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正多邊形的有關計算 教案
1．使學生理解并掌握正多邊形有關計算的定理；
2．使學生掌握正多邊形的邊長、半徑、中心角、邊心距、周長和面積的計算方法；
3．使學生掌握利用解直角三角形去解決正多邊形有關計算的方法，培養和提高學生的分析問題和解決問題的能力；
4．通過例題的教學，訓練學生把實際問題抽象為數學問題并能準確計算的能力．
把正多邊形的有關計算轉化為解直角三角形的思想方法和準確計算的能力．
1．提問：什么是正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角？怎樣計算正n邊形中心角的度數？
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，寫出三角形中邊的關系、角的關系、邊角關系．
3．正n邊形的內角和等于多少？如何求出它的每一個內角？
根據正多邊形的定義和多邊形內角和定理，學生很容易得到正n(n≥3)邊形的每個內角都等于：
4．作一個正五邊形，作出它的半徑、中心角和邊心距，觀察它們之間有何關系？(圖1)
由圖1，學生容易說出：正五邊形的五條半徑把正五邊形分成全等的五個等腰三角形，每條邊上的邊心距又把一個等腰三角形分為兩個全等的直角三角形，并且直角三角形的兩個銳角分別為每個中心角和內角的一半．
5．若正多邊形的邊數為n時，它的邊長、半徑、中心角、邊心距之間的關系如何呢？怎樣做有關的計算？這就是我們這節課要學習的內容．(板書課題：正多邊形的有關計算)
1．提出猜想．
根據上面第4個問題，引導學生提出如下猜想：
正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個中全等的直角三角形．
2．證明猜想，形成定理．
引導學生作出正n邊形的n條半徑(如圖2)易證明這些半徑把正n邊形分成了n個全等的等腰三角形．
再作正n邊形的邊心距，這些邊心距都是相等的．因此得出這些邊心距又把n個等腰三角形分成了2n個直角三角形，這些直角三角形也是全等的，于是可得定理．
定理 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形．
教師指出：根據上述定理，正n邊形的有關計算就可轉化為解直角三角形問題．
例如：若正n邊形A1A2A3…An的半徑為R，由圖3可知：
以上各式都可很快推導出來，不需要死記硬背．
例1 已知正六邊形ABCDEF的半徑為R(圖4)，求這個正六邊形的邊長a6、周長P6和面積S6.
引導學生作出△AOB及Rt△BOG，把問題轉化為解Rt△BOG，學生完成解答已不困難．由學生口述，教師板書示范．
最后，教師指出：
(1)正六邊形的邊長等于它的半徑，即a6=R．這一結論很重要，要記住這個特性．
的面積公式有類似之處．
練習1 已知圓的半徑為R，求它的內接正三角形、正方形的邊長、邊心距及面積．
例2 在一種聯合收割機上，撥禾輪的側面是正五邊形(課本圖7-88)，測得這個正五邊形的邊長是48厘米．求它的半徑R5和邊心距r5(精確到0.l厘米)．
引導學生從實際問題中抽象出幾何圖形，即把撥禾輪的側面畫成一個邊長為48厘米的正五邊形，作出相應的Rt△OAF(圖5)，解這個直角三角形可得R5和r5．
學生自己完成解答過程．
例3 已知：正十邊形的半徑為R．
正十邊形的邊長．學生很可能用前邊推出的公式得出
此結論雖然成立，但不符合題目要求，應重新考慮．
圖6中，AB＝a10，OA＝OB=R．∠AOB＝36°，∠OAB＝∠OBA＝72°．若能作出
∠OBA的平分線，便可得到兩個相似三角形△OAB和△BAM，由此可得到a10與R的關系式．
證明：學生口述，教師板演．
過的黃金分割．黃金分割在建筑及工藝設計上應用十分廣泛．
練習2 (投影打出)
完成下表中正多邊形的計算(把計算結果填入表中)：
練習3
用代數式表示邊長為2a的正十邊形的面積．
(引導學生利用例3的結論解題)
解：如圖7，OA=OB=R10，
AB=a10=2a，OH=r10．
提出問題，讓學生自己小結．
1．本節定理的主要內容是什么？
2．怎樣解決正多邊形的有關計算問題？
3．學習了哪些主要的數學思想方法？
在學生回答的基礎上，教師歸納總結：
1．正多邊形有關計算的定理告訴我們，可以把正n邊形分成2n個全等的直角三角形，并且把正多邊形的各元素集中地反映在這些直角三角形中．
2．關于正多邊形的有關計算問題可以轉化為解直角三角形的問題來解決．
3．滲透了化歸的思想.
課本中相關習題
這份教案為兩課時，教學內容的選擇和板書安排可根據實際情況而定．
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