函數單調性
課題：§1.3.1函數的單調性
教學目的：（1）通過已學過的函數特別是二次函數，理解函數的單調性及其幾何意義；
（2）學會運用函數圖象理解和研究函數的性質；
（3）能夠熟練應用定義判斷數在某區間上的的單調性．
教學重點：函數的單調性及其幾何意義．
教學難點：利用函數的單調性定義判斷、證明函數的單調性．
教學過程：
一、引入課題
1． 觀察下列各個函數的圖象，并說說它們分別反映了相應函數的哪些變化規律：
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y |
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x |
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1 |
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-1 |
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1 |
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-1 |
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y |
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x |
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1 |
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-1 |
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1 |
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-1 |
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y |
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x |
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1 |
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-1 |
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1 |
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-1 |
1 隨x的增大，y的值有什么變化？
2 能否看出函數的最大、最小值？
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y |
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x |
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1 |
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-1 |
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1 |
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-1 |
3 函數圖象是否具有某種對稱性？
2． 畫出下列函數的圖象，觀察其變化規律：
1．f(x) = x
1 從左至右圖象上升還是下降 ______?
2 在區間 ____________ 上，隨著x的增
大，f(x)的值隨著 ________ ．
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y |
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x |
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1 |
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-1 |
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1 |
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-1 |
2．f(x) = -2x+1
1 從左至右圖象上升還是下降 ______?
2 在區間 ____________ 上，隨著x的增
大，f(x)的值隨著 ________ ．
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y |
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x |
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1 |
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-1 |
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1 |
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-1 |
3．f(x) = x2
1在區間 ____________ 上，f(x)的值隨
著x的增大而 ________ ．
2 在區間 ____________ 上，f(x)的值隨
著x的增大而 ________ ．
二、新課教學
（一）函數單調性定義
1．增函數
一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，
如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區間D上是增函數（increasing function）．
思考：仿照增函數的定義說出減函數的定義．（學生活動）
注意：
1 函數的單調性是在定義域內的某個區間上的性質，是函數的局部性質；
2 必須是對于區間D內的任意兩個自變量x1，x2；當x1<x2時，總有f(x1)<f(x2) ．
2．函數的單調性定義
如果函數y=f(x)在某個區間上是增函數或是減函數，那么就說函數y=f(x)在這一區間具有（嚴格的）單調性，區間D叫做y=f(x)的單調區間：
3．判斷函數單調性的方法步驟
利用定義證明函數f(x)在給定的區間D上的單調性的一般步驟：
1 任取x1，x2∈D，且x1<x2；
2 作差f(x1)－f(x2)；
3 變形（通常是因式分解和配方）；
4 定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負）；
5 下結論（即指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性）．
（二）典型例題
例1．（教材P34例1）根據函數圖象說明函數的單調性．
解：（略）
鞏固練習：課本P38練習第1、2題
例2．（教材P34例2）根據函數單調性定義證明函數的單調性．
解：（略）
鞏固練習：
1 課本P38練習第3題；
2 證明函數 在（1，+∞）上為增函數．
例3．借助計算機作出函數y =－x2 +2 | x | + 3的圖象并指出它的的單調區間．
解：（略）
思考：畫出反比例函數 的圖象．
1 這個函數的定義域是什么？
2 它在定義域I上的單調性怎樣？證明你的結論．
說明：本例可利用幾何畫板、函數圖象生成軟件等作出函數圖象．
三、歸納小結，強化思想
函數的單調性一般是先根據圖象判斷，再利用定義證明．畫函數圖象通常借助計算機，求函數的單調區間時必須要注意函數的定義域，單調性的證明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 變 形 → 定 號 → 下結論
四、作業布置
1． 書面作業：課本P45 習題1．3（A組） 第1- 5題．
2． 提高作業：設f(x)是定義在R上的增函數，f(xy)=f(x)+f(y)，
1 求f(0)、f(1)的值；
2 若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集．
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