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數(shù)學(xué)教案－圓的周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)
圓周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)(一)
教學(xué)目標(biāo)：
1、初步掌握?qǐng)A周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)公式；
2、通過(guò)弧長(zhǎng)公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生探究新問(wèn)題的能力；
3、調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的鉆研精神;
4、進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型的能力，綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．
教學(xué)重點(diǎn)：弧長(zhǎng)公式．
教學(xué)難點(diǎn)：正確理解弧長(zhǎng)公式．
教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)：
（一）復(fù)習(xí)（圓周長(zhǎng)）
已知⊙O半徑為R，⊙O的周長(zhǎng)C是多少？
C=2πR
這里π=3.14159…，這個(gè)無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)叫做圓周率．
由于生產(chǎn)、生活實(shí)際中常遇到有關(guān)弧的長(zhǎng)度計(jì)算，那么怎樣求一段弧的長(zhǎng)度呢？
提出新問(wèn)題：已知⊙O半徑為R，求n°圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)．
（二）探究新問(wèn)題、歸納結(jié)論
教師組織學(xué)生探討（因?yàn)閱?wèn)題并不難，學(xué)生完全可以自己研究得到公式）．
研究步驟：
（1）圓周長(zhǎng)C=2πR；
（2）1°圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)= ；
（3）n°圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是1°圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)的n倍；
（4）n°圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)= ．
歸納結(jié)論：若設(shè)⊙O半徑為R， n°圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)l，則
（弧長(zhǎng)公式）
（三）理解公式、區(qū)分概念
教師引導(dǎo)學(xué)生理解：
（1）在應(yīng)用弧長(zhǎng)公式 進(jìn)行計(jì)算時(shí)，要注意公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數(shù)，它是不帶單位的；
（2）公式可以理解記憶（即按照上面推導(dǎo)過(guò)程記憶）；
（3）區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長(zhǎng)三概念．度數(shù)相等的弧，弧長(zhǎng)不一定相等，弧長(zhǎng)相等的弧也不一定是等孤，而只有在同圓或等圓中，才可能是等弧．
（四）初步應(yīng)用
例1、已知：如圖，圓環(huán)的外圓周長(zhǎng)C1=250cm，內(nèi)圓周長(zhǎng)C2=150cm，求圓環(huán)的寬度d (精確到1mm)．
分析：（1）圓環(huán)的寬度與同心圓半徑有什么關(guān)系？
（2）已知周長(zhǎng)怎樣求半徑？
（學(xué)生獨(dú)立完成）
解：設(shè)外圓的半徑為R1，內(nèi)圓的半徑為R2，則
d= ．
∵ ， ，
∴ （cm）
例2，彎制管道時(shí)，先按中心線(xiàn)計(jì)算展直長(zhǎng)度，再下料，試計(jì)算圖所示管道的展直長(zhǎng)度L(單位：mm，精確到1mm)
教師引導(dǎo)學(xué)生把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，滲透數(shù)學(xué)建模思想．
解：由弧長(zhǎng)公式，得
（mm）
所要求的展直長(zhǎng)度
L （mm）
答：管道的展直長(zhǎng)度為2970mm．
課堂練習(xí)：P176練習(xí)1、4題．
（五）總結(jié)
知識(shí)：圓周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)公式；圓周率概念；
能力：探究問(wèn)題的方法和能力，弧長(zhǎng)公式的記憶方法；初步應(yīng)用弧長(zhǎng)公式解決問(wèn)題．
（六）作業(yè) 教材P176練習(xí)2、3；P186習(xí)題3．
圓周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)(二)
教學(xué)目標(biāo)：
1、應(yīng)用圓周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)公式綜合圓的有關(guān)知識(shí)解答問(wèn)題；
2、培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力和數(shù)學(xué)模型的能力；
3、通過(guò)應(yīng)用題的教學(xué)，向?qū)W生滲透理論聯(lián)系實(shí)際的觀(guān)點(diǎn)．
教學(xué)重點(diǎn)：靈活運(yùn)用弧長(zhǎng)公式解有關(guān)的應(yīng)用題．
教學(xué)難點(diǎn)：建立數(shù)學(xué)模型．
教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)：
（一）靈活運(yùn)用弧長(zhǎng)公式
例1、填空：
（1）半徑為3cm，120°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是_______cm；
（2）已知圓心角為150°，所對(duì)的弧長(zhǎng)為20π，則圓的半徑為_(kāi)______；
（3）已知半徑為3，則弧長(zhǎng)為π的弧所對(duì)的圓心角為_(kāi)______．
（學(xué)生獨(dú)立完成，在弧長(zhǎng)公式中l、n、R知二求一．）
答案：（1）2π；（2）24；（3）60°．
說(shuō)明：使學(xué)生靈活運(yùn)用公式，為綜合題目作準(zhǔn)備．
練習(xí)：P196練習(xí)第1題
（二）綜合應(yīng)用題
例2、如圖，兩個(gè)皮帶輪的中心的距離為2.1m，直徑分別為0.65m和0.24m．(1)求皮帶長(zhǎng)(保留三個(gè)有效數(shù)字)；(2)如果小輪每分轉(zhuǎn)750轉(zhuǎn)，求大輪每分約轉(zhuǎn)多少轉(zhuǎn)．
教師引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型：
分析：（1）皮帶長(zhǎng)包括哪幾部分（+DC++AB）；
（2）“兩個(gè)皮帶輪的中心的距離為2.1m”，給我們解決此題提供了什么數(shù)學(xué)信息？
（3）AB、CD與⊙O1、⊙O2具有什么位置關(guān)系？AB與CD具有什么數(shù)量關(guān)系？根據(jù)是什么？（AB與CD是⊙O1與⊙O2的公切線(xiàn)，AB=CD，根據(jù)的是兩圓外公切線(xiàn)長(zhǎng)相等．）
（4）如何求每一部分的長(zhǎng)？
這里給學(xué)生考慮的時(shí)間和空間，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用．
解：(1)作過(guò)切點(diǎn)的半徑O1A、O1D、O2B、O2C，作O2E⊥O1A，垂足為E．
∵O1O2=2.1， ， ，
∴ ，
∴ （m）
∵ ，∴ ，
∴的長(zhǎng)l1 （m）．
∵， ∴的長(zhǎng)（m）．
∴皮帶長(zhǎng)l=l1+l2+2AB=5.62（m）．
（2）設(shè)大輪每分鐘轉(zhuǎn)數(shù)為n，則
， （轉(zhuǎn)）
答：皮帶長(zhǎng)約5.63m，大輪每分鐘約轉(zhuǎn)277轉(zhuǎn)．
說(shuō)明：通過(guò)本題滲透數(shù)學(xué)建模思想，弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，求兩圓公切線(xiàn)的方法和計(jì)算能力．
鞏固練習(xí)：P196練習(xí)2、3題.
探究活動(dòng)
鋼管捆扎問(wèn)題
已知由若干根鋼管的外直徑均為d，想用一根金屬帶緊密地捆在一起，求金屬帶的長(zhǎng)度．
請(qǐng)根據(jù)下列特殊情況，找出規(guī)律，并加以證明．
提示：設(shè)鋼管的根數(shù)為n，金屬帶的長(zhǎng)度為L(zhǎng)n如圖：
當(dāng)n=2時(shí)，L2=（π+2）d．
當(dāng)n=3時(shí)，L3=（π+3）d．
當(dāng)n=4時(shí)，L4=（π+4）d．
當(dāng)n=5時(shí)，L5=（π+5）d．
當(dāng)n=6時(shí)，L6=（π+6）d．
當(dāng)n=7時(shí)，L7=（π+6）d．
當(dāng)n=8時(shí)，L8=（π+7）d．
猜測(cè)：若最外層有n根鋼管，兩兩相鄰接排列成一個(gè)向外凸的圈，相鄰兩圓是切，則金屬帶的長(zhǎng)度為L(zhǎng)=（π+n）d．
證明略．
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