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《最大公因數》的教案
《最大公因數》的教案
【 教學內容】
《義務教育課程標準實驗教科書數學》（人教版）五（下）第79 —81 頁。
【設計理念】小學數學課堂教學，應立志于讓學生“研究學習”、“自主探索”，學生不應是被動接受知識的容器，而應是在學習過程中主動積極的參與者，是認知過程的探索者，是學習活動的主體，通過學生自身的活動，所“發現”和“創造”的知識較之教師硬塞給學生的知識理解得深刻，掌握得牢固，應用得靈活，同時也培養了學生發現問題、解決問題的能力。
【 教學目標】
1 、通過自學和反饋交流，理解公因數和最大公因數的意義，溝通因數、公因數和最大公因數的區別和聯系。
2 、掌握求兩個數最大公因數的方法，會選擇合適的方法正確的求兩個數的最大公因數。能初步應用求最大公因數的方法解決生活中的簡單實際問題。
3 、經歷探究求兩個數最大公因數方法的過程，培養學生分析、歸納等思維能力。激發學生自主學習、積極探索和合作交流的良好習慣。
【 教學重點】理解公因數和最大公因數的意義，會正確的求兩個數的最大公因數。
【 教學難點】初步應用求兩個數最大公因數的方法解決生活中的簡單實際問題。
【 教學準備】多媒體課件
【 自學內容】見預習作業
【 教學過程】
一、自學反饋
1 、通過自學你已經知道了什么？
（1 ）書上介紹了（ ）和（ ）兩個數學概念。
（2 ）問：你認為公因數和最大公因數與什么知識有關？
生：公因數和最大公因數都與因數有關？
（3 ）追問：那你認為可以怎樣求兩個數的公因數和最大公因數？
生：先分別列舉出兩個數的因數，然后找出它們的公因數和最大公因數。
（4 ）你會求18 和24 的公因數和最大公因數嗎？請大家試一試。
二、關鍵點撥
1 、列舉法求兩個數的最大公因數及公因數和最大公因數的意義。
（1 ）你是怎樣求18 和24 的最大公因數的，誰來說說？
（2 ）學生反饋：
18 的因數有1 ，2 ，3 ，6 ，9 ，18 。
24 的因數有1 ，2 ，3 ，4 ，6 ，8 ，12 ，24 。
18 和24 的公因數有1 ，2 ，3 ，6 。
18 和24 的最大公因數是6 。
師：18 和24 公有的因數，叫做它們的公因數。公因數中最大的一個因數，叫做它們的最大公因數。
【設計意圖 ：在教學中，不僅要求學生掌握抽象的數學結論，更應注意學生的“發現“意識，引導學生參與探討知識的形成過程，盡可能挖掘學生潛能，能讓學生通過努力，自己解決問題，形成概念。】
2 、求兩個數最大公因數的其他方法
師：你還有不同方法求兩個數的最大公因數嗎？
生1 ：篩選法
先寫出較大數的因數，24 的因數有1 ，2 ，3 ，4 ，6 ，8 ，12 ，24 。
從大到小找24 的因數中誰是18 的因數就是它們的最大公因數，24 、12 、8 都不是18 的因數，6 是18 的因數。
所以，18 和24 的最大公因數是6 。
生2 ：分解質因數法
18 ＝2 ×3 ×3
24 ＝2 ×2 ×2 ×3 ，把18 和24 的相同質因數相乘的積就是它們的最大公因數，18 和24 的最大公因數＝2 ×3 ＝6 。
師問：你在哪里見到過這樣的方法？
生介紹書上81 頁小知識：分解質因數法求兩個數的最大公因數。
師：還有不同方法嗎？（學生沉默）你們看看我的方法可以嗎？
師介紹縮倍法：把24 縮小到它的2 倍是12 ，12 不是18 的因數；把24 縮小到它的3 倍是8 ，8 也不是18 的因數；把24 縮小到它的4 倍是6 ，6 是18 的因數。所以，18 和24 的最大公因數是6 。
3 、溝通因數、公因數和最大公因數的區別和聯系
仔細觀察，靜靜思考，因數、公因數和最大公因數到底有什么關系？
生1 ：公因數和最大公因數都是因數中的一部分。
生2 ：公因數都是最大公因數的因數，最大公因數是公因數的倍數。
4 、優化方法
仔細觀察，靜靜思考，你更喜歡上面的哪種方法，為什么？
生1 ：我更喜歡列舉法，因為列舉法簡單易懂，不僅可以求出兩個數的最大公因數，還可以求出它們的所有公因數。
生2 ：我更喜歡篩選法，因為篩選法能更簡潔、更快的求出兩個數的最大公因數，也可以很快求出它們的公因數，只要再寫出最大公因數的因數就是它們的公因數了。
生3 ：我更喜歡分解質因數法，……
5 、集合表示法介紹
師：還可以用下面的圖來表示：
【設計意圖：德國教育家第斯多惠指出：“一個壞的教師奉送真理，一個好的教師則教人發現真理。”教學中，在引導學生探索問題的過程中，利用觀察、發現、設問步步深入地引導學生逼近結論、求索方法。通過說思考過程、師生討論，讓學生的推理才能得以充分發揮，真正駕馭學習，成為學習的主人，為學生的自主探索發現、創新增添活力。】
三、鞏固練習
1 、請選擇你喜歡的方法求出下面每組數的最大公因數。
4 和8 18 和54 1 和7 8 和9
（1 ）學生獨立求最大公因數，教師巡視指導。
（2 ）反饋交流：4 和8 的最大公因數是4 ，18 和54 的最大公因數是18 ，1 和7 的最大公因數是1 ，8 和9 的最大公因數是1 。
（3 ）問：你能根據最大公因數的特點把上面4 組數分成兩類嗎？
4 和8 ，18 和54 分成一類；1 和7 ，8 和9 分成一類。
（4 ）問：你為什么這樣分？說說你的理由。
生1 ：4 是8 的因數，8 是4 的倍數，它們的最大公因數是較小數4 ；18 是54 的因數，54 是18 的倍數，它們的最大公因數是較小數18 。1 和7 ，8 和9 的最大公因數都是1 。
生2 ：我知道1 和7 是互質數，8 和9 也是互質數，所以它們的最大公因數是1 。
（5 ）追問：你是怎么知道互質數這個數學概念的？
生：我是從書上83 頁的小知識中看過來的。（生介紹書上83 的小知識：互質數——公因數只有1 的兩個數叫做互質數。）
（6 ）你能很快說出下列各組數的最大公因數嗎？
45 和15 51 和17 13 和39
1 和15 45 和46 2 和9 13 和18 3 和11
生報答案，教師板書。
（7 ）仔細觀察，你認為什么樣的兩個數會是互質數，它們的最大公因數是1 。
生1 ：1 和任何一個大于1 的自然數都是互質數。
生2 ：相鄰的兩個自然數（0 除外）是互質數。
生3 ：任意兩個質數都是互質數。
生4 ：一個質數和一個合數，只要沒有倍數關系就是互質數。
……
（8 ）你能很快抱出54 和48 的最大公因數嗎？你認為求兩個數的最大公因數要注意什么？
2 、電腦顯示：小紅家衛生間是長方形，如右圖，小紅爸爸準備裝修衛生間，要在地面上鋪正方形地面磚，要選邊長為幾分米（整數）的地面磚，才能不用鋸分就能整齊地鋪滿地面磚呢？地板磚的邊長最大是幾分米？
3 、提高練習：
（1 ）綜合題：兩個自然數的和是52 ，它們的最大公因數是4 ，最小公倍數是144 ，這兩個數各是多少？
（2 ）開放題：有兩個50 以內的兩位數，這兩個兩位數的最大公因數是6 這兩個兩位數分別是多少？
【設計意圖：練習形式多樣，層次分明，讓學生體會數學的綜合性和應用性，注重認知結構的深化和發展，能有效地培養學生的創新思維。】
四、全課總結
這節課你們學了哪些知識？有什么收獲？
附：預習作業
1 、內容：課本第79 至81 頁例1 和例2 及做一做。
2 、方法：一邊看書一邊畫出你認為重要的信息，并理解。
3 、解決問題：
（1 ）書上介紹了（ ）和（ ）兩個數學概念。
（2 ）既是18 的因數又是24 的因數的有（ ），其中最大的一個因數是（ ）。
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