兩位程度中等的學(xué)生演板）
（1） （2）
（分別為課本P21習(xí)題1．5中1大題（2）、（4）兩小題．教師講評(píng)兩位同學(xué)的解答，注意糾正表述方面存在的問(wèn)題．）
訓(xùn)練二 可化為一元一次不等式組來(lái)求解的不等式．
目前我們熟悉了利用“三個(gè)二次”間的關(guān)系求解一元二次不等式的方法雖然對(duì)任意一元二次不等式都適用，但具體操作起來(lái)還是讓我們感到有點(diǎn)麻煩．故在求解形如 （或 ）的一元二次不等式時(shí)則根據(jù)（有理數(shù)）乘（除）運(yùn)算的“符號(hào)法則”化為同學(xué)們更加熟悉的一元一次不等式組來(lái)求解．現(xiàn)在清同學(xué)們閱讀課本P20上關(guān)于不等式 求解的內(nèi)容并思考：原不等式的解集為什么是兩個(gè)一次不等式組解集的并集？（待學(xué)生閱讀完畢，請(qǐng)一程度較好，表達(dá)能力較強(qiáng)的學(xué)生回答該問(wèn)題．）
【答】因?yàn)闈M足不等式組 或 的x都能使原不等式 成立，且反過(guò)來(lái)也是對(duì)的，故原不等式的解集是兩個(gè)一元二次不等式組解集的并集．
這個(gè)回答說(shuō)明了原不等式的解集A與兩個(gè)一次不等式組解集的并集B是互為子集的關(guān)系，故它們必相等，現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們求解以下各不等式．（調(diào)三位程度各異的學(xué)生演板．教師巡視，重點(diǎn)關(guān)注程度較差的學(xué)生）．
（1） ［P20練習(xí)中第1大題］
（2） ［P20練習(xí)中第1大題］
（3） ［P20練習(xí)中第2大題］
（老師扼要講評(píng)三位同學(xué)的解答．尤其要注意糾正表述方面存在的問(wèn)題．然后講解P21例5）．
例5 解不等式
因?yàn)椋ㄓ欣頂?shù)）積與商運(yùn)算的“符號(hào)法則”是一致的，故求解此類不等式時(shí)，也可像求解 （或 ）之類的不等式一樣，將其化為一元一次不等式組來(lái)求解。具體解答過(guò)程如下。
解：（略）
現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們完成課本P21練習(xí)中第3、4兩大題。
（等學(xué)生完成后教師給出答案，如有學(xué)生對(duì)不上答案，由其本人追查原因，自行糾正。）
[訓(xùn)練三]用“符號(hào)法則”解不等式的復(fù)式訓(xùn)練。
（通過(guò)多媒體或其他載體給出下列各題）
1．不等式 與 的解集相同此說(shuō)法對(duì)嗎？為什么[補(bǔ)充]
2．解下列不等式：
（1） ［課本P22第8大題（2）小題］
（2） ［補(bǔ)充］
（3） ［課本P43第4大題（1）小題］
（4） ［課本P43第5大題（1）小題］
（5） ［補(bǔ)充］
（每題均先由學(xué)生說(shuō)出解題思路，教師扼要板書求解過(guò)程）
參考答案：
1．不對(duì)。同 時(shí)前者無(wú)意義而后者卻能成立，所以它們的解集是不同的。
2．（1）
（2）原不等式可化為： ，即
解集為 。
（3）原不等式可化為
解集為
（4）原不等式可化為 或
解集為
（5）原不等式可化為： 或 解集為
Ⅲ．總結(jié)提煉
這節(jié)課我們重點(diǎn)講解了利用（有理數(shù)）乘除法的符號(hào)法則求解左式為若干一次因式的積或商而右式為0的不等式。值得注意的是，這一方法對(duì)符合上述形狀的高次不等式也是有效的，同學(xué)們應(yīng)掌握好這一方法。
（五）布置作業(yè)
（P22．2（2）、（4）；4；5；6。）
（六）板書設(shè)計(jì)
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